安徽省合肥市第二十九中学2024-2025学年下学期九年级5月月考 数学试卷（含解析）

这是一份安徽省合肥市第二十九中学2024-2025学年下学期九年级5月月考 数学试卷（含解析），共27页。
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1. 下列各组两个数互为相反数的是（ ）
A. 和B. 和
C. 3和D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相反数概念，化简多重符号，化简绝对值，解题的关键在于熟练掌握相关概念．先化简多重符号与绝对值，再结合相反数概念判断各项，即可解题．
【详解】解：A、和，不互为相反数，不符合题意；
B、和，互为相反数，符合题意；
C、3和互为倒数，不符合题意；
D、和，不互为相反数，不符合题意；
故选：B．
2. 截止到2025年2月20日20时，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超126.88亿，超《侏罗纪世界》《头脑特工队2》票房成绩，成为首部进入全球票房前八的亚州电影，也是登顶动画票房榜的亚洲电影．其中数据“126.88亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数据“126.88亿”用科学记数法表示为．
故选：C．
3. 如图所示几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据俯视图是从上面看所得到的图形解答即可．
【详解】解：从上面可看，是一个矩形，矩形的中心位置是一个圆．
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，合并同类项，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键；
根据合并同类项，同底数幂的乘法和除法，积的乘方法则，逐一进行计算即可．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意；
故选：D
5. 如图，四边形是菱形，过点作交对角线于点．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、用勾股定理解三角形，先根据勾股定理求得的长，然后利用等面积法可求得的长，再根据勾股定理可求得结果，正确求得边长的结果是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
6. 已知抛物线，则它的顶点M一定在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质．利用二次函数的性质判断抛物线开口向下，对称轴在轴的右侧，然后求得，即可判断顶点一定在第一象限．
【详解】解：抛物线，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
，
，
对称轴在轴的右侧，
，
抛物线与轴有两个交点，
顶点一定在第一象限，
故选：A．
7. 如图，是的弦，过点作于点，交于点，过点A作的切线交的延长线于点，连接．下列结论错误的是（ ）
A. 平分B.
C. D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据切线性质得出，根据，得出，即可证明A正确；根据垂径定理得出，证明，根据，即可判定B正确；证明，得出，即可得出，判断C正确；先求出，，根据三角形内角和定理求出，即可判断D错误．
【详解】解：，
，
是的切线，
，
，
，
，
，即平分，故A项正确，不符合题意；
由垂径定理得，
，
，
∴，
，
，故B项正确，不符合题意；
，，
，
，
∴，
∴，
，故C项正确，不符合题意；
，
，
，
，
，故D项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，三角形相似的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握相关的性质，数形结合．
8. 已知，，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A. ，B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查比例的性质，根据比例性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，故选项A、C错误，不符合题意；
∴，，
故选项B正确，符合题意，选项D错误，不符合题意，
故选：B．
9. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，按如下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧．两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与BD交于点P，与BC交于点Q．AP的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意图中作图为作BC边的垂直平分线，即可求出BQ的长度，根据勾股定理求出AQ的长，根据列比例可求出AP的长．
【详解】解：四边形ABCD为菱形，
，
依题意图中作图为作BC边的垂直平分线，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识点，明确题目中所画直线为垂直平分线是解题关键．
10. 如图，在中，，，，直线经过点，且垂直于，直线从点出发，沿方向以的速度向点运动，当直线经过点时停止运动，分别与、（）相交于点，，若运动过程中的面积是（），直线的运动时间是（s），则与之间函数关系的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用．分类讨论是解答本题的关键．过点C作于D．先证明是直角三角形，进而求出的长．然后分和两种情况，求出的长，根据三角形面积公式即可得出y与x的函数关系式，进而得出结论．
【详解】过点作于．
∵，
∴是直角三角形，
∴，，
∴，．分两种情况：
（1）当时，如图1．
∵，
∴，
∴，函数图象是开口向上，对称轴为轴，位于轴右侧的抛物线的一部分；
（2）当时，如图2．
∵，
∴，
∴，函数图象是开口向下，对称轴为直线，位于对称轴右侧的抛物线的一部分；综上所述：B选项符合题意．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分 20分）
11. 计算：–2cs60°=______．
【答案】0
【解析】
【分析】根据零指数幂和特殊角的三角函数值可以解答.
【详解】–2cs60°=1-.
故答案是：0.
【点睛】考查分式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
12. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中阴影部分的概率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率，根据题意得游戏版的总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积，进行计算即可得，能正确求出游戏板的面积和阴影部分所占的面积是解题的关键．
【详解】解：∵游戏板的总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积，
∴飞镖落在阴影部分的概率是：，
故答案为：．
13. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，顶点A，B分别在轴，轴的正半轴上，点是斜边的中点．若反比例函数的图象经过D，C两点，已知，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，过点C作轴于点D，然后证明，设点A的坐标为，可以得到点C和的坐标，代入反比例函数解析式即可解题．
【详解】解：过点C作轴于点D，
则，
设点A的坐标为，则，，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
即点的坐标为，
∴点的坐标为，
∵点和在反比例函数的图象上，
∴，解得：（舍去），，
故答案为：．
14. 如图，矩形中，，对角线，交于点，是边上的一点，是的中点，连接，，已知的周长为，则：
（1）_______；
（2）的面积_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据题意得出则，在中，，勾股定理建立方程，即可求解；
（2）根据题意得出是的中位线，进而根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）∵四边形是矩形，
∴
∵是的中点，
∴，
∵的周长为，
∴，
又在中，，
即，
解得：；
故答案为：．
（2）∵矩形中，对角线，交于点，
∴是的中点
∵是的中点，
∴且，
，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质，思考掌握相关性质并灵活运用是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键．先算小括号内的分式加减运算，然后对分式的分子、分母因式分解，再约分得到化简结果，最后将代入计算即可．
详解】解：原式
，
当时，原式．
16. 某水果店销售两种规格水果礼盒，A水果礼盒进货价为每盒60元，售价为每盒80元，B水果礼盒进货价为每盒45元，售价为每盒60元．若该店购进两种水果礼盒的费用恰好为9000元，A水果礼盒按售价打九折进行促销，而B水果礼盒则按利润率为定价，使得总利润至少为3000元，且两种水果礼盒全部售完．最多购进A水果礼盒多少盒？
【答案】最多购进A水果礼盒48盒
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，设购进A种水果礼盒m盒，B种水果礼盒n盒，根据进货总价9000元列出方程，整理得到，再根据第三周总利润至少为3000元列出不等式，代入求出最大整数解即可．
【详解】解：设购进A种水果礼盒m盒，则购进B种水果礼盒n盒．由题意，得
，
整理，得．
由题意，得，
整理，得．
把代入，得，
解得．
因为均为非负整数，
所以当时，．
故最多购进A水果礼盒48盒．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知．
（1）在平面直角坐标系中作出关于x轴成轴对称的图形，请在图中画出；
（2）以原点O为位似中心，在网格中作出的位似图形使得与的相似比为．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图-位似变换：掌握画位似图形的一般步骤（先确定位似中心，再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）．
（1）根据关于x轴对称点的坐标特征写出的坐标，然后描点即可；
（2）把A、B、C点的横纵坐标都乘以得到的坐标，然后描点即可．
【小问1详解】
解：如图所示；
【小问2详解】
解：如图所示
18. 如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第1幅图有4个圆点，第2幅图有7个圆点，第3幅图有10个圆点，…，按照此规律排列下去．
.
（1）第5幅图中有______个圆点，第 n幅图中有______个圆点；
（2）若第幅图和第n幅图中的圆点个数的和为128个，求n的值．
【答案】（1）16，
（2）
【解析】
【分析】本题考查用代数式表示图形变化的规律，一元一次方程的应用：
（1）观察所给图形，找出规律，并用代数式表示；
（2）结合（1）中结论列一元一次方程，解方程即可．
小问1详解】
解：由所给图形可知，
第1幅图中圆点的个数为：；
第2幅图中圆点的个数为：；
第3幅图中圆点的个数为：；
…，
所以第n幅图中圆点的个数为个．
当时，
个，
即第5幅图中圆点的个数为16个．
故答案为：16，．
小问2详解】
解：由题知，，
解得，
所以n的值为
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一 处、已知试管，，试管倾斜角为．
（1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度；
（2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，）
【答案】（1）酒精灯与铁架台的水平距离的长度为
（2）线段长度为
【解析】
【分析】本题主要考查了三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
（1）过点作于点，根据题意可得，，利用三角函数可得（），易得，即可获得答案；
（2）过点作于点H，于点，过点作于点，利用三角函数可解得，的值，再证明为等腰直角三角形，并解得，然后由求解即可．
【小问1详解】
解：过点作于点，如下图，
∵，，
∴，，
∵，
∴（），
∴，
答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为；
【小问2详解】
如图，过点作于点H，于点，过点作于点，
则（），（），
∵，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴（），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（），
答：线段的长度为．
20. 如图，已知点是线段上一点，以为直径作，点为的中点，过点作的切线，为切点，连接交于点．

（1）证明：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接、，由切线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，根据等角的余角相等可得，由对顶角的性质可得，则，据此证明；
（2）根据三角函数的概念可设，则，，，，，由勾股定理可得的值，进而可得
【小问1详解】
证明：连接，，如图，

为的切线，
，
.
点为的中点，
，
，
.
，
，
.
，
，
；
【小问2详解】
解：，
.
，
.
设，则，
，
，
.
.
，
，
解得：不合题意，舍去或.
.
【点睛】本题考查了切线的性质，正切的定义，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 为庆祝中华人民共和国成立周年，某校举行了“中国近现代史”知识竞赛（百分制），为了 解七、八年级学生的答题情况，从中各随机抽取了名学生的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
．七年级学生竞赛成绩的频数分布表：
．八年级学生竞赛成绩的扇形统计图：
． 八年级学生竞赛成绩在这一组的数据是：，，，，，，，，，，，，，．
．七、八年级学生竞赛成绩的中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中，的值， ， ；
（2）此次竞赛中，若抽取的一名学生的成绩为分，在他所在的年级，他的成绩超过了一半以上被抽取的学生的成绩，他是哪个年级的学生?请说明理由．
【答案】（1），
（2）他在七年级，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了统计图与数据的分析综合，涉及频数和频率，中位数等知识，从统计图表获取信息和对中位数是解题关键．
（1）根据频率频数总数，得出的值，再根据扇形统计图求出八年级学生在各个分数段的竞赛成绩人数，最后根据中位数的概念可得的值；
（2）根据中位数的定义解答即可．
【小问1详解】
解：，
八年级学生竞赛成绩在的人数有（人），在的人数有（人），在的人数有（人），在的人数有（人），
又八年级学生竞赛成绩的中位数是将数据从小到大排列的第、位数的平均数，而第、位数分别是这一组数据中的、，
八年级学生竞赛成绩的平均数为，
故答案为：，；
【小问2详解】
他是七年级的学生，理由如下：
七年级学生竞赛成绩的中位数为，八年级学生竞赛成绩的中位数为，
七年级有一半的学生成绩不高于，八年级有一半的学生成绩不高于，
七年级超过有一半的学生成绩低于，而八年级不确定超过有一半的学生成绩低于，
他在七年级．
七、（本题满分12分）
22. 如图1，在中，，为边上一点，于点，连接并延长交于点．

（1）若，求的长；
（2）如图2，若，求证：；
（3）如图3，若为中点，求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键，（1）根据题意易证，再根据勾股定理求得的长，再利用相似比即可得到的值；（2）过点作，交的延长线于点．利用“”证明，得到，进而得到，即可得到，利用等量代换即可得到．（3）过点作，交的延长线于点．作于点．易证，可得，即，则，从而得到．则，即可得到．
【小问1详解】
解：，
，
．
又，
．
，
，
．
在中，
，
由勾股定理得，
．
【小问2详解】
解：如图1，

，
，
，
又．
，
，
，
，
，即．
【小问3详解】
解：如图2，过点作，交的延长线于点．作于点．

为的中点，，
．
，
∴，
，
即．
又，
．
，即．
八、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点重合）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，过点作于点，当的值最大时，求点的坐标及的最大值；
（3）过点作轴的平行线交直线于点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，请求出此时点的坐标．
【答案】（1）
（2）点的坐标为，的最大值为
（3）点的坐标为
【解析】
【分析】本题考查二次函数综合，涉及求抛物线解析式，线段最值问题，图形翻折等知识点；
（1）把，，代入解析式列方程计算即可；
（2）设先求出直线的表达式为，过点作轴交直线于点，交轴于点．由已知得到，当取最大值时，的值也最大，设点，则点，表示出求最大值即可．
（3）设交轴于点．先得到为等腰直角三角形，设点的坐标为，则，得到点的坐标为，再根据点在抛物线上列方程求解即可．
【小问1详解】
解：抛物线与轴交于点，
．
把点代入，
得，
解得，
该抛物线的表达式为．
【小问2详解】
解：设直线的表达式为，
把．代入得，
解得，
直线的表达式为．
如答图1．过点作轴交直线于点，交轴于点．
点，
．
．
，
即．
．
当取最大值时，的值也最大．
设点，则点．
．
，
当时，有最大值．
，．
即当取最大值时，点的坐标为，此时，的最大值为．
【小问3详解】
解：如图2，设交轴于点．
由题意知，
为等腰直角三角形．
设点的坐标为，
．
．
点的坐标为．
又点在抛物线上，
，
解得或（舍去）．
．
点的坐标为．
成绩
频数
频率
合计
中位数
七年级
八年级