辽宁省沈阳市虹桥初级中学2023-2024学年七年级下学期4月月考数学试题(含解析)

这是一份辽宁省沈阳市虹桥初级中学2023-2024学年七年级下学期4月月考数学试题(含解析)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
考试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，被认为是本世纪发现的最具颠覆性的新材料之一，其理论厚度仅有0.00000000034m，请将数字0.00000000034用科学记数法表示为（ ）
A．34×1012B．34×10﹣12C．3.4×1010D．3.4×10﹣10
2．如图，，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
3．已知下列算式：①；②；③；④；⑤．其中计算结果正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
4．已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，对于下列条件：；；；其中一定能得到的条件有（ ）
A．B．C．D．
6．若，则表示的代数式是（ ）
A．B．C．D．
7．先阅读材料，再解答：
在中，有一点，当没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当内的点的个数增加时，若其它条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？
观察上述图形，结合上表，则表中的“？”地方应是（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
8．下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（ ）
A．●表示点EB．◎表示PQC．⊙表示OQD．表示射线EF
9．如图，已知，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，点分别在长方形的边上，点在上，若正方形的面积等于20，图中阴影部分的面积总和为8，则正方形的面积等于（ ）

A．3B．4C．5D．6
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若，则的余角是 ．
12．若，则的值是 ．
13．若的结果中不含项，则的值为 ．
14．如图，已知动点从点出发，以每秒的速度在图①的边（相邻两边互相垂直）上按的路线移动，相应的的面积与点的运动时间的图象如图②所示，且．当时， 秒．
15．在，中，，现将直角顶点按照如图方式叠放，点在直线上方，且，能使有一条边与平行的所有的度数为 ．
三、简答题
16．计算：
(1)
(2)
(3)（运用公式简便运算）
17．化简求值：，其中，．
18．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上．
(1)过点作直线，使得于点；
(2)过点作直线，使得
(3)的面积是______．
19．补全下面推理过程
如图，平分．

(1)与平行吗？请说明理由；
解：与______，理由如下：
，（平角的定义）
，（已知）
______（______），
(2)与的位置关系如何？为什么？
解：与的位置关系是：______．
平分；（已知）
（______），
又（已知）．
即，
______（______）．
（______）．
20．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：

(1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于的关系式：（用含的代数式表示出来）；
图1表示：____________；
图2表示：____________；
(2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
①若，求的值；
②请直接写出下列问题答案：
若，则______；
若，则______．
(3)如图3，长方形中，，长方形的面积是210，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点作的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积．（结果为具体的数值）
图3
21．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．
例题：求多项式的最小值．
解：，
因为，所以．
当时，．因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1．
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：
(1)【理解探究】
已知代数式，则的最小值为______；
(2)【类比应用】
张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米，米，乙菜地的两边长分别是米，米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由；
(3)【拓展升华】
如图，中，，点分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒，请直接写出的面积最大值．
22．在数学综合与实践课上，老师给出了下列问题：
探究结论：（1）如图1，，，则 ：
如图2，，，则
结论：两个角的两边分别平行，则这两个角 或
应用结论：（2）①若两个角的两边分别平行，其中一个角是另一个角的2倍少60°，则角的度数为 ；
②在图3中，五边形，点G、F分别在、上，将∠A沿翻折得到，，，，，求的度数．
拓展应用：（3）在图4中，，，，，平分，G点是线段上的一个动点，若中有两个相等的角，，，直接写出的度数．
23．端午节至，甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象，回答下列问题：
(1)这次龙舟赛的全程是______米，______队先到达终点；
(2)甲队的速度为______m/min，乙与甲相遇时乙的速度______m/min；
(3)乙队出发______min，追上甲队；
(4)在乙队与甲相遇之前，当t为__________min时，他们何时相距50米．
参考答案与解析
1．D
【分析】用科学记数法表示较小的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】
故选：D
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键．
2．B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，垂直的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出相等（或互补）的角．先根据三角形内角和可求得，再由平行线的性质，可求得．
【详解】
在中，，


故选：B．
3．B
【分析】本题考查整式的运算，根据幂的相关运算法则，逐一进行判断即可．
【详解】解：，故①错误；
，故②正确；
，不是同底数幂，指数也不同，故③错误；
，故④正确；
；故⑤正确；
故选B．
4．C
【分析】分别计算的值，然后比较大小即可．
【详解】解：，，，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，乘方，有理数的大小比较．解题的关键在于正确的运算．
5．B
【分析】利用平行线的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：，∴；
， ∴；
，∴；
，∴；
综上分析可知，一定能得到的条件有，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的判定定理，灵活运用平行线的判定定理是解题的关键．
6．C
【分析】本题主要考查了平方差公式．利用平方差公式计算，即可求解．
【详解】解：
故选：C
7．D
【分析】本题考查了图形中的数字规律，正确判定三角形个数与点的个数与序号之间的关系是解题的关键．根据规律计算即可．
【详解】解：当点的个数为1时，三角形的个数为：；
当点的个数为2时，三角形的个数为：；
当点的个数为3时，三角形的个数为：；
……
故当点的个数为1012时，三角形的个数为：；
故选：D．
8．D
【分析】根据用尺规作一个角等于已知角的性质分析，即可得到答案．
【详解】根据题意，●表示点O，故选项A不正确；
◎表示OP或OQ，故选项B不正确；
⊙表示PQ，故选项C不正确；
表示射线EF，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了角的知识；解题的关键是熟练掌握用尺规作一个角等于已知角的性质，从而完成求解．
9．A
【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．由可得出的度数，可得出的度数，由可得出的度数．
【详解】解：∵，
，
，
，
∵，
，
∵，
，
．
故选：A．
10．B
【分析】本题考查了平方差公式与图形的面积，解决本题的关键是找准图形间的面积关系．
设大、小正方形边长为、，则，然后利用图中阴影部分的面积总和为6，进而可得正方形的面积．
【详解】解：设大、小正方形边长为、，
则有，阴影部分面积为：，
即，
可得，
正方形的面积等于
即所求面积是4．
故选：B．
11．##度
【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数，根据度数之和为90度的两个角互余进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴的余角是，
故答案为：．
12．64
【分析】逆用的幂的乘方和同底数幂的乘法法则，进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：64．
【点睛】本题考查幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法．熟练掌握相关运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据结果中不含项，得出，进而即可求解．
【详解】

∵结果中不含项，
∴
解得：，
故答案为：．
14．3或14##14或3
【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据题意得：动点P在上运动的时间是4秒，又由动点P的速度，可得的长；再根据三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：动点P在上运动时，对应的时间为0到4秒，
∴；
动点P在上运动时，对应的时间为4到6秒，
∴；
动点P在上运动时，对应的时间为6到9秒，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当点P与点C重合时，，
∴当时，点在上或运动，
∴或，
解得：或14．
故答案为：3或14．
15．或或
【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角性质．旋转三角形，使其三边分别与形成平行状态，根据平行线的判定定理分情况讨论求解即可．
【详解】解：当时，，

当时，如图，
∴，
∵，
∵，
∴；
当时，延长交于点F，
∴，
∵，
∴；
综上所述，能使有一条边与平行的所有的度数为或或．
故答案为：或或
16．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查整式的混合运算，实数的混合运算，平方差公式的应用：
（1）先算积的乘方，单项式乘单项式，再合并即可；
（2）先算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，再算加减即可；
（3）利用平方差公式进行运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
（3）解：
17．，．
【分析】首先利用完全平方公式、单项式乘多项式的法则及平方差公式对括号内的式子进行化简，然后计算单项式与单项式的除法，最后把x，y的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
当，时，原式．
【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则及乘法公式的应用是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)4
【分析】本题主要考查了网格图，等腰三角形的性质：
（1）结合网格的特点，取的中点E，作直线即可；
（2）结合网格的特点，取格点F，作直线即可；
（3）用包含的长方形的面积减去四周小三角形的面积，计算即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）解：如图，直线即为所求；
（3）解：．
故答案为：4
19．(1)平行，，同角的补角相等
(2)平行；角平分线定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查同角的补角相等、平行线的判定、角平分线定义、邻补角定义：
（1）根据同角的补角相等证得，再根据同位角相等，两直线平行证得结论即可；
（2）根据角平分线定义证得，再根据等量代换得到，然后根据内错角相等，两直线平行证明结论即可．
【详解】（1）解：与平行，理由如下：
，（平角的定义）
，（已知）
（同角的补角相等），
；
（2）解：与的位置关系是：平行．
平分；（已知）
（角平分线定义），
又（已知）．
即，
（等量代换）．
（内错角相等，两直线平行）．
20．(1)；
(2)①11 ②；22
(3)1936
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景：
（1）由图1可知，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积可得；由图2可知，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积可得；
（2）①把两边平方后，再代入，即可求出的值；②根据将原式变形求解即可；
（3）首先根据题意得到，然后利用长方形的面积是210，结合完全平方公式代入求值即可．
【详解】（1）解：图1中，由图可知，
，
由题意得，，
即，
图2中，由图可知，，，
由题图可知，，
即；
故答案为：；；
（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴；
②由图2可得，
∵，
∴，
∴，
由图1可得，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；22
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵长方形的面积是210，
∴，
∴，
令，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
21．(1)
(2)
(3)16
【分析】本题考查的是非负数的性质，利用完全平方公式分解因式进而求解代数式的最值，灵活运用完全平方公式是解本题的关键．
（1）（1）直接利用完全平方公式可得答案；
（2）先求出，再利用完全平方公式即可求解；
（3）根据题意表示出，再利用完全平方公式即可求解．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
即的最小值为；
（2）解：，理由如下：
，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为16．
22．（1）=；180°；相等；互补；（2）①60°或；②134°；（3）70°或10°或40°
【分析】（1）利用平行线的性质可得答案；
（2）①利用（1）的结论列方程求解即可；②证明，结合，由（1）的结论可得：，从而可得答案；
（3）过B作，再证明，，结合平分，可得，由中有两个相等的角，再分三种情况讨论即可．
【详解】解：（1）如图1，∵，，
∴，，
则；
如图2，∵，，
∴，，
则，
结论：两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补
应用结论
（2）①∵一个角是另一个角的2倍少60°，
∴另一个角为，
由（1）可得：这两个角相等或互补；
当这两个角相等时，则，解得；
当这两个角互补时，则，
解得：；
则角的度数为60°或．
② ∵ ，，
∴，
∵ ，
由（1）的结论可得：
，
∵ ，
∴ ．
（3）过B作，
∵ ，
∴，
∵
同理可得：，
∴，
∵，
同理可得：，
∵平分，
∴ ，
∵
∴ ，
∵中有两个相等的角，
当时，则，
∴；
当时，则，
当时，．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，一元一次方程的应用，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，熟练的利用推导的结论解题，清晰的分类讨论都是解本题的关键．
23．(1)1000；乙
(2)250；375
(3)3.4
(4)或3
【分析】本题主要考查了从函数图象中获取信息，一元一次方程的应用，解题的关键在于能够正确读懂函数图象．
（1）由图中所给数据信息可知，这次龙舟赛的全程是1000米，乙队先到达终点；
（2）由图中信息可知：乙是在比赛开始后的2.2分钟至3.8分钟之间和甲相遇的，这期间乙共行驶了600米，用时1.6分钟，由此即可求得此时乙的速度；甲走完1000米一共用了4分钟即可求出甲的速度；
（3）根据甲乙两人相遇时所走的路程一样进行求解即可；
（4）根据题意可知在2.2分钟之前和之后，各存在一次甲、乙相距50米的时刻，由此建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由图中信息可知，这次龙舟赛的全程是1000米，乙队先到达终点；
故答案为：1000；乙
（2）解：由图中信息可知，乙是在比赛开始后的2.2分钟至3.8分钟之间和甲相遇的，这期间乙共行驶了600米，用时1.6分钟，
∴乙和甲相遇时的速度为：；
∵甲一共花了4分钟走完全程，
∴甲的速度为；
故答案为：250；375
（3）解：设乙队出发t分钟，追上甲，由题意得：
，
解得：，
∴乙队出发3.4分钟，追上甲；
故答案为：3.4
（4）解：由图中信息和（2）可知，甲的速度为：，
乙在2.2分钟前的速度为：，
乙在2.2分钟之后的速度为，
∴在2.2分钟时，甲、乙间的距离为：（米），
∴在2.2分钟之前和之后，各存在一次甲、乙相距50米的时刻，
设甲、乙在相遇之前，x分钟时相距50米，由题意得：
或，
解得：或，
即甲、乙相遇前，在比赛开始后的第分钟或第3分钟时，两队相距50米．
故答案为：或3
内点的个数
1
2
3
…
1012
构成不重叠的小三角形的个数
3
5
7
…
？
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB
作法：（1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心◎长为半径画弧交EG于点D；
（3）以点D为圆心⊙长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；
（4）作，∠DEF即为所求作的角．