高考数学二轮专题复习课件——（端点效应（必要性探索）、洛必达法则、拉格朗日中值定理）-2025年高考数学答题技巧与模板构建

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题型05 3类导数综合问题解题技巧（端点效应（必要性探索）、洛必达法则、拉格朗日中值定理）技法01 用端点效应（必要性探索）的解题技巧技法02 用洛必达法则的解题技巧技法03 拉格朗日中值定理的解题技巧本节导航技法01 用端点效应（必要性探索）的解题技巧在导数相关的题目中，我们经常遇到恒成立问题，特别是涉及参数的不等式恒成立时求参数的取值范围问题，已成为热点和重点题型。解决这类问题的方法多种多样，常见的方法包括：①分离参数（全分离或半分离）＋函数最值;②直接（或移项转化）求导＋分类讨论.但以上两种方法都有缺陷，首先对于方法①可能会出现参数分离困难或是无法分离，或函数最值点无法取到，即无定义，这时就需要用到超纲的方法：洛必达法则。其次，对于方法②直接分类讨论可能会出现在某些区间无法讨论下去，或是无法排除原问题在该区间是否恒成立，即讨论界点不明。基于以上两点，我们今天这讲就来解决这两个不足之处，基本对策就是先必要后充分的思想。该思想就是当参变分离较为困难、带参讨论界点不明时，含参不等式问题还可以采用先必要、后充分的做法，即先抓住一些关键点（区间端点，可使不等式部分等于零的特殊值等），将关键点代入不等式解出参数的范围，获得结论成立的必要条件，再论证充分性，从而解决问题.端点效应的类型1.如果函数在区间上,恒成立,则或.2.如果函数在区问上,恒成立,且(或),则或.3.如果函数在区问上,恒成立,且(或,则或.若对恒成立，则实数m的取值范围是 .思路详解：因为对恒成立，即对恒成立，记，，因为，欲在恒成立，则要在单调递增即在恒成立，则，解得，再证明充分性，当，能否有对恒成立（证明略）综上可得，即1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数(1)当时，讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围．思路详解：【法一】端点效应一令 ，得 ，且 在 上恒成立画出草图根据端点效应, 需要满足 ，而 则 , 令 , 得 当 时, 由于 , 只需证 即可而 含有参数 , 故可对 进行放缩即令 , 其中 设 则 令 则 , 故 在 上递减, 得 则 , 得 在 上单调递增, 则 即 , 满足 成立当 时，故存在 , 使得在 上 ,所以 在 上单调递增, 则 , 不成立特上所述: .【法二】端点效应二(2) 由于 , 且,注意到当 , 即 时, 使 在 成立, 故此时 单调递减 , 不成立.另一方面, 当 时, , 下证它小于等于 0 . 单调递减, . 特上所述: .【法三】设设所以.若,即在上单调递减,所以.所以当,符合题意.若当,所以..所以,使得,即,使得.当,即当单调递增.所以当,不合题意.综上,的取值范围为.2．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数(1)若，且，求的最小值；(2)证明：曲线是中心对称图形；(3)若当且仅当，求的取值范围．思路详解：【详解】（1）时，，其中，则，因为，当且仅当时等号成立，故，而成立，故即，所以的最小值为.，（2）的定义域为，设为图象上任意一点，关于的对称点为，因为在图象上，故，而，，所以也在图象上，由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为.【方法二：端点效应一】(3)由(1)知， a≥−2.因为 f(1)=a≤−2, 否则解集中含有 x=1.故 a=−2.f(x)=lnx2−x−2x+b(x−1)3.f′(x)=2x(2−x)−2+3b(x−1)2=2(x−1)2x(2−x)+3b(x−1)2=(x−1)22x(2−x)+3b.(a)若 2+3b≥0, 即 b≥−23 时， f′(x)=(x−1)22x(2−x)+3b即≥(x−1)22x+2−x22+3b=(x−1)2(2+3b)≥0,即f′(x)≥0, f(x) 是 (1,2) 上的单调递增函数，f(x)>f(1)=−2, 符合题意；(b)若 2+3b