2025年高考数学第一轮复习考点讲与练第07讲端点效应(先猜后证-必要性探索)在导数中的应用(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学第一轮复习考点讲与练第07讲端点效应(先猜后证-必要性探索)在导数中的应用(学生版+解析)，共38页。试卷主要包含了 5年真题考点分布， 命题规律及备考策略等内容，欢迎下载使用。
（2类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分
【备考策略】1能用导数解决函数基本问题
2能求解含参不等式的基本问题
3能利用端点效应解决含参不等式恒成立问题
【命题预测】求解含参不等式恒成立问题中参数的取值范围是高考中的常考题型，解决这类问题的基本方法有三种: 1.分离参数、构造函数求参数取值范围；2.构造含参函数，通过讨论参数取值范围将问题转化为求函数最值问题；3.通过所构造函数在定义域端点处满足的条件，缩小参数的取值范围，求出使不等式恒成立的必要条件，再证明充分条件，得出参数的取值范围，即所谓的“端点效应”，其中端点效应需要学生重点复习掌握，也是高考热点问题
知识讲解
端点效应的定义
恒成立问题中, 我们常常能见到类似的命题: “对于任意的 , 都有 恒成立”，这里的端点 , 往往是使结论成立的临界条件, 因此, 如果能利用好这两个值, 能方便解题，比如对于上述的命题,观察和的取值，这种观察区间端点值来解决问题的做法, 我们称之为端点效应
端点效应的核心思想
利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围, 而在很多情况下, 该范围即为所求.
端点效应的解题思路
端点效应问题中，可以通过取所构造函数定义域内的某些特殊的值使不等式成立进而得出恒成立的一个必要条件，初步获得所求参数的范围再在该范围内讨论，进而缩小了参数的讨论范围，使问题得以顺利的解决。
利用“端点效应”解决问题的一般步骤可分为以下几步
利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要条件
利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调
(3) 若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件
端点效应的类型
1.如果函数在区间上,恒成立,则或.
2.如果函数在区问上,恒成立,且(或),则或.
3.如果函数在区问上,恒成立,且(或,则或.
考点一、端点效应（先猜后证-必要性探索）的初步应用
1．若对恒成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】 【方法一-常规方法-详见教师版】
【方法二-端点效应】
因为对恒成立，即对恒成立，
记，，
因为，欲在恒成立，则要在单调递增
即在恒成立，则，解得，
再证明充分性，当，能否有对恒成立（证明略）
综上可得，即
1．已知函数．若在上恒成立，则a的取值范围为 ．
【答案】 【方法一-常规方法-详见教师版】
【方法二-端点效应】
因为，所以，解得，结合已知条件，
考点二、端点效应（先猜后证-必要性探索）在导数中的应用
1．（2024·全国新Ⅰ卷第18题·高考真题）已知函数
(1)若，且，求的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若当且仅当，求的取值范围．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围．
1．（2020·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
3．（全国·高考真题）已知函数f（x）=2sinx－xcsx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若对任意的恒成立，求的范围.
2．（2024·河南·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)，，求的取值范围.
3．（2024·广西·三模）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若对任意，求的取值范围.
4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求函数在区间上零点的个数；
(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
5．（2024·云南昆明·一模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，，求a的取值范围．
6．（2024·安徽池州·模拟预测）设函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围．
7．（2024·山西·三模）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)当时，恒成立，求的取值范围
8．（2024·四川遂宁·二模）已知函数．
(1)若在区间存在极值，求的取值范围；
(2)若，，求的取值范围．
9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若，恒成立，求的取值范围．
10．（2024·陕西咸阳·三模）已知函数.
(1)当时，求函数极值；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
1．（全国·高考真题）已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中参数a≤0.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≥0，求a的取值范围.
2．（山东·高考真题）设函数，其中.
（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若成立，求的取值范围.
3．（全国·高考真题）设函数
（1）求证：的导数；
（2）若对任意都有求a的取值范围．
4．（全国·高考真题）设函数
（Ⅰ）若a=，求的单调区间；
（Ⅱ）若当≥0时≥0，求a的取值范围
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新I卷，第18题,17分
端点效应
证明函数的对称性
利用导数证明不等式
利用导数研究不等式恒成立问题
利用不等式求取值范围
2023年全国甲卷理数，第21题,12分
端点效应
求已知函数的极值
利用导数研究不等式恒成立问题
2023年全国甲卷理数，第21题,12分
端点效应
利用导数求函数的单调区间（不含参）
利用导数研究不等式恒成立问题
2021年全国甲卷文数，第20题,12分
端点效应
用导数判断或证明已知函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
2021年全国Ⅰ卷理数，第21题,12分
端点效应
用导数判断或证明已知函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
第07讲 端点效应
（先猜后证-必要性探索）在导数中的应用
（2类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分
【备考策略】1能用导数解决函数基本问题
2能求解含参不等式的基本问题
3能利用端点效应解决含参不等式恒成立问题
【命题预测】求解含参不等式恒成立问题中参数的取值范围是高考中的常考题型，解决这类问题的基本方法有三种: 1.分离参数、构造函数求参数取值范围；2.构造含参函数，通过讨论参数取值范围将问题转化为求函数最值问题；3.通过所构造函数在定义域端点处满足的条件，缩小参数的取值范围，求出使不等式恒成立的必要条件，再证明充分条件，得出参数的取值范围，即所谓的“端点效应”，其中端点效应需要学生重点复习掌握，也是高考热点问题
知识讲解
端点效应的定义
恒成立问题中, 我们常常能见到类似的命题: “对于任意的 , 都有 恒成立”，这里的端点 , 往往是使结论成立的临界条件, 因此, 如果能利用好这两个值, 能方便解题，比如对于上述的命题,观察和的取值，这种观察区间端点值来解决问题的做法, 我们称之为端点效应
端点效应的核心思想
利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围, 而在很多情况下, 该范围即为所求.
端点效应的解题思路
端点效应问题中，可以通过取所构造函数定义域内的某些特殊的值使不等式成立进而得出恒成立的一个必要条件，初步获得所求参数的范围再在该范围内讨论，进而缩小了参数的讨论范围，使问题得以顺利的解决。
利用“端点效应”解决问题的一般步骤可分为以下几步
利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要条件
利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调
(3) 若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件
端点效应的类型
1.如果函数在区间上,恒成立,则或.
2.如果函数在区问上,恒成立,且(或),则或.
3.如果函数在区问上,恒成立,且(或,则或.
考点一、端点效应（先猜后证-必要性探索）的初步应用
1．若对恒成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【方法一】解：因为对恒成立，
即对恒成立，
记，，
所以，
令，
令，，则，所以当时，
所以在上单调递增，所以，即，，
则
所以在上是增函数，所以
当，即时，在上是增函数，所以符合题意；
当时，且当时， 所以，使得，
即当时，单调递减，此时，
所以不符合题意，
综上可得，即
故答案为：
【方法二-端点效应】
因为对恒成立，
即对恒成立，
记，，
因为，欲在恒成立，则要在单调递增
即在恒成立，则，解得，
再证明充分性，当，能否有对恒成立（证明略）
综上可得，即
1．已知函数．若在上恒成立，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题意可知在上恒成立，将问题转化为求函数f(x)的最小值.
【方法一】∵在上恒成立，且，
故．
当时，在上恒成立，即在上为增函数，
所以，，合乎题意；
当时，由，可得；当时，可得．
即在上为减函数，在上为增函数，
所以，，
又因为 ，所以，不合乎题意．
综上所述，．
故答案为：.
【方法二-端点效应】
因为，所以，解得，结合已知条件，
考点二、端点效应（先猜后证-必要性探索）在导数中的应用
1．（2024·全国新Ⅰ卷第18题·高考真题）已知函数
(1)若，且，求的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若当且仅当，求的取值范围．
【详解】（1）时，，其中，
则，
因为，当且仅当时等号成立，
故，而成立，故即，
所以的最小值为.，
（2）的定义域为，
设为图象上任意一点，
关于的对称点为，
因为在图象上，故，
而，
，
所以也在图象上，
由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为.
【方法一：换元法】
因为当且仅当，故为的一个解，
所以即，
先考虑时，恒成立.
此时即为在上恒成立，
设，则在上恒成立，
设，
则，
当，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当时，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当，则当时，
故在上为减函数，故，不合题意，舍；
综上，在上恒成立时.
而当时，
而时，由上述过程可得在递增，故的解为，
即的解为.
综上，.
【方法二：端点效应一】
(3)由(1)知， a≥−2.
因为 f(1)=a≤−2, 否则解集中含有 x=1.
故 a=−2.
f(x)=lnx2−x−2x+b(x−1)3.
f'(x)=2x(2−x)−2+3b(x−1)2=2(x−1)2x(2−x)+3b(x−1)2=(x−1)22x(2−x)+3b.
(a)若 2+3b≥0, 即 b≥−23 时， f'(x)=(x−1)22x(2−x)+3b
即
≥(x−1)22x+2−x22+3b=(x−1)2(2+3b)≥0,
即f'(x)≥0, f(x) 是 (1,2) 上的单调递增函数，
f(x)>f(1)=−2, 符合题意；
(b)若 2+3b