全国新高考Ⅰ卷2025届高三下学期高考押题预测数学试题（02）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，
在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，所以.
故选：B.
2．若双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【详解】依题意，双曲线的焦点在轴上，
所以该双曲线的离心率.
故选：D
3．“”是“圆与坐标轴有四个交点”的（ ）
A．充分非必要条件；B．必要非充分条件；
C．充要条件；D．非充分非必要条件．
【答案】A
【详解】由，可以表示为点在圆的距离的内部，此时圆与坐标轴有四个交点，则充分性成立；
反之，由圆的方程可知，圆心为，半径为，则要使圆与坐标轴有四个交点，则，则，则必要性不成立，
故“”是“圆成立的充分不必要条件.
故选：A
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由，得，
所以，
又因为，所以，
所以.
故选：C.
5．已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为等比数列的前项和为，设其公比为，
由已知，故，所以，，则，
故，所以，，故.
故选：D.
6．已知互不相等的数据，，，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的方差为，则（ ）
A．B．
C．D．与的大小关系无法判断
【答案】C
【详解】根据已知条件第一组数据的个数为个，且，
所以，
，
第二组数据的个数为个，且平均数，
，
因为，
所以.
故选：C
7．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
如图，根据题意，圆锥高为，底面圆半径，外接球球心为，半径，
则球心到圆锥底面圆心距离，
由，得，圆锥的体积，
求导得，
当时，，函数在上递增，
当时，，函数在上递减，
则当时，圆锥的体积最大，此时底面圆半径.
故选：B
8．若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【详解】由，得，故.
由题意得，，，
由得，.
设，，则，
∴在上单调递增，
∵，∴，
∴，即，，
∴，令，得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
∴当时，取极小值也是最小值，最小值为．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知如图是函数，（，）的部分图象，则（ ）
A．在单调递增
B．的图象关于中心对称
C．在点处的切线方程为
D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数
【答案】ACD
【详解】由图可得，即，
而，可得，
又，即，
可得，，
可得，，
又，且，即，即，可得，
，
对于选项A，，可得，
函数在上是单调递增，故A正确；
对于选项B，，，
不是函数的对称中心，故B不正确；
对于选项C中，，，
则在点处的切线方程为，故C正确；
对于选项D中，将向左平移个单位后，
可得，则为偶函数，故D正确.
故选：ACD
10．对任意实数x，有.则下列结论正确的是（ ）
A．B．（，1，…，9）的最大值为
C．D．
【答案】BCD
【详解】对于A，令，得，故A错误；
对于B，由，
则展开式的通项公式为，
所以为负，为正，
当时，计算可得，，
，，，
所以（，1，…，9）的最大值为，故B正确；
对于C，令，可得，
令，可得，
所以，又，可得，故C正确；
对于D，由B可知，故D正确.
故选：BCD.
11．曲线的形状类似希腊字母“”，其方程为.若点在曲线上，，则（ ）
A．当在第一象限时，
B．当在第四象限时，
C．直线与曲线的所有交点的横坐标之和大于6
D．直线与曲线恰有4个公共点
【答案】BC
【详解】当时，可化为，为椭圆的两个焦点，则，A错误.
当时，可化为，为双曲线的两个焦点，则，B正确.
当时，可化为，所以点不可能在第三象限.
当时，可化为，所以曲线由三段曲线组成，其图形如图所示，
因为双曲线的渐近线方程为，
所以直线与曲线无公共点.
将代入，得，
由图可知直线与曲线有2个交点，则这2个交点的横坐标之和为，其中1个交点为.
将代入，得，由图可知直线与曲线有2个交点，则这2个交点的横坐标之和为，其中1个交点为，
所以直线+4与曲线的所有交点的横坐标之和为，C正确.
结合双曲线与的渐近线的斜率，
由图可知直线与曲线有2个公共点，
与曲线只有1个公共点，
与曲线没有公共点，
所以直线与曲线恰有3个公共点，D错误.
故选：BC
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。其中14题第一空2分，第二空3分。
12．若，均为单位向量，且，则 ．
【答案】/
【详解】作，以线段为一组邻边作平行四边形，如图，
则，而，均为单位向量，则，
因此为菱形，.
故答案为：
13．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由于函数是定义在上的偶函数，
所以的图象关于对称，
且在上的单调递增，在区间上单调递减.
由，
得，
所以，
所以，即，
所以.
故答案为：
14．2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次.求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次的概率为 .
【答案】
【详解】设事件“有且仅有一次经过”，事件“水平方向移动2次”，
按到位置需要1步，3步分类讨论.记向左，向右，向上，向下，
（1）若1步到位为事件，则满足要求的是或或或或，
或或或或，所以；
（2）若3步到位为事件，则满足要求的是
所以；所以，
满足的情况有：或或或或.
所以，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知数列满足，，且对任意的，，都有.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）依题意，对任意的，，都有，
故对任意的，，，
所以对任意的，，，即为定值，
所以数列是公差为2的等差数列，
据，，得，，
所以，解得，故，
所以
（2）由（1）可知，，
所以当，，
，
又符合上式，所以
所以，
故
，
因为，，
所以
16．（15分）
某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩（满分100分）统计如下表所示.
(1)求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；
(2)该运动员用分层抽样的方式从的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成绩中随机选2次，设成绩落在区间的次数为X，求X的分布列及数学期望；
(3)对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于80分的成绩可以提高10分，原高于80分的无影响，优化失败则原成绩会降低10分，已知该运动员优化动作成功的概率为．在一次资格赛中，入围的成绩标准是80分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时p的取值范围.
【答案】(1)平均值为，上四分位数为；
(2)分布列见解析，数学期望为；
(3).
【详解】（1）依题意，平均值
，
，
上四分位数落在区间，且等于.
（2）由样本数据可知，训练成绩在之内的频数之比为2:1，
由分层抽样的方法得，从训练成绩在中随机抽取了6次成绩，
在之内的4次，在之内的抽取了2次，
所以可取的值有：0，1，2，
，，，
分布列为：
.
（3）法一：设事件分别表示动作优化前成绩落在区间，，，
则相互互斥，所以动作优化前，
在一次资格赛中，入围的概率，
设事件B为＂动作优化成功＂，则，
动作优化后，在一次资格赛中，入围事件为：，且事件相互互斥，
所以在一次资格赛中入围的概率
，
故，
由解得，又的取值范围是.
法二：因为入围的成绩标准是80分，所以进行某项动作优化前，该运动员在资格赛中入围的概率为：，
进行某项动作优化后，影响该运动员入围可能性变化的是落在区间或的成绩，
当且仅当动作优化成功，落在这两个区间的成绩才能符合入围标准，
所以进行优化后，该运动员在资格赛中入围的概率，
由，得，又的取值范围是.
17．（15分）
在三棱锥中，，.为的中点，为的中点，平面.

(1)求证：平面平面；
(2)若与底面所成角的正切值是2，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，延长与相交于M，连接
根据，为的中点，则 ，，则，
在中，，为的中点，则.
在中， ，则，
同理在中， ，
在中，
，
由于，则，即.
已知平面，平面，则.
平面，且.
则平面，平面，则平面平面.
（2）由于平面.，则可以为x轴，为y轴，过O作，可作为z轴，建立空间直角坐标系.
由于平面.则若与底面所成角为，根据题意，，则.
得到相关点坐标： ，
根据向量坐标运算，可得，，.
设平面的法向量为，则且.
①； ②；
由①得，将代入②可得：，
令，则，，所以.
设平面的法向量为，同理且.
③； ④；
③ + ④得，即，将代入③可得：，
令，则，所以.
设二面角为，且 ；
；
.
所以.
通过观察图形可知二面角是锐二面角，
所以二面角的余弦值为.

18．（17分）
二次函数的图象是抛物线， 现在我们用 “图象平移” 的方式讨论其焦点与准线， 举例如下: 二次函数的图象可以由的图象沿向量平移得到; 抛物线，即的焦点坐标为，准线方程为 ; 故二次函数的焦点坐标为，准线方程为 .
(1)求二次函数的焦点坐标和准线方程；
(2)求二次函数的焦点坐标和准线方程；
(3)设过的直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点. 是否存在定点，使得三点共线? 若存在，请求出定点的坐标; 若不存在，请说明理由.
【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为．
(2)焦点坐标为，准线方程为．
(3)存在，
【详解】（1）二次函数，
它的图象可以由抛物线沿向量平移得到；
抛物线即的焦点坐标为，准线方程为；
所以二次函数的焦点坐标为，准线方程为．
（2）二次函数，
它的图象可以由抛物线沿向量平移得到；
抛物线即的焦点坐标为，准线方程为；
所以二次函数的焦点坐标为，
准线方程为；
即二次函数的焦点坐标为，准线方程为．
（3）由（1）知抛物线可以由抛物线沿向量平移得到；
先考虑如下问题：过的直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线交于点，过点作x轴的垂线交抛物线于点，讨论是否存在定点，使得三点共线；
设，又，则直线的方程为：，化简得：，
与直线联立得：，代入得：，即，
则直线的方程：，
化简得；
当时，恒成立，所以直线恒过定点，即存在定点，使得三点共线；
故存在定点，使得三点共线．
19．（17分）
对于任意两个正数，记区间上曲线下的曲边梯形面积为，并规定，，记，其中．
(1)若时，求证：；
(2)若时，求证：；
(3)若，直线与曲线交于，两点，求证：（其中为自然常数）．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）因为，且，
当时可知，
所以，
，所以成立；
（2）解法一：要证，即证，
如图可知，为与，以及轴所围成的曲边梯形的面积．
若直线与曲线交于点，
过做的切线，分别交，于，，
过做轴的平行线分别交，于，，则，
易知曲面梯形的面积大于，
所以，
所以，，得证．
解法二：因为时，，所以要证，
即证：，
即证：，即证：，
设，，则不等式可化为，
要证，作差得，
即证：在恒成立，
构造函数：，
则，再设，则，
因为，所以恒成立，
所以在为增函数，所以，
所以在恒成立，可得在为增函数，
所以，所以在恒成立，
所以不等式成立，得证；
（3）因为，所以，
令，故，
所以在为减函数，在为增函数，，
故直线与曲线交于，，所以，
且，，即有：①，②，
①＋②得：
①－②得：
由第（2）问知：，
所以，
所以，即，
所以成立．
成绩区间

频数
100
200
300
240
160
0
1
2