湖南省部分学校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试卷（Word版附解析）

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知 ，若复数 ，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. D.
3. 已知直线 与圆 相交于 两点， ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知锐角 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D. -1
5. 已知双曲线 的离心率为 2，左、右焦点分别为 是双曲线 上的一点，且
，则 （ ）
A. B. 5 C. D. 或
6. 已知函数 ，则使 成立的 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
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7. 已知 ，函数 的最小正周期为 ，若 ，且 的图象关于直
线 对称，则 （ ）
A. -1 B. -2 C. -3 D. -4
8. 甲、乙、丙三人各自计划去上海旅游，他们在 4 月 21 日到 4 月 23 日这三天中 一天到达上海，他们在
哪一天到达上海相互独立，且他们各自在 4 月 21 日到 4 月 23 日到达上海的概率如下表所示 ：
4 月 21 日 4 月 22 日 4 月 23 日
0.2 0 3 0.5
若甲、乙两人在同一天到达上海的概率小于甲、丙两人在同一天到达上海的概率，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 2020 至 2024 年我国快递业务量及其增长速度如图所示，则（ ）
A. 2020 至 2024 年我国快递业务量逐年增长
B. 2020 至 2024 年我国快递业务量的中位数是 1106 亿件
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C. 2020 至 2024 年我国快递业务量增长速度的极差是 19.4％
D. 估计我国 2019 年的快递业务量大于 500 亿件
10. 已知边长为 2 正方形 的边 上有一点 （不含端点），边 上有一点 ，且 ，
如图 1 所示．现把 沿 折起到 的位置，得到棱锥 ，如图 2．设 ，棱锥
的体积的最大值为 ，则（ ）
A. 是单调递增函数
B. 函数 先单调递增后单调递减
C. 当平面 平面 时， 的长有最小值 2，没有最大值
D. 函数 有最大值 ，没有最小值
11. 已知不等式 对任意 成立，则实数 的取值可以为（ ）
A. B. C. D. e
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知向量 ，且 ，则 ____________．
13. 已知某圆锥的底面圆半径为 3，母线长为 5，则该圆锥的外接球的表面积为__________.
14. 已知有穷数列 的各项均不相等，将 的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列 ，称
数列 为数列 的“序数列”．例如数列 满足 ，则其“序数列” 为 2，3，1．若
有穷数列 满足 ，且数列 的“序数列”单调递减，数列 的“序
数列”单调递增，则 ____________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
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15. 已知 的内角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积；
（3）若 ，求 的周长．
16. 已知抛物线 的焦点 为椭圆 的右焦点，且 的右顶点为 ．
（1）求 方程；
（2）设过点 且倾斜角为 的直线 与 交于 两点，求 ．
17. 如图，在直四棱柱 中，底面 是菱形， ， 是
的中点， 是侧面 内的一点（含边界）．
（1）若 是侧面 的中心，证明： ．
（2）若 平面 ，试求点 的轨迹的长度．
（3）求平面 与平面 夹角的余弦值．
18. 已知一个盒中装有 3 个大小，形状完全相同的小球（1 个红球和 2 个黑球），从盒中每次随机不放回地
取出 1 个小球，若取出的是红球，则将 1 个黑球放入盒中；若取出的是黑球，则将 1 个红球放入盒中，以
上取 1 个球再放 1 个球的过程称为 1 次操作．假设每次取球相互独立．
（1）经过 2 次操作后，记盒中红球 个数为 X，求 X 的分布列；
（2）求第 3 次操作取到红球的概率；
（3）设经过 次操作后，盒中全是黑球的概率为 ，求数列 的前 n 项和 ．
19. 已知函数 ，且 的图象在点 处的切线方程为 ．
（1）求 的解析式；
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（2）若 是 在 上的一个极值点，证明： ．
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