广东省普宁市勤建学校2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份广东省普宁市勤建学校2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）．
A．B．C．D．
3．用0,1,2,3,4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( )
4．函数的导数为（ ）
A．B．
C．D．
5．若向量和向量平行,则
A．B．C．D．
6．函数在区间上的最小值是
A．-9B．-16C．-12D．9
7．若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是（ ）
A．eB．C．D．
8．已知函数是定义域为，是函数的导函数，若，且，则不等式的解集为
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为（ ）
A．(1，1)B．(－1，－1)
C．D．
10．已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（ ）

A．有个极值点
B．是的极大值点
C．是的极大值点
D．在上单调递增
11．函数的一个单调递减区间是（ ）
A．（e，+∞）B．C．（0，）D．（，1）
三、填空题（本大题共3小题）
12．抛物线的焦点坐标为 ．
13．曲线在点（2，6）处的切线方程为 ．
14．曲线在点在时的切线斜率为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．求下列函数的导数.
（1）
（2）
（3）
16．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间上的最值．
17．如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点.

(1)证明：平面.
(2)求与平面所成角的正弦值.
18．已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
19．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数和有相同的最大值，求的值.
参考答案
1．【答案】D
【分析】先运用列举法求得集合M，由此可判断得选项．
【详解】由已知得集合，又，
所以不成立，不成立，不成立，成立.
故选D．
2．【答案】C
【详解】由题意得.
故选C.
3．【答案】 B
【详解】 计算偶数个数分为两类：
①若个位数字是0，十位和百位从另4个数字中选两个进行排列有 A42 ＝12(种)结果；
②若个位数字不是0，从2和4中选一个作个位，从除0外的另3个数字中选一个作百位，
再从余下3个数字中选一个作十位，共有 A21 A31 A31 ＝18(种)结果，
由分类加法计数原理得，偶数共有12＋18＝30(个)．
4．【答案】B
【详解】函数，求导得.
故选B
5．【答案】C
【详解】利用向量平行列方程求出，进而可得的坐标，则可得.
【详解】由题意得,,得，
即,故，
∴.
故选C.
6．【答案】B
【详解】，故函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.，，，故最小值为.所以选B.
7．【答案】C
【详解】设直线与曲线相切于点，函数的导函数为，
则，解得.
故选C
8．【答案】C
【详解】令，，则．因为，所以，所以函数在上单调递增．易得 ，因为函数的定义域为，所以，解得，所以不等式等价于，即．又，所以，所以等价于．因为函数在上单调递增，所以，解得，结合可得．故不等式的解集是．故选C．
9．【答案】AB
【详解】切线的斜率k＝tan π＝－1，
设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，
又f′(x)＝－，∴－＝－1，∴x0＝1或－1，
∴切点坐标为(1，1)或(－1，－1)．
故选:AB．
10．【答案】ABD
【详解】根据函数的图象可知，
在区间，单调递增；
在区间，单调递减.
所以有个极值点、是的极大值点、在上单调递增，
是的极小值点，
所以ABD选项正确，C选项错误.
故选ABD
11．【答案】AD
【详解】的定义域为，
，
所以在区间上，递减，
所以AD选项符合题意.
故选AD
12．【答案】
【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为.
13．【答案】
【详解】因为，所以，
所以切线方程为，即.
14．【答案】3
【详解】，当时，，故曲线在点在时的切线斜率为3.
15．【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】利用导数的运算法则计算即可.
【详解】（1）；
（2）
；
（3）.
16．【答案】(1)的单调递增区间为和，单调递减区间为
(2)最大值为16，最小值为.
【分析】(1)利用导数求解函数的单调区间即可.
(2)利用导数求解函数在闭区间上的最值即可.
【详解】（1）
令.则，
则当和时，单调递增，
当时，单调递减，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为
（2）由(1)知当时，取极大值为，当时，取极小值为，
，则在上最大值为16，最小值为.
17．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】(1)借助正四棱柱的性质可建立空间直角坐标系，求出空间向量与平面的法向量后，借助空间向量计算即可得；
(2)求出空间向量与平面的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得.
【详解】(1)在正四棱柱中，，，两两垂直，且，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，.

因为，分别为的中点，所以，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则有，，即，
因为，所以，
又平面，所以平面；
(2)由(1)可知，，
，
所以与平面所成角的正弦值为.
18．【答案】（1）；（2）18.
【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.
当y=0时，解得，所以a=4，
椭圆过点M(2，3)，可得，
解得b2=12.
所以C的方程：.
(2)设与直线AM平行的直线方程为：，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.

联立直线方程与椭圆方程，
可得：，
化简可得：，
所以，即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程：，
直线AM方程为：，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得：，
由两点之间距离公式可得.
所以△AMN的面积的最大值：.
19．【答案】(1)
(2).
【详解】（1）当时，则，
可得，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即.
（2）的定义域为，而，
若，则，
此时函数在上单调递减，无最大值，不符合题意，故.
令，得，当时，在单调递增，
当时，在单调递减，
所以的最大值为.
的定义域为，而.
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以的最大值为.
因为和有相同的最大值，
故，整理得到，其中，
设，则，
故为上的减函数，而，
故的唯一解为，故的解为.
综上所述，.
A．24个
B．30个
C．36个
D．42个