2025-2026学年天津市崇化中学高二上学期阶段质量监测（一）数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年天津市崇化中学高二上学期阶段质量监测（一）数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x- 3y-2=0的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. 5π6D. 2π3
2.下列命题为真命题的是( )
A. 若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B. 若a=b，则a⇀､b⇀的长度相等且方向相同
C. 若向量AB⇀､CD满足AB>CD，且AB⇀与CD同向，则AB>CD
D. 若两个非零向量AB⇀与CD满足AB+CD=0，则AB//CD．
3.已知直线l的倾斜角为45°，且过点1,2，则在直线上的点是( )
A. 0,1B. -2,3C. 3,3D. 3,2
4.如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=23OA，点N为BC中点，则MN等于( )
A. 12a+12b-12cB. -23a+12b+12cC. 23a+23b-12cD. 23a+23b-12c
5.已知a=1,2,-y，b=x,1,2，且2b//a-b，则( )
A. x=13，y=1B. x=12，y=-4C. x=2，y=-14D. x=1，y=-1
6.已知点A2,4，B0,2，则线段AB的垂直平分线的方程为( )
A. x+y+2=0B. x+y-4=0C. x+y-2=0D. x-y-4=0
7.过点P(-1,2)且方向向量为a=(-1,2)的直线方程为( )
A. 2x+y=0B. x-2y+5=0C. x-2y=0D. x+2y-5=0
8.已知a=2,-1,3，b=-1,4,-2，c=3,2,λ，若a,b,c三向量不能作为空间的一组基底，则实数λ等于( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
9.已知向量a=1,1,0,b=-1,0,2，若向量a+kb与2a+b的夹角为锐角，则实数k的取值范围为( )
A. {k∣k>-1}B. {k∣k>-1且k≠12}
C. {k∣k-1且k≠-12}
10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，F为线段BC1的中点，E为线段A1C1上的动点，下列四个结论中，错误的是( )
A. 存在点E,EF//平面ABB1A1
B. 对任意点E,EF⊥DB1
C. 存在点E，使得EF与BD所成的角是60 ∘
D. 不存在点E，使得EF与平面AA1C1C所成的角是30 ∘
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知a=2,-1,3,b=-4,1,x,a⊥b.则a+2b= ．
12.设空间向量a=1,2,3,b=0,-1,1，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为 ．
13.过点1,1且与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程 ．
14.若直线l过点(1,-2)，且在两坐标轴上截距相等，则直线l的方程为 ．
15.两直线m+2x-y+m=0,x+y=0与x轴相交且能构成三角形，则m满足的条件是 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
已知▵ABC的顶点A4,6,B-1,1,C3,3．
(1)求BC边上的高所在直线的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程；
(3)▵ABC的中位线MN与BC边平行，求MN所在直线的方程．
17.(本小题15分)
已知直线l1:a+6x+2y+8=0，直线l2:3x-a-1y+4=0．
(1)若l1//l2，求实数a的值；
(2)若l1⊥l2，求实数a的值．
18.(本小题15分)
已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',AB=2,AD=AA'=4,∠A'AB=∠A'AD=∠BAD=60 ∘．
(1)求A'C的长度？
(2)求证：AB⊥A'D；
(3)求异面直线AA'与BD'所成角的余弦值．
19.(本小题15分)
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90∘，点E，F分别为BC，CC1的中点．
(1)证明：AB1⊥EF；
(2)求直线AB1与平面AEF所成的角；
(3)求点B1到平面AEF的距离．
20.(本小题15分)
如图，已知梯形ABCD中，AD/​/BC，∠DAB=90 ∘，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形，DE=2，平面EDCF⊥平面ABCD．
(1)求证：DF//平面ABE；
(2)求平面ABE与平面BEF的夹角的余弦值；
(3)若点P在线段EF上，且直线AP与平面BEF所成角的正弦值为 1414，求EPEF的值．
参考答案
1.A
2.D
3.A
4.B
5.B
6.B
7.A
8.C
9.B
10.D
11. 118
12.0,-12,12
13.4x-3y-1=0
14.y=-2x或y=-x-1
15.m≠-2,m≠-3,且m≠0
16.解：(1)三角形的三个顶点是A4,6,B-1,1,C3,3．
所以BC斜率为：kBC=3-13+1=12，所以BC边上的高AD的斜率为：kAD=-2，BC边上的高AD所在直线的方程为：y-6=-2×(x-4)，即2x+y-14=0；
(2)顶点是B-1,1,C3,3则其中点P1,2，所以中线AP所在直线直线斜率KAP=6-24-1=43，
所以中线AP所在直线方程为：y-6=43(x-4)，即4x-3+2=0．
(3)求出A4,6,C3,3的中点N72,92，求出BC的斜率为：kBC=3-13+1=12，由点斜式即可写出方程y-92=12x-72，即2x-4+11=0

17.解：(1)因为l1//l2，所以-a+6×a-1-2×3=0，
整理得a2+5a=0，解得a=0或a=-5，
当a=0时，l1:6x+2y+8=0,l2:3x+y+4=0,l1,l2重合，舍去，
当a=-5时，l1:x+2y+8=0,l2:3x+6y+4=0，符合题意，
故a=-5．
(2)因为l1⊥l2，
所以3a+6-2a-1=0，
解得a=-20．

18.解：(1)设AB=a,AD=b,AA'=c，A'C=AC-AA'=a+b-c，
a⋅b=2×4×12=4，a⋅c=2×4×12=4，b⋅c=4×4×12=8，
则A'C= a+b-c2= a2+b2+c2+2a⋅b-2b⋅c-2a⋅c= 22+42+42+2×4-2×8-2×4
=2 5．
(2)A'D=AD-AA'=b-c，
则AB⋅A'D=a⋅b-c=a⋅b-a⋅c=0，则AB⊥A'D．
(3)BD'=BD+DD'=AD-AB+AA'=b+c-a，
则AA'⋅BD'=c⋅b+c-a=b⋅c+c2-a⋅c=8+42-4=20，
而BD'= b+c-a2= a2+b2+c2+2b⋅c-2a⋅b-2a⋅c= 22+42+42+2×8-2×4-2×4=6
则csAA',BD'=AA'⋅BD'AA'BD'=204×6=56，
则异面直线AA'与BD'所成角的余弦值为56．

19.解：(1)以A为原点，以AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，B1(2,0,2)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(1,1,0)，F(0,2,1)
∵AB1=(2,0,2)，EF=(-1,1,1)
∴AB1⋅EF=2×(-1)+0×1+2×1=0
∴AB1⊥EF
∴AB1⊥EF；
(2)设平面AEF的法向量为m=(x,y,z)
AE=(1,1,0)，AF=(0,2,1)
由{AE⇀⊥m⇀AF⇀⊥m⇀⇒{AE⇀⋅m⇀=0AF⇀⋅m⇀=0⇒{x+y=02y+z=0⇒{x=-yz=-2y
令y=-1，则x=1，z=2
∴平面AEF的一个法向量为m=1,-1,2
由AB1=(2,0,2)
设直线AB1与平面AEF所成角为α
sinα=csAB1,m=AB1⋅mAB1m=2×1+0×-1+2×2 12+-12+22 22+02+22=6 6⋅2 2= 32
∴直线AB1与平面AEF所成角为π3；
(3)点B1到平面AEF的距离d=|AB1⋅m||m|=6 6= 6．

20.解：(1)因为四边形EDCF为矩形，所以DE⊥CD，
又平面EDCF⊥平面ABCD，平面EDCF∩平面ABCD=CD，DE⊂平面EDCF
所以ED⊥平面ABCD．
取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，
则D0,0,0，A1,0,0，B1,2,0，C-1,2,0，E0,0,2，F-1,2,2，
设平面ABE的法向量m=(x,y,z)，
因为BE=(-1,-2,2)，AB=(0,2,0)，
由m⋅BE=-x-2y+2z=0m⋅AB=2y=0，取z=1，得m=(2,0,1)，
又DF=(-1,2,2)，所以DF⋅m=-2+0+2=0，则DF⊥m，
又因为DF⊄平面ABE，所以DF//平面ABE；
(2)设平面BEF的法向量n=(x1,y1,z1)，
因为BE=(-1,-2,2)，EF=(-1,2,0)，
由n⋅BE=-x1-2y1+2z1=0n⋅EF=-x1+2y1=0，取y1=1，可得n=(2,1,2)，
所以cs=m⋅n|m|⋅|n|=4+23 5=2 55，
即平面ABE与平面BEF夹角的余弦值为2 55；
(3)由点P在线段EF上，设EP=λEF，λ∈0,1，
所以AP=AE+λEF=-1,0,2+λ-1,2,0=-1-λ,2λ,2，
又因为平面BEF的法向量n=(2,1,2)，设直线AP与平面BEF所成角为θ，
则sinθ=csAP,n=AP⋅nAP⋅n=2(-1-λ)+2λ+43 (-λ-1)2+4λ2+4= 1414，
所以45λ2+18λ-11=0，即(3λ-1)(15λ+11)=0，
因为λ∈0,1，所以λ=13，所以EPEF=13．