2025届高三高考押题预测卷 数学（新高考Ⅱ卷02） 含解析

这是一份2025届高三高考押题预测卷 数学（新高考Ⅱ卷02） 含解析，共17页。试卷主要包含了如图，已知，，且则下列选项正确的是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由可解得，所以，
由可解得，又，所以，
所以.
故选：A．
2．下列函数中，在区间上为严格增函数的奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】对于A，是偶函数，不符合奇函数要求，故A错误；
对于B，既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；
对于C，是非奇非偶函数，故C错误；
对于D，，其定义域为关于原点对称，且，是奇函数，
同时在上是严格增函数，故D正确.
故选：D.
3．下列说法中，不正确的是（ ）
A．在1，3，6，7，9，10，12，15这组数据中，第50百分位数为8
B．分类变量A与B的统计量越大，说明“A与B有关系”的可信度越大
C．根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为，若，，，则
D．两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好
【答案】D
【详解】对A：因为，所以这组数据的第50百分位数为：，故A选项内容正确；
对B：根据统计量的意义可知，B选项内容正确；
对C：根据线性回归方程必过得：，故C选项内容正确；
对D：因为残差平方和越小，模型拟合的效果越好，故D选项内容错误.
故选：D
4．已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，
所以，
则，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：A.
5．已知正四棱台，，分别是棱，的中点，平面将正四棱台割成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图，连接，不妨设，棱台的高设为，
所以．
因为，分别是棱，的中点，则，．
又因为平面∥平面，可知几何体是三棱台，
则．
所以分割之后较大部分的体积为，
所以较小部分与较大部分的体积之比为．
故选：C．
6．已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据“局部奇函数”的定义可知，方程有解即可，
即，所以，
化为有解，令，
由基本不等式可知，当且仅当时取等，故，
则有在上有解，设，对称轴为．
①若，则，满足方程在上有解；
②若，要使在时有解，则需，
解得．
综上可得，实数的取值范围为．
故选：B.
7．如图（1），由两个半径相等的圆柱体呈直角相交而得到的公共部分对应的几何体称为“牟合方盖”（如图（2）），牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为，然后每个曲面染一种颜色，相邻（有公共图边）的两面颜色不能相同，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数（ ）
A．24B．48C．60D．84
【答案】D
【详解】根据牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为，故可转化为有公共点的4个区域，如图所示：
1号小方格可以从4种颜色的染料中任取一种涂色，有4种不同的涂法.
①当2号，3号小方格涂不同颜色的染料时，有种不同的涂法，4号小方格有2种不同的涂法，故由分步乘法计数原理，可知有种不同的涂法.
②当2号，3号小方格涂相同颜色的染料时，有3种不同的涂法，4号小方格也有3种不同的涂法，故由分步乘法计数原理，可知有种不同的涂法.
综上，由分类加法计数原理，可得共有种不同的涂法.
故选：D.
8．已知，若在上恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】①因，则，
则得；得，
则在上单调递增，上单调递减，
因，则，
因，则，即，
则，
又，
则由零点存在性定理可知在和上分别存在一个零点，
②若，则在上单调递增；
若，则在上单调递减，在上单调递增；
③因为恒成立，
所以和有两个相同正根，且，
对于方程，即，
则，且，；
由和，可得，
两式相加得，，即，
令，则 ，
则得；得，
则在上单调递增，在上单调递减，
则，
综上， 的最大值为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设为复数，下面四个命题中，真命题的是（ ）
A．若，则为纯虚数
B．
C．若，则点的集合构成的图形的面积为
D．若复数满足，则
【答案】BD
【详解】A：当为实数时，满足，故A错；
B：令且，则，故，故B对；
C：由表示以为圆心，1、2为半径的两个圆所成的圆环，
所以点的集合构成的图形的面积为，故C错；
D：因为，又，，
所以，则，故D对.
故选：BD
10．已知，，且则下列选项正确的是（ ）
A．且B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】对于A，由得，，
则，解得，，解得，故A正确；
对于B，因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对于C，，当且仅当，即时等号成立，
又，所以，
当且仅当时，，故C错误；
对于D，，解得，当且仅当，即时等号成立，
所以，故D正确；
故选：ABD．
11．数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，下列选项中关于曲线的说法正确的有（ ）
A．当时，曲线与轴有个交点
B．曲线的图象关于对称
C．当时，曲线上的一点到原点距离的最小值小于
D．当时，曲线上的一点到原点距离的最小值大于
【答案】BCD
【详解】对于A选项，当时，在曲线的方程中，令，可得，
解得，所以当时，曲线与轴有个交点，A错；
对于B选项，在曲线上任取一点，则点关于直线的对称点为，
因为，即点也在曲线上，
所以曲线的图象关于直线对称，B对；
对于CD选项，当时，在曲线上的一点，则，
则，其中，
令，其中，则，
因为函数、在上均为增函数，
故函数在上为增函数，
因为，，
所以，存在使得，则，
当时，；当时，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
，
因为，所以，则，
所以，
所以，，且，
故，CD都对.
故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为 .
【答案】
【详解】由弦长为，结合垂径定理可得：，解得，
结合已知点，可得：
所以，
故答案为：.
13．如图所示，将绘有函数部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为，此时A，B之间的距离为，则 ．
【答案】
【详解】过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴、轴的垂线相交于点，

连接，则，
由余弦定理得，
由上可知，轴垂直于，又平面，
所以轴垂直于平面，又轴，所以平面，
因为平面，所以，
因为的周期，所以，
由勾股定理得，解得，
由图知，的图象过点，且在递减区间内，
所以，即，
因为，点在递减区间内，所以.
故答案为：
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，点，点是第一象限内双曲线上的一点，满足.记的面积分别为、，则 .
【答案】8
【详解】
如图，设的内切圆与三边分别相切于，可得，
又由双曲线定义可得，则，
又，解得，则点横坐标为，即内切圆圆心横坐标为.
又，可得，化简得，即，
即是的平分线，由于，，可得即为的内心，且半径为2，则.即.
故答案为：8.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，，求内切圆的半径；
【答案】(1)；(2)；
【详解】（1）因为，
所以.
由正弦定理得，所以，
因为，所以.
（2）由（1）知，代入数据得.
因为的面积，
所以内切圆的半径.
16．为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策.为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有6位成员，两个部门分别独立发出邀请的专家名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议.
(1)设参加会议的专家代表共X名，求X的分布列与数学期望．
(2)为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100位热心市民中抽取部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见.已知这两个部门的邀请相互独立，邀请的名单从这100名热心市民中随机产生，两个部门都各自邀请了20名代表，假设收到食品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，请利用极大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数.
（附：极大似然估计（MLE）即最大概率估计，是统计学用于估算模型参数的方法，通过观察数据使样本出现的概率最大化，即当时，概率取得最大值，则X的估计值为）
【答案】(1)分布列见解析，;(2)36
【详解】（1）的可能取值为，
则，，，
则的分布列为
.
（2）设食品监督管理部门邀请的代表记为集合，卫生监督管理部门邀请的代表为集合，则收到两个部门邀请的代表的集合为.
设参加会议的群众代表的人数为Y，则．
设，则，
，，
，
同理：，
令，得，
即，解得，
又，所以，故由极大似然估计知参加会议的群众代表的人数为36.
17．在平面四边形中，，，如图1所示.现将图1中的沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，如图2所示.

(1)求证：；
(2)若，二面角的大小为，求的值.
【答案】(1)证明见解析；(2)1
【详解】（1）

作与，
平面平面，
平面平面,
平面，
平面,因为平面，
,
,，平面,
平面，又因为平面，
.
（2）,
,
又，,平面,
平面,
设，
建立如图所示坐标系

则，，，，
，，,,
设平面的法向量，
即，
取，则，，
设平面的法向量，
即，
取，则，，,
二面角的大小为，
，
化简得：解得：即，
18．已知函数，．
(1)求的极值；
(2)讨论的单调性；
(3)若且时，求证．
【答案】(1)极小值，无极大值；(2)答案见解析；(3)证明见解析
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
时，，时，，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（3）当时，，不等式，
令函数，求导得，
令，求导得，函数在上单调递增，
而，则存在，使，即，
此时，，当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，
所以当时，.
19．已知离心率且焦点在轴上的序列椭圆，其中的一个焦点为．过上一点作的两条弦，交于另两点，且的内心在垂直于轴的一条直线上．
(1)求数列的通项公式；
(2)求直线的斜率；
(3)若为坐标原点，当的面积为时，直线交轴于，证明：.
【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析
【详解】（1）由，解得．
的一个焦点为，
，
．
（2）由（1）知．
的内心在垂直于轴的一条直线上，
．
设的方程为．
代入中整理得：．
，即，
，
，
由得，
即，
代入与整理得，
当时，过点，舍去．
．
（3）由（2）知的方程为，此时，
，
，
到直线的距离，
的面积，
解得满足，
．
，
，
则，
．
2
3
4