广东省普宁市勤建学校2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份广东省普宁市勤建学校2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．在 △ABC 中， BC=2 ， AB=4,csC=-14 ，则 AC 的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．已知向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
4．在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A．B．C．D．
5．已知为不共线向量，，则（ ）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
6．已知平面上三点满足，则的形状是
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
7．已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A．B．C．D．
8．已知在中，，，若的最小值为3，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）
A．向量，能作为平面内所有向量的一组基底
B．若点G是的重心，则
C．若，则或
D．若向量，，则向量在向量上的投影向量为
10．在中，若，，，则a等于（ ）
A．B．C．D．
11．如图放置的边长为1的正方形的顶点分别在轴、轴正半轴上（含原点）上滑动，则的值可能是（ ）
A．1B．
C．2D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．在平行四边形中，，若点满足则 .
13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为 .
14．笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称.如图，在平面斜角坐标系xOy中，两坐标轴的正半轴的夹角为，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.若向量，则称有序实数对为在该斜角坐标系下的坐标.若向量，在该斜角坐标系下的坐标分别为，，且，则实数k的值为 .

四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量．
(1)求向量的坐标；
(2)求+向量的模．
16．已知向量满足，且与的夹角为.
(1)若，求实数的值；
(2)求与的夹角的余弦值.
17．在中，内角的对边分别为，且．
(1)求A：
(2)若，的面积为，求的周长．
18．某景区拟开辟一个平面示意图是如图所示的五边形ABCDE的观光步行道，BE为景点电动车专用道，，，，．
(1)求景点电动车专用道BE的长；
(2)由于受资金的限制，折线步行道BAE（即）不能超过20km，问景区可不可以铺设该步行道？
19．在锐角三角形ABC中，.
(1)求证：为定值；
(2)求下列各式的取值范围；
①；②.
参考答案
1．【答案】A
【详解】由，，
则．
故选A．
2．【答案】B
【详解】 △ABC 中， a=BC=2,c=AB=4,csC=-14 ，
∴c2=a2+b2-2abcsC ，
即 16=4+b2-4b× -14 ，化简得 b2+b-12=0 ，
解得 b=3 或 b=-4 （不合题意，舍去），
∴b=AC=3 ，
故选B．
3．【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.
【详解】因为，所以，
所以即，故，
故选D.
4．【答案】C
【详解】
故选C
5．【答案】A
【详解】因为，所以三点共线，
故选A．
6．【答案】A
【详解】
设AC的中点为D，则，
因为，即
所以，
即中线BD也为高线，所以△ABC是等腰三角形 ．
故选A.
7．【答案】A
【详解】因为，且，所以，
即，所以，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选A.
8．【答案】B
【详解】
令，
由题意的最小值为9，
当时，显然不符合；
所以，此时抛物线开口向上，对称轴为，
所以，
解得，
故选B.
9．【答案】BD
【详解】因为向量，，则，即，则不能作为平面内的基底，故A错误；

如图所示，连接并延长交于点，点为中点，延长到点，使得，则，，所以，故B正确；
因为，若，则或或，故C错误；
因为向量，，则向量在向量上的投影向量为
，故D正确；
故选BD.
10．【答案】AB
【详解】由正弦定理得，即，所以．
又，所以或．故或，
当时，，；
当时，．
故选AB.
11．【答案】AC
【详解】如图令，由于故，，
如图，，故，，
故，
同理可求得，即，
，，
，
故选AC.
12．【答案】36
【详解】

由题意得，，所以.
13．【答案】
【详解】因为已知， 由余弦定理可得，
因为，又因为，得，
当且仅当时等号成立，
则面积为，
当且仅当时等号成立，故的面积的最大值为.
14．【答案】
【详解】由题意得，，，
故
，
解得.
15．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）依题意，向量，
，
.
（2）由于，
所以.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
即，即，
所以，解得.
（2）因为，
，
所以，
即与的夹角的余弦值为.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，以及正弦定理可得
即，
即，
又在中，
所以，
则在中；
（2）由（1）可得，
所以，
由余弦定理，
解得，
所以的周长.
18．【答案】(1)15km．
(2)景区可以铺设该步行道．
【详解】（1）
连接BD，在中，，，
所以，
所以．由题意可知，所以．
在中，，
所以，即景点电动车专用道BE的长为15km．
（2）设，则，，．
在中，由正弦定理得，
所以，
，
所以．
设，，则．
因为在上单调递增，所以．
因为，所以景区可以铺设该步行道．
19．【答案】(1)证明见解析；
(2)；.
【详解】（1）因，
则
得，
则或（排除），则；
（2）①由（1），.
又，结合三角形ABC为锐角三角形，
则，因在上单调递减，
则.令，则，
则.
因函数在上单调递增，则.
即.
②由，
则.
注意到，，
则,
由①，，又在上单调递增，则.
又在上单调递增，则在上单调递减.
故.