2024-2025学年广东省普宁市勤建学校高二下学期第二次调研考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省普宁市勤建学校高二下学期第二次调研考试数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.满足不等式An9An8ln1+ 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设数列an满足a1=1，且an=2an−1+1(n≥2)，则a4+1a2+1= ．
13.罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步．罗马数字的表示法如表：
其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”各需要2根火柴，若为0，则用空位表示(如123表示为，405表示为 ).如果把5根火柴以适当的方式全部放入 的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为 ．
14.在公比不为1的等比数列an中，若a2025=1，且有a1a2⋅⋅⋅a5=a1a2⋅⋅⋅am−5m∈N∗,m>5成立，则m= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinB+ 3bcsA= 3c．
(1)求B；
(2)若△ABC的周长为3+ 3，且b= 3，求▵ABC的面积．
16.(本小题15分)
实验发现，猴痘病毒与天花病毒有共同抗原，两者之间有很强的血清交叉反应和交叉免疫，故猴痘流行的时候可接种牛痘疫苗预防.某医学研究机构对120个接种与未接种牛痘疫苗的密切接触者进行医学观察后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：
(1)根据上表，分别估计在未接种牛痘疫苗和已接种牛痘疫苗的情况下，感染猴痘病毒的概率；
(2)是否有99％的把握认为密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
17.(本小题15分)
已知数列an满足a1=1，nan+1=2(n+1)an.设bn=ann．
(1)证明：数列bn为等比数列；
(2)求数列an的前n项和Sn．
18.(本小题17分)
为了研究新高考数学多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为12，正确答案是“选三项”的概率为12.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜．
(1)求三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率；
(2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的答题策略是“猜两个选项”，(“选两项”全对得6分，选对一个得3分，有错选得0分，“选三项”全对得6分，选对一个得2分，对两个得4分，有错选得0分)试分别计算甲、乙两位同学得分的数学期望．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=x2+a(x−lnx)−bex(e为自然对数的底数)，a，b∈R．
(1)当b=0时，讨论f(x)在(0,+∞)上的单调性；
(2)当b=1时，若存在x∈1,e，使f(x)>0，求a的取值范围．
参考答案
1.A
2.B
3.B
4.C
5.B
6.C
7.D
8.D
9.BC
10.AD
11.ACD
12.4
13.61
14.10或4049
15.解：(1)∵asinB+ 3bcsA= 3c，
∴由正弦定理得：sinAsinB+ 3sinBcsA= 3sinC，
又sinC=sin(A+B)=sinAcsB+sinBcsA，
∴sinAsinB+ 3sinBcsA= 3sinAcsB+ 3sinBcsA，
化简得：sinAsinB= 3sinAcsB，
由sinA≠0得tanB= 3，又B∈(0,π)，故B=π3．
(2)由题可知：a+b+c=3+ 3，且b= 3，故a+c=3，
由余弦定理得：b2=a2+c2−2accsA=(a+c)2−2ac−2accsA，
即3=32−2ac−ac，解得：ac=2，
∴S▵ABC=12acsinB=12×2× 32= 32．
16.解：(1)由题意可知，末接种牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率为P1=2050=25,
已接种牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率为P2=1070=17．
(2)列联表如下
则K2=120×(20×60−10×30)230×90×50×70≈10.286>6.635，
所以有99％的把握认为密切接触者末感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关．
17.解：(1)由a1=1，nan+1=2(n+1)an，可得an+1n+1=2ann，
因为bn=ann，则bn+1=2bn，b1=1，可得bn是首项为1，公比为2的等比数列，
(2)由(1)bn=2n−1，由ann=2n−1，可得an=n⋅2n−1，
Sn=1⋅20+2⋅21+3⋅22+⋯+n⋅2n−1，
2Sn=1⋅21+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n，
上面两式相减可得：
−Sn=20+21+22+⋯+2n−1−n⋅2n
=1−2n1−2−n⋅2n，
则Sn=1−2n+n⋅2n=1+(n−1)⋅2n．
18.解：(1)由题得三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率为C32123=38．
(2)记甲同学答一道多选题得分为X，则X=0,2,3，
P(X=0)=12×12+12×14=38；P(X=2)=12×34=38；P(X=3)=12×12=14，
所以甲同学得分的数学期望为E(X)=0×38+2×38+3×28=128=32．
记乙同学答一道多选题得分为Y，则Y=0,4,6，
P(Y=0)=12×1−1C42+12×C31C42=12×1−16+12×12=23；P(Y=4)=12×C32C42=12×36=14；P(Y=6)=12×1C42=12×16=112，
所以乙同学得分的数学期望为E(Y)=0×23+4×14+6×112=32．
19.解：(1)当b=0时，f(x)=x2+a(x−lnx)，f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x+a−ax=2x2+ax−ax，
当a2+8a≤0，即−8≤a≤0时，f′(x)≥0且不恒为0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a< −8时，方程2x2+ax−a=0有两不等正根−a± a2+8a4，
结合定义域由f′(x)>0可得x∈0,−a− a2+8a4∪−a+ a2+8a4,+∞，由f′(x)0时，方程2x2+ax−a=0有一负根−a− a2+8a4和一正根−a+ a2+8a4，
结合定义域由f′(x)>0可得x∈−a+ a2+8a4,+∞，由f′(x)0时，f(x)在区间0,−a+ a2+8a4上单调递减，在区间−a+ a2+8a4,+∞上单调递增．
(2)法一：分离变量可得：a>ex−x2x−lnx，令F(x)=ex−x2x−lnx，x∈1,e，则
F′(x)=−ex2−2x(x−lnx)−ex−x21−1x(x−lnx)2
=ex2(lnx−2x+1)+x(2lnx−x−1)(x−lnx)2，
易得当x∈1,e时，lnx−2x+1ℎ(x)，
而ℎ(x)在1,e上单调递减，所以当1≤x≤e时，ℎ(x)≥ℎe=1，
又g(e)=e2+ae−a，
i.当ge>ℎe，即e2+ae−a>1时，a> −1−e，符合题意；
ii.当−8≤a≤−1−e时，由(1)知g(x)在1,e上是增函数，恒有g(x)≤g(e)≤ℎ(e)=1，故不存在x∈1,e，使g(x)>ℎ(x)；
iii.当a< −8时，由于1≤x≤e时，x−lnx>0，所以g(x)=x2+a(x−lnx)