天津市南开区崇化中学2024-2025学年高二（下）段考数学试卷（二）（含解析）

这是一份天津市南开区崇化中学2024-2025学年高二（下）段考数学试卷（二）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.二项式(x−1 x)6的展开式中的常数项为( )
A. 9B. 12C. 15D. 18
2.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的期望为( )
A. 5B. 1C. 12+ln2D. 83
3.函数f(x)=xx2+1的单调递增区间是( )
A. (−∞,−1)B. (−1,1)
C. (1,+∞)D. (−∞,−1)和(1,+∞)
4.学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二(1)班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若X表示选到高二(1)班的候选人的人数，则E(X)=( )
A. 34B. 89C. 38D. 45
5.已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X>1)=0.5，则实数a的值为( )
A. 1B. 3C. 2D. 4
6.设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X0−x2−2x,x≤0，若函数y=f(x)−m(m为常数)有且仅有4个零点，则m的取值范围是______．
三、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)
老师要从10篇课文中随机抽3篇让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇．
(Ⅰ)求抽到他能背诵的课文的数量的分布列；
(Ⅱ)求他能及格的概率．
18.(本小题13分)
(1)若(1+2x)2015=a0−a1x+a2x2−…−a2015x2015(x∈R)，求(a0+a1)+(a0+a2)+…+(a0+a2015)的值；
(2)若(1−2x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a8|的值．
19.(本小题13分)
设函数f(x)=3x2+axex,a∈R．
(1)若f(x)在x=0处取得极值，求实数a的值；
(2)若f(x)在[3,+∞)上为减函数，求实数a的取值范围．
20.(本小题13分)
已知函数f(x)=(x−2)ex−12ax2+ax(a∈R)．
(Ⅰ)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(Ⅱ)若a>0，讨论函数f(x)的单调性；
(Ⅲ)当x≥2时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：展开式的通项公式为Tr+1=C6rx6−r(−1 x)r=C6r(−1)rx6−3r2，
令6−3r2=0，解得r=4，
所以展开式的常数项为C64⋅(−1)4=15，
故选：C．
求出展开式的通项公式，然后令x的指数为0，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：设这名学生在上学路上因遇到红灯的次数为X，
则X～B(4,13)，∴E(X)=4×13=43，
∵遇到红灯停留的总时间Y=2X，
∴E(Y)=E(2X)=2E(X)=83，
故选：D．
根据所给的条件可知该学生在路上遇到红灯的次数符合独立重复试验，根据独立重复试验公式和数学期望的性质可得结论．
本题考查独立重复试验公式，考查数学期望的性质，属于中档题．
3.【答案】B
【解析】【分析】
x≠0时，可得出f(x)=1x+1x，然后根据y=x+1x的单调性即可得出f(x)的单调递增区间．
本题考查了函数y=x+1x的单调性，增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
【解答】
解：x=0时，f(0)=0，
x≠0时，f(x)=1x+1x，
∵y=x+1x在(−1,0)，(0,1)上单调递减，
∴f(x)在(−1,1)上单调递增，即f(x)的单调递增区间是(−1,1)．
故选：B．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，属于基础题．
分别计算X的各种取值对应的概率，再计算数学期望．
【解答】
解：X的可能取值有0，1，2，
且P(X=0)=C62C102=13，P(X=1)=C41⋅C61C102=815，P(X=2)=C42C102=215，
X的分布列如下：
E(X)=0×13+1×815+2×215=45．
故选：D．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查正态分布及其应用，属于基础题．
画正态曲线图，由对称性得图象关于x=a对称且P(X>a)=0.5，结合题意得到a的值．
【解答】
解：随机变量ξ服从正态分布N(a,4)，
∴曲线关于x=a对称，且P(X>a)=0.5，
由P(X>1)=0.5，可知μ=a=1．
故选：A．
6.【答案】C
【解析】解析：因为随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，所以：P(X=k)=1n(k=1,2,3,n)，
因为：0.3=P(Xg(0)，
∵函数g(x)单调递增．
∴x>0，
∴不等式f(x)ex>2的解集为(0,+∞)，
故选：B．
根据条件构造函数g(x)=f(x)ex，利用导数求函数的单调性，即可解不等式．
本题主要考查导数的应用，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，
第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，
第三步，后排4分人，形成了5个空，任选一个空加一人，有5种，此时形成了6个空，任选一个空加一人，有6种，
根据分步计数原理可得3×4×5×6=360，
故选：C．
分三步，第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4分人，形成了5个空，任选一个空加一人，有5种，此时形成了6个空，任选一个空加一人，根据分步计数原理可得．
本题考查了分步计数原理，关键是分步，属于基础题．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查全概率公式，贝叶斯公式，属于中档题．
根据已知条件，结合全概率公式，贝叶斯公式，即可求解．
【解答】
解：设不知道答案为事件A，答对本题为事件B，
P(A)=0.6，P(A−)=0.4，P(B|A−)=0.9，P(B|A)=0.2，
故P(B)=P(A)P(B|A)+P(A−)P(B|A−)=0.6×0.2+0.4×0.9=0.48，
所以在答对本题的条件下，则不知道答案的概率为P(A)P(B|A)P(B)=0.25．
故选：D．
11.【答案】128
【解析】【分析】
本题考查了组合数计算公式的应用，组合数性质的应用，考查了化简运算能力，属于基础题．
直接利用组合数计算公式和组合数性质求解即可．
【解答】
解：C81+C83+C85+C87=2C81+2C83=2×8+2×8×7×63×2×1=128．
故答案为：128．
12.【答案】3
【解析】解：根据题意，随机变量ξ～B(4,14)，则D(ξ)=4×14×(1−14)=34，
故D(2ξ+1)=4D(ξ)=3．
故答案为：3．
根据题意，由二项分布的性质求出D(ξ)，进而由方差的性质计算可得答案．
本题考查二项分布的性质以及应用，涉及方差的性质，属于基础题．
13.【答案】16
【解析】解：①将3个相同的小球分成3组时，
即”1、1、1“，
再从4个不同的盒子选3个盒子放入，
则不同方法有C43=4种；
②将3个相同的小球分成2组时，
即”2，1“，
再从4个不同的盒子选2个盒子放入，
则不同方法有A42=12种，
即不同方法共有4+12=16种．
故答案为：16．
由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法及分步乘法计数原理求解即可．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法及分步乘法计数原理，属基础题．
14.【答案】5
【解析】解：根据二项式(1+x)4的展开式的通项公式为：Tr+1=C4r⋅xr(0≤r≤4,r∈N)；
①与1配对，故x3的系数为：C43=4；
②与1x配对，故x3的系数为：C44=1；
故展开式中x3的系数为：4+1=5．
故答案为：5．
直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果．
本题考查的知识要点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
15.【答案】0.75
【解析】解：运动员甲第二天去A餐厅用餐包含以下两种情况，
①第一天去A餐厅，则概率为12×0.7=0.35，
②第一天去B餐厅，则概率为12×0.8=0.4，
∴运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为0.35+0.4=0.75．
故答案为：0.75．
利用全概率公式求解即可．
本题考查全概率公式的运用，属于基础题．
16.【答案】(0,1e)
【解析】解：令y=f(x)−m=0，则f(x)=m，
原题意等价于y=f(x)与y=m有4个不同的交点，
当x>0时，则f(x)=lnxx，可得f′(x)=1−lnxx2，
令f′(x)>0，解得00，
则f(x)在[2,+∞)上单调递增，f(x)≥f(2)=0成立，
(2)当0e2时，在区间(2,lna)上，f′(x)0，
所以f(x)在[2,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，
所以在区间[2,lna)上，f(x)≤f(2)=0，不符合题意，
综上所述，a的取值范围是(−∞,e2].
【解析】本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，函数单调性，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．
(Ⅰ)当a=0时，根据题意可得f(x)=(x−2)ex，计算f(0)，对f(x)求导得f′(x)，再由导数的几何意义可得k切=f′(0)，进而写出切线方程．
(Ⅱ)求导得f′(x)=(x−1)ex−ax+a=(x−1)(ex−a)，令f′(x)=0的解为x1=lna，x2=1，分三种情况：当lna=1，当lna1，讨论f′(x)正负，进而可得f(x)的单调区间．
(Ⅲ)对f(x)求导得f′(x)=(x−1)(ex−a)，分三种情况：当a≤0时，当0e2时，讨论导数的正负得到f(x)的单调性，进而可得a的取值范围．X
0
1
2
P
13
815
215
X
0
1
2
3
P
130
310
12
16