2024-2025学年天津市南开区崇化中学高二（下）段考数学试卷（二）（含答案）

这是一份2024-2025学年天津市南开区崇化中学高二（下）段考数学试卷（二）（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.二项式(x−1 x)6的展开式中的常数项为( )
A. 9B. 12C. 15D. 18
2.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的期望为( )
A. 5B. 1C. 12+ln2D. 83
3.函数f(x)=xx2+1的单调递增区间是( )
A. (−∞,−1)B. (−1,1)
C. (1,+∞)D. (−∞,−1)和(1,+∞)
4.学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二(1)班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若X表示选到高二(1)班的候选人的人数，则E(X)=( )
A. 34B. 89C. 38D. 45
5.已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X>1)=0.5，则实数a的值为( )
A. 1B. 3C. 2D. 4
6.设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X0−x2−2x,x≤0，若函数y=f(x)−m(m为常数)有且仅有4个零点，则m的取值范围是______．
三、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)
老师要从10篇课文中随机抽3篇让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇．
(Ⅰ)求抽到他能背诵的课文的数量的分布列；
(Ⅱ)求他能及格的概率．
18.(本小题13分)
(1)若(1+2x)2015=a0−a1x+a2x2−…−a2015x2015(x∈R)，求(a0+a1)+(a0+a2)+…+(a0+a2015)的值；
(2)若(1−2x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a8|的值．
19.(本小题13分)
设函数f(x)=3x2+axex,a∈R．
(1)若f(x)在x=0处取得极值，求实数a的值；
(2)若f(x)在[3,+∞)上为减函数，求实数a的取值范围．
20.(本小题13分)
已知函数f(x)=(x−2)ex−12ax2+ax(a∈R)．
(Ⅰ)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(Ⅱ)若a>0，讨论函数f(x)的单调性；
(Ⅲ)当x≥2时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.D
5.A
6.C
7.B
8.B
9.C
10.D
11.128
12.3
13.16
14.5

16.(0,1e)
17.解：(Ⅰ)设从10篇课文中随机抽3篇该同学能背诵的篇数为X，则X可取0，1，2，3，且服从超几何分布
∴P(X=k)=C6kC43−kC103(k=0,1,2,3)
∴X的分布列为
(Ⅱ)该同学能及格，表示他能背诵2篇或3篇，故概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=12+16=23．
18.解：(1)令x=0，则a0=1，
令x=−1，则−1=a0+a1+a2+…+a2015，
所以(a0+a1)+(a0+a2)+…+(a0+a2015)=2014a0+(a0+a1+a2+…+a2015)=2014+(−1)=2013．
(2)(1−2x)8展开式的通项公式为Tr+1=C8r(−2x)r，
所以当r为偶数时，系数为正，当r为奇数时，系数为负，
所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a8|=a0−a1+a2−a3+…+a8，
令x=−1，则(1+2)8=a0−a1+a2−a3+…+a8=38，
故|a0|+|a1|+|a2|+…+|a8|=38．
19.解：(1)f′(x)=−3x2+(6−a)x+aex，
∵f(x)在x=0处取得极值，∴f′(0)=0，解得a=0，
当a=0时，f(x)=3x2ex，f′(x)=−3x2+6xex，符合题设；
(2)由f(x)在[3,+∞)上为减函数，
∴f′(x)≤0在[3,+∞)上恒成立，
可得a≥−3x2+6xx−1在[3,+∞)上恒成立．
令u(x)=−3x2+6xx−1，u′(x)=−3[(x−1)2+1](x−1)20，f′(x)=0的解为x1=lna，x2=1，
(1)当lna=1，即a=e时，f′(x)≥0，则f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，
(2)当lna0；在区间(1,lna)上，f′(x)0，ex−a>0，所以f′(x)>0，
则f(x)在[2,+∞)上单调递增，f(x)≥f(2)=0成立，
(2)当0e2时，在区间(2,lna)上，f′(x)0，
所以f(x)在[2,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，
所以在区间[2,lna)上，f(x)≤f(2)=0，不符合题意，
综上所述，a的取值范围是(−∞,e2]. X
0
1
2
3
P
130
310
12
16