山西省部分学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份山西省部分学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若，则（ ）
A．4B．7C．3或7D．4或7
2．为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，物价部门对某商品在各商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到了若干对数据，经过分析，计算，得到关于的经验回归方程为，则样本点的残差为（ ）
A．B．C．1D．2
3．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．下图为根据某组成对数据绘制的散点图，根据最小二乘法得到了经验回归直线1（实线）与经验回归曲线2（虚线）如图，并分别计算了两模型的决定系数，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知随机变量服从二项分布，且，则（ ）
A．10B．16C．18D．20
6．一口袋中有3个红球和3个白球，从中不放回地取出个，设事件：取出的个球既有红球又有白球，事件：取出的个球最多有一个红球，则（ ）
A．当时事件与事件相互独立，当时事件与事件相互独立
B．当时事件与事件不相互独立，当时事件与事件相互独立
C．当时事件与事件相互独立，当时事件与事件不相互独立
D．当时事件与事件不相互独立，当时事件与事件不相互独立
7．已知平面平面，平面内有共5个点，其中有且仅有三点共线，平面内有共4个点，任意三点不共线，则以这9个点为顶点的三棱锥最多有（ ）
A．80个B．86个C．116个D．136个
8．展开式中二项式系数构成杨辉三角，人们在研究展开式时，发现各项系数也可以构成一个类似的三角形，并把它称为“广义杨辉三角”，如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
9．可用于推断两个分类变量之间是否有关联的是（ ）
A．散点图B．等高堆积条形图
C．列联表D．独立性检验
二、多选题
10．为了增强学生国防意识，某校组织学生进行了一次打靶射击活动.小王同学先后射击两次，第一次命中靶心的概率为，若第一次命中靶心，则第二次命中靶心的概率为，若第一次没有命中靶心，则第二次命中靶心的概率为，记第一枪命中靶心为事件，第二枪命中靰心为事件，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知随机变量的取值为不大于的正整数值，它的分布列为：
其中满足：，且.定义的生成函数为.若，，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．某影院从观看了《哪吒》的观众中随机抽取名进行评分调查（满分分），评分结果为.再从上述人中，随机抽取人进行进一步调查，设被抽到的人中评分低于分的观众人数为，则 .（以数字作答）
13．以下是标号分别为①，②，③的三幅散点图，它们的样本相关系数分别为，那么相关系数的大小关系为 .（按由小到大的顺序排列）.
14．某次下乡关爱留守儿童活动中，工作人员计划把《三国演义》，《西游记》等不同的八本书赠送给甲，乙，丙，丁四位留守儿童，每人两本，由于甲同学阅读过《三国演义》，乙同学阅读过《西游记》，所以《三国演义》不赠送给甲，《西游记》不赠送给乙，则共有 种不同的赠送方法.
四、解答题
15．某次考试中，数学成绩可划分为“优秀”、“良好”、“一般”三个等级，一班与二班各等级学生人数如下表：
(1)一班、二班数学成绩的优秀率分别是多少？
(2)填写如下列联表，依据小概率值的独立性检验，能否推断两班学生的数学成绩优秀率有差异？
附：
16．已知，若的展开式中二项式系数和为.
(1)求；
(2)求被15除的余数.
17．标记数字1，2的小球各2个，将这4个不同的小球依次随机地放入4个不同的盒子中.
(1)记空盒子的个数为，求的分布列及数学期望；
(2)记4个盒子中小球的数字和分别为（空盒子中，小球的数字和为0），记中的最大值为，求的分布列及数学期望.
18．下表为我国2015年至2023年城镇人口（单位：亿）的数据，其中年份代码分别对应年份，并计算得与的样本相关系数
(1)求关于的回归方程（系数精确到0.01）；
(2)预测2025年我国乡村人口为4.53亿人，城镇居民平均消费水平为4.26万元，农村居民平均消费水平为2.24万元，试预测2025年我国居民平均消费水平（精确到0.01）；
(3)若变量和的对观测数据为，
则称为样本协方差，其中.
①基于我国2015年至2023年城镇人口（单位：亿）的数据，求协方差（精确到0.01）；
②一般地，如何通过协方差的取值判断随机变量和是否正负相关？协方差的大小一定能度量出和的线性相关程度吗？样本相关系数相比协方差有何优点？
附：样本相关系数.
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
19．近年来国产芯片技术日趋成熟，其中有一项工艺称为“二次曝光技术”，即在同一块晶片上先进行一次曝光，清洗，然后再进行一次曝光.只有两次曝光都成功，该晶片方可成功制作成1块芯片.假设第一次曝光的成功率为，第二次曝光的成功率为，每次曝光过程相互独立.现要制作1块芯片，依次对块晶片进行曝光，操作要求如下：
①若对第块晶片进行第一次曝光失败，则不继续对该晶片进行第二次曝光，并认为对该晶片的制作失败，接着对第块晶片进行曝光；
②若对第块晶片进行第一次曝光成功，则继续对该晶片进行第二次曝光，若第二次曝光失败，则也认为对该晶片的制作失败，接着对第块晶片进行曝光；若第二次曝光成功，即成功制作出1块芯片，则不再对后续的晶片进行曝光；
③若对这块晶片都曝光完毕，无论是否成功制作出1块芯片，则停止制作.
(1)当时，求成功制作出至少1块芯片的概率；
(2)用这块晶片制作1块芯片，记随机变量为曝光的晶片个数，求的分布列和数学期望；
(3)若一块晶片第一次曝光失败，则记该芯片曝光1次；若一块晶片第一次曝光成功，无论第二次曝光成功还是失败，都记该芯片共曝光2次.在曝光完这块晶片，并成功制作出1块芯片的条件下，记随机变量为这块晶片曝光的总次数，求的数学期望.
1．C
根据组合数公式的性质计算可得.
【详解】因为，所以或，解得或.
故选：C
2．A
根据题意，令时，求得，结合残差的概念，即可求得样本点的残差，得到答案.
【详解】由关于的回归方程为，且样本点，
当时，可得，所以残差为.
故选：A.
3．A
根据正态分布的对称性即可求解.
【详解】因为，
由正态分布关于均值对称可得，解得.
故选：.
4．C
根据决定系数越大，拟合效果越好，结合图象即可判断
【详解】由图可知，模型2拟合效果更好，故.
故选：.
5．D
应用二项分布的方差，计算求得，结合二项分布的期望计算可得结果.
【详解】因为，解得，
所以，则.
故选：D
6．B
根据题意，分别求得和时，事件对应的概率，结合和的关系，即可得到答案.
【详解】当时，，
则，所以当2时，事件与事件不相互独立；
当时，，
则，所以当时，事件与事件相互独立.
故选：B.
7．C
由三棱锥的几何结构特征，可分三类情况讨论：从平面内取3个点不共线，平面内取1个点，从平面内取2个点，平面内取2个点，从平面内取1个点，平面内取3个点，结合数的计算公式和分类计数原理，即可求解.
【详解】根据题意，由三棱锥的几何结构特征，可分三类情况讨论：
从平面内取3个点不共线，平面内取1个点共有种情况；
从平面内取2个点，平面内取2个点共有种情况；
从平面内取1个点，平面内取3个点共有种情况，
所以从这9个点为顶点的三棱锥最多有个三棱锥.
故选：C.
8．B
根据已知新定义结合二项式展开式计算求解即可.
【详解】由题意可得，
根据二项式定理可得，
所以是的展开式中项的系数，
又二项展开式的通项为，
令得，
所以.
故选：B.
9．BCD
根据散点图，等高堆积条形图，列联表和独立性检验的概念，即可得到答案.
【详解】散点图适用于推断两个定量变量之间是否有相关关系，
其中等高堆积条形图，列联表，独立性检验适用于推断两个分类变量之间是否有关联.
故选：BCD.
10．ACD
利用条件概率公式计算各选项中的概率值，逐一验证每个选项的正确性，即可得出结果.
【详解】由已知可得，
对于选项A，；
对于选项B，；
对于选项C,；
对于选项D，.
故选：ACD
11．ABC
由，可判定A正确；由，结合期望的公式，得到，可判定B正确；由，根据期望的公式，化简得到和，进而可判定C正确，D错误.
【详解】对于A中，由，可得，所以A正确.
对于B中，由，可得，
所以，所以B正确.
对于C和D中，因为，
所以
，
又由
，
可得，所以，则，故C正确，D错误.
故选：ABC.
12．/
这道题考查的是古典概型和组合数的综合应用.
【详解】人中评分低于分的有人，“”表示事件“抽到人低于分，人高于等于分”，所以.
故答案为：.
13．
根据给定的散点图，结合相关性强弱及正负相关求得大小关系.
【详解】图①散点线性相关关系较弱，接近于0；
图②散点数据负相关，且线性相关程度很强，接近于；
图③散点数据正相关，且线性相关程度较强，接近于1，
所以相关系数的大小关系为.
故答案为：
14．
根据题意，先求得每人两本的安排方法的种数，再分别求得《三国演义》赠送给甲、《西游记》赠送给乙、《三国演义》赠送给甲，同时《西游记》赠送给乙的种数，进而得到答案.
【详解】八本书赠送给四位留守儿童，每人两本共有种安排方法，
其中《三国演义》赠送给甲的情况有种；
《西游记》赠送给乙情况有种；
《三国演义》赠送给甲，同时《西游记》赠送给乙的情况有种，
所以符合题意的安排方法有种.
故答案为：.
15．(1)；
(2)表格见解析，认为两班学生的数学成绩优秀率没有差异.
（1）由统计表中数据直接计算可得；
（2）根据已知完善表格，根据公式计算，然后查表可知.
【详解】（1）一班共有人，其数学成绩的优秀率是；
二班共有人，其数学成绩的优秀率是.
（2）
可得，
依据小概率值的独立性检验，认为两班学生的数学成绩优秀率没有差异.
16．(1)
(2)
（1）根据题意，得到，解得，结合二项展开式的性质，即可求解；
（2）令，得到；令，得到，根据二项式的展开式的通项特征，得到，再由，结合二项展开式的性质，即可得到答案.
【详解】（1）解：由的展开式中二项式系数和为，可得，解得，
所以的展开式中项为：，所以.
（2）解：令，可得，
令，可得，
由的展开式的通项为，
可得为正数，为负数，
所以，
又由
，
即能被15整除，
所以被15除的余数为.
17．(1)分布列见解析，
(2)分布列见解析，
（1）根据题意，得到随机变量的可能取值为，利用排列数和组合数的计算公式，分别求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用期望的公式，求得数学期望；
（2）根据题意，得到随机变量的可能取值为，用表示4个盒子中小球的数字和的不同组合，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用期望的公式，求得其数学期望；
【详解】（1）解：由题意知，4个小球放入4个盒子中，共有为种不同的放法，
所以随机变量的可能取值为.
当时，只有1种情况：每个盒子各放1个球，共种，
所以；
当时，只有1种情况：1个盒子放2个球，另外2个盒子各放1个球，
共有种，所以；
当时，有2种情况：1个盒子放3个球，另1个盒子放1个球；2个盒子各放2个球，
共有种，所以.
当时，只有1种情况：1个盒子中放4个球，共有种，所以.
所以随机变量的分布列为
所以期望为.
（2）解：根据题意，可得随机变量的可能取值为，
用表示4个盒子中小球的数字和的不同组合，
当时，有2种情况：，共有种，所以；
当时，有2种情况：，共有种，所以.
当时，有3种情况：，共有种，所以；
当时，有1种情况：，共有种，所以；
当时，有1种情况：，共有种，所以，
所以随机变量的分布列为
所以期望为.
18．(1)
(2)万元.
(3)①；②答案见解析
（1）根据表格中的数据，结合平均数，相关系数和回归系数的公式，可得求得和的值，即可得到关于的回归方程；
（2）由2025年对应的年份代码为，结合（1）中的回归直线方程，即可作出预测；
（3）①由（1）知，得到，进而求得的值；
②根据协方差与样本相关系数同号，得到协方差的大小与和的度量单位有关，不宜直接用它度量成对样本数据线性相关程度的大小；进而得到答案.
【详解】（1）解：由表格中的数据，可得，且.
又由，可得，
则，
所以关于的回归方程为.
（2）解：2025年对应的年份代码为，
预测2025年我国城镇人口为亿人，
预测2025年我国居民平均消费水平为万元.
（3）解：①由题，由（1）：，
则，
所以.
②注意到协方差与样本相关系数同号，
可得如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；
如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系.
协方差的大小与和的度量单位有关，
所以不宜直接用它度量成对样本数据线性相关程度的大小；
如本题中城镇人口的单位为“亿”，如果将其单位由亿改为万，
则的大小将变为原来的10000倍，
但单位的改变并不会导致年份代码与城镇人口之间相关程度的改变，
样本相关系数相比协方差，消除了度量单位的影响，其大小一定能度量出和的线性相关程度.
19．(1)
(2)分布列见解析，
(3)
（1）根据题意，得到成功的概率为，失败的概率为，结合对立事件的概率计算公式，即可求得成功制作出1块芯片的概率；
（2）根据题意，得到随机变量的可能取值为，结合当时，概率为，当时，概率为，列出随机变量的分布列，求得再利用乘公比错位相减法求和，即可得到答案；
（3）法一：记事件“曝光完这块晶片，并成功制作出1块芯片”，记事件“曝光的总次数为次”，根据题意，得到的可能取值为，利用条件概率和独立重复试验的概率的计算公式，求得相应的概率，列出分布列，求得期望的表达式，结合组合数的计算公式，进行化简，即可得到答案；
法二：考虑前块晶片中任意某块的曝光情况，记晶片的曝光次数为随机变量，事件“这块晶片曝光失败”，事件“这块晶片的曝光次数为次”，根据条件概率的计算公式，求得，得到，进而得到前块晶片曝光的总次数的数学期望.
【详解】（1）解：由题意得，用1块晶片制作，成功的概率为，失败的概率为，
当时，要成功制作出至少1块芯片，概率为.
（2）解：由题意，随机变量的可能取值为，
当时，可得其概率为，
当时，可得其概率为，
所以的分布列为
可得期望为
令，
则，
两式相减，可得，
所以.
（3）解：法一：记事件“曝光完这块晶片，并成功制作出1块芯片”，记事件“曝光的总次数为次”，可得，
对于前块晶片，每块晶片都至少曝光1次，第块晶片曝光2次，
另外，对于前块晶片，有几块晶片进行了第二次曝光，则总曝光次数就多几次，
并且第1到块晶片，无论曝光几次，每次曝光都是失败的，
而第块晶片的2次曝光都成功.若前块晶片中，
则有块晶片进行了第二次曝光，所以，
所以的可能取值为，
则，
.
所以的分布列为
所以
其中，
所以
法二：考虑前块晶片中任意某块的曝光情况，
由题意，这块晶片无论曝光几次，都是失败的，记这块晶片的曝光次数为随机变量，
记事件“这块晶片曝光失败”，事件“这块晶片的曝光次数为次”.
由第（1）小问可知.
所以，
故这块晶片曝光次数的数学期望为，
所以前块晶片曝光的总次数的数学期望为，1
2
优秀
良好
一般
一班
9
13
23
二班
15
14
16
优秀
其他
合计
一班
二班
合计
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
年份代码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
城镇人口亿
7.67
7.93
8.19
8.43
8.64
8.84
9.02
9.14
9.21
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
A
C
D
B
C
B
BCD
ACD
题号
11









答案
ABC









优秀
其他
合计
一班
9
36
45
二班
15
30
45
合计
24
66
90
0
1
2
3
2
3
4
5
6
1
2
3