（数论问题专项讲义）专题11+++完全平方数性质-小升初数学模块化思维提升（通用版）

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（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、完全平方数定义：完全平方即用一个整数乘以自己例如1×1，2×2，3×3等等，依此类推．若一个数能表示成某个自然数的平方的形式，则称这个数为完全平方数．
2、性质。
性质1：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9．
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数．
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数．
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1．
性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型．
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k，3k+1．
性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型．
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m，16m+1，16m+4，16m+9． 性质9：完全平方数的数字之和只能是0，1，4，7，9．
【典例一】一个数与它自身的乘积称为这个数的平方，各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有 个．
A．15B．18C．20D．21
【分析】分别列出四个数的平方和为49的几种情况，然后选出各位数字互不相同的情况，最后算出组成的四位数个数．
【解答】解：根据分析，四个数的平方和为49，
则有以下几种情况：；；，；．
其中只有6，3，2，0满足各位数字互不相同，
而由6，3，2，0组成的四位数有个；
所以满足题意的四位数共有18个，
故选：。
【点评】本题的解题关键是列出四个数的平方和为49的几种情况．
【典例二】某煤矿要将一批煤炭运往某发电厂，如果每天运400吨，那么11天运不完，12天时间又有富余；如果每天运420吨，那么10天运不完，11天时间又有富余；如果每天运吨，恰好天运完为自然数），则 ．
【分析】根据如果每天运400吨，那么11天运不完，12天时间又有富余；如果每天运420吨，那么10天运不完，11天时间又有富余；可求煤的重量的范围，再根据完全平方数性质求解．
【解答】解：设共有吨煤，则
且，
解得，
，
在区间内的完全平方数只有，
所以．
故答案为：67．
【点评】考查了完全平方数性质，本题关键是得到煤的重量的范围，在煤的重量的范围之间找到完全平方数．
【典例三】甲乙两人合养了头羊，而每头羊的卖价又恰为元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去．为了平均分配，甲应该补给乙多少元？
【分析】头羊的总价为元，因为先由甲拿，到最后甲拿走10元，乙不足10元，因此元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数．如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6．所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元．
【解答】解：头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数．如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6．所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙：（元．
答：为了平均分配，甲应该补给乙2元．
【点评】此题也可这样解答：
解：设甲、乙两人合养了头羊，两人先分了次，每人每次10元，最后一次甲先拿了10元，乙拿了，是整数）元，
当甲找给乙钱后，甲乙都得到了元，甲给了乙元，
所以有，
因为个位为0，是完全平方数的个位数，，4，5，6，9，
若是奇数，则，5，或9，
所以，或，
因为、、除以4的余数都是3，它们不是完全平方数，
所以是偶数，或6，或3．
若，，右边不是完全平方数
所以，
所以甲应该找给乙（元．
一．选择题（共3小题）
1．一个数与它自身的乘积称为这个数的平方，各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有 个．
A．15B．18C．20D．21
【分析】分别列出四个数的平方和为49的几种情况，然后选出各位数字互不相同的情况，最后算出组成的四位数个数．
【解答】解：根据分析，四个数的平方和为49，
则有以下几种情况：；；，；．
其中只有6，3，2，0满足各位数字互不相同，
而由6，3，2，0组成的四位数有个；
所以满足题意的四位数共有18个，
故选：。
【点评】本题的解题关键是列出四个数的平方和为49的几种情况．
2．在中国历史长河中，人们喜欢用到数字“6”，比如秦始皇以六为国数、六谷、六畜等。数字“6”之所以熠熠生辉，是因为像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫做完全数（也叫完美数）。比如6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：。下面各数中是完全数的是
A．8B．12C．20D．28
【分析】求一个数的因数的方法：用这个数分别除以自然数1，2，3，4，5，一直除到商和除数互换位置结束，把能整除的商和除数按从小到大顺序写出来，就是这个数的因数，重复的只写一个，据此写出8、12、20、28的因数，然后根据题中的方法分析找出，即可得出答案。
【解答】解：的因数有：1、2、4、8，，所以本选项不符合题意；
的因数：1、2、3、4、6、12，，所以本选项不符合题意；
的因数：1、2、4、5、10、20，，所以本选项不符合题意；
的因数有：1、2、4、7、14、28，，所以本选项符合题意。
故选：。
【点评】本题主要考查求一个数的因数的方法，此题先求出因数然后根据“完全数”的含义分析。
3．毕达哥拉斯研究发现：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如，6有4个因数1、2、3、6，除去它本身6外，其余三个数相加，，所以6就是“完全数”。按照这样推理，下面的数是“完全数”的是
A．16B．28C．36D．以上都是
【分析】先列出这个数的所有因数，再除去这个数本身的因数，将其余的因数相加，若得数为其本身，则其为完全数。
【解答】解：．16的因数有：1、2、4、8、16，除去它本身的16，其余数相加：，不等于16，所以不是完全数；
．28的因数有：1、2、4、7、14、28，除去它本身的28，其余数相加：，等于本身，所以28是完全数；
．36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，除去它本身的36，其余数相加：，不等于它本身，所以不是完全数。
故选：。
【点评】本题考查求一个数的因数，明确完全数的含义是解题的关键。
二．填空题（共11小题）
4．，，，，数学上把1、4、9、这样的数称为“平方数”，36和64都是平方数，它们的和为100，你能找出两个和为13的平方数吗？它们分别是 4 和 ．
【分析】根据平方数的定义，我们知道，，所以9和4是平方数，据此解答即可。
【解答】解：因为，，
，
所以：4和9是和为13的平方数。
故答案为：4，9。
【点评】本题通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况。
5．某校2001年的学生人数是个完全平方数，2002年的学生人数比上一年多101人，这个数字也是一个完全平方数．该校2002年的学生人数是 2601． ．
【分析】由于这两年的学生人数都为完全平方数，可设2001年、2002年的学生人数分别为，，又2002年的学生人数比上一年多101人，由此可得，然后根据公式进行分析即可．
【解答】解：设2001年、2002年的学生人数分别为，，
则，
即，
由于，
所以，．
则，，
所以，，．
则2002年的学生人数为人．
故答案为：2601．
【点评】由题意列出等式，并根据公式进行分析是完成本题的关键．
6．已知、为正整数，并且为不超过1768的完全平方数，最大为 65
【分析】对提取公因数可得；再根据为不超过1768的完全平方数可得；要使最大，则，，至此即可解答题目
【解答】解：因为，且它是不超过1768的完全平方数，
所以，
当，时，的最大值为65。
故答案为：65。
【点评】本题主要考查了完全平方数的性质，关键是得出。
7．小军读一本书，如果每天读80页，需要4天多读完；如果每天读90页，需要3天多读完；如果每天读页，刚好天读完，则每天应读 18 页．
【分析】根据题意可知，这本书的页数大于页，小于页，如果每天读页，刚好天读完，说明这本书的页数是一个完全平方数，进而求出每天应读多少页．据此解答．
【解答】解：（页，
（页，
这本书的页数在320与360之间，如果每天读页，刚好天读完，说明这本书的页数是一个完全平方数，只有18的平方在320与360之间，所以每天读18页．
答：每天读18页．
故答案为：18．
【点评】此题解答关键是确定这本书的页数所在范围，再根据这本书的页数是一个完全平方数进行解答即可．
8．一个自然数可以分解为三个质因数的积，如果三个质因数的平方和是7950，这个自然数是 890 ．
【分析】此题首先分析一个数平方的个位数字，从而推出其中两个质数只能是2和5，那么求另外一个数就好解决了．
【解答】解：一个数的平方，个位只能是1，4，5，6，9；
三个数的平方数的和的个位为0，只能是1，4，5；
所以其中两个质数只能是2和5，
，
；
这个自然数；
答：这个自然数是890．
故答案为：890．
【点评】此题也可这样解答：一个奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数；而三个数的平方和是7950（偶数），所以这三个数是“两奇一偶”或“三偶”．而偶质数只有2，显然三偶不可能，那么只可能是“两奇一偶”，其中的“一偶”就是2．另两个质因数的平方和就是7946．则可得：5与89的平方和，即，这三个数分别为：2、5、89，三个质因数的积也就是这个自然数是．
9．著名的数学家斯蒂芬巴纳赫于1945年8月31日去世，他在世时的某年的年龄恰好是该年份的算术平方根（该年的年份是他该年年龄的平方数）．则他出生的年份是 1892 ，他去世时的年龄是 ．
【分析】首先找出在小于1945，大于1845的完全平方数，依此可得只有1936符合实际，从而得到出生的年份和去世时的年龄．
【解答】解：小于1945，大于1845的完全平方数有，，
显然只有1936符合实际，所以斯蒂芬巴纳赫在1936年为44岁．
那么他出生的年份为年．
他去世的年龄为岁．
故答案为：1892，53岁．
【点评】要点是：确定范围，另外要注意的“潜台词”：年份与相应年龄对应，则有年份年龄出生年份．
10．有一个自然数，它与160的和等于某一个数的平方，它与84的和又等于另一个数的平方．那么这个自然数是 240 ．
【分析】可以设这个自然数为，根据题意得：①，②，①②得，然后根据和的奇偶性来分析判断出和的值，进一步求出这个自然数．
【解答】解：设这个自然数为，它与160的和是的平方．与84的和是的平方，所以有：
，
因为和奇偶性相同，76是偶数，所以和都是偶数，且76分解为两个偶数的乘积只有，所以：
所以

．
答：这个自然数是240．
故答案为：240．
【点评】此题解答有一定难度，通过设未知数，以及对数的奇偶性性质的分析，得出问题的答案．
11．有三个连续的四位正整数，中间一个为完全平方数，且三个数的和能被15整除，则中间的数的最小值是 1225 ．
【分析】由于是三个连续的正整数，所以可设这三个连续正整数为：，，．则三数之和为，三个数之和肯定能被3整除，因为3数之和能被15整除，，所以能被5整除，即中间一个数肯定能被5整除．因为为完全平方数，所以能被25整除．据此通过求得这个完全平方数的最小值是多少．
【解答】解：可设这三个连续正整数为：，，．
则三数之和为，
因为3数之和能被15整除，，所以能被5整除；
因为为完全平方数，所以能被25整除．
设
为完全平方数由小到大为0，1，4，9，16，25，36，49．
因为，．为4位数，
所以1225为最小的四位数．
故答案为：1225．
【点评】如果一个完全平方的数的两个因数中的一个因数为完全平方数，则别一个因数一定也定为完全平方数．
12．某煤矿要将一批煤炭运往某发电厂，如果每天运400吨，那么11天运不完，12天时间又有富余；如果每天运420吨，那么10天运不完，11天时间又有富余；如果每天运吨，恰好天运完为自然数），则 67 ．
【分析】根据如果每天运400吨，那么11天运不完，12天时间又有富余；如果每天运420吨，那么10天运不完，11天时间又有富余；可求煤的重量的范围，再根据完全平方数性质求解．
【解答】解：设共有吨煤，则
且，
解得，
，
在区间内的完全平方数只有，
所以．
故答案为：67．
【点评】考查了完全平方数性质，本题关键是得到煤的重量的范围，在煤的重量的范围之间找到完全平方数．
13．小明准备利用假期去读一本书，如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读页，恰好是自然数）天读完，这本书是 324 页。
【分析】根据题干中的三句话求出的取值范围，再根据完全平方数的特征解答即可。
【解答】解：设总页数为
根据如果每天读80页，4天读不完，5天又有余，可得：；
根据如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余，可得：；
再根据如果每天读页，恰好用了是自然数）天读完，可得：；
在之间，只有符合要求，所以，即总页数是324。
故答案为：324。
【点评】本题考查了有余数除法和完全平方数的性质的灵活应用，关键是求出总页数的取值范围。
14．从1、2、这十个数中选出9个数，使得选出的9个数之和为完全平方数（完全平方数是指可以表示为一个整数的平方的数，比如，所以9就是完全平方数），则没有被选出的数是 6 ．
【分析】要使“从1、2、这十个数中选出9个数，使得选出的9个数之和为完全平方数”，则实现把这10个数相加，得到55，比55小的最大的完全平方数是49，49是7的平方，，所以没有被选出的数是6；据此得解．
【解答】解：因为
所以没有被选出的数是6．
故答案为：6．
【点评】求出10个数字的和，以及最大的完全平方数是解决此题的关键．
三．解答题（共8小题）
15．甲乙两人合养了头羊，而每头羊的卖价又恰为元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去．为了平均分配，甲应该补给乙多少元？
【分析】头羊的总价为元，因为先由甲拿，到最后甲拿走10元，乙不足10元，因此元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数．如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6．所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元．
【解答】解：头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数．如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6．所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙：（元．
答：为了平均分配，甲应该补给乙2元．
【点评】此题也可这样解答：
解：设甲、乙两人合养了头羊，两人先分了次，每人每次10元，最后一次甲先拿了10元，乙拿了，是整数）元，
当甲找给乙钱后，甲乙都得到了元，甲给了乙元，
所以有，
因为个位为0，是完全平方数的个位数，，4，5，6，9，
若是奇数，则，5，或9，
所以，或，
因为、、除以4的余数都是3，它们不是完全平方数，
所以是偶数，或6，或3．
若，，右边不是完全平方数
所以，
所以甲应该找给乙（元．
16．有一个自然数，它与152的和等于某个数的平方，它与100的和等于另一个数的平方．求这个自然数．
【分析】可以设这个自然数为，根据题意得：①，②，①②得，然后根据和的奇偶性来分析判断出和的值，进一步求出这个自然数．
【解答】解：设这个自然数为，它与152的和是的平方．与100的和是的平方，所以有：
，，
，
因为和奇偶性相同，52是偶数，所以和都是偶数，且52分解为两个偶数的乘积只有，所以：
所以，．
这个自然数是44．
【点评】此题解答有一定难度，通过设未知数，以及对数的奇偶性性质的分析，得出问题的答案．
17．矩形四边的长度都是小于10的整数（单位：公分），这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积．
【分析】此题可设长方形的边长为、，则四位数可证得，从而得出是一个完全平方数，经试算即可解答．
【解答】解：设矩形的边长为，，则四位数：
因为是完全平方数，11为质数，所以能被11整除．
又由分析可得．
所以，所以是一个完全平方数，验算知满足条件．
又由，得．所以（平方厘米）．
答：这个矩形的面积是28平方厘米．
【点评】此题主要考查完全平方数的特征，正确列出代数式是解题的关键．
18．，，，像9、16和121这些数叫做完全平方数。在这些数中有多少个完全平方数？
【分析】，中最小的完全平方数是1。
【解答】解：最小的完全平方数当然是1；
由于，可知最大的完全平方数为。
由此可知，在中完全平方数共有44个。
【点评】本题是一道有关完全平方数特征的题目。
19．排一排，算一算：
（1）能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为平方数？
（2）能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数？
【分析】（1）1至15排成一行，最小相邻两数之和为：，最大两数之和为，而3和29之间的平方数有：4、9、16、25．当平方数为4时，有；当平方数为9时，有、、、；当平方数为16时，有、、、、、、；当平方数为25时，有、、．观察以上加数，8和9各出现一次，1和3各出现三次，其余数字各出现二次，将1到15排成一行时，8和9放在两头，其余数字相邻两数之和为4或9或16或25就行。（2）同（1）3和29之间的质数有：3、5、7、11、13、17、19、23、29，1至15排成一行时，其中有8个奇数，7个偶数，将奇数排在两头，再使相邻两数之和为质数就是行．排列顺序不唯一．
【解答】解：（1）、
3和29之间的平方数有：4、9、16、25
当平方数为4时有：
当平方数为9时有：、、、
当平方数为16时有：、、、、、、
当平方数为25时有：、、
8和9各出现一次，1和3各出现三次，其余数字各出现二次，将1到15排成一行时，8和9放在两头，其余数字相邻两数之和为4或9或16或25就行，如下排成：
8、1、15、10、6、3、13、12、4、5、11、14、2、7、9．
（2）、
3和29之间的质数有：3、5、7、11、13、17、19、23、29
1至15排成一行，其中有8个奇数，7个偶数
将奇数排在两头，再使相邻两数之和为质数就行，如下排列：
11、12、7、6、1、2、5、14、15、4、3、8、9、10、13．
【点评】解答此题的关键一是弄清题意；二是弄清1至15之间两数之和和有哪些平方数，有哪些质数．
20．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，它与原数相加，和恰好是某自然数的平方，两个和是多少？
【分析】设这个数的个位数为，十位数为，则这个数为，个位数与十位数交换后个位为，十位为，则这个数为：；由此可知两数的和为：，这两数的和为11的倍数；由于得到的和恰好是某个自然数的平方，则它们的和是11的平方，计算即可。
【解答】解：设这个数的个位数为，十位数为，则这个数为，个位数与十位数交换后个位为，十位为，则这个数为：，
两数的和为：，即两数的和恰好为11的倍数，。
答：它们的和是121。
【点评】本题考查的是完全平方数性质的应用。
21．如图，从1开始的连续自然数排成了一个数表，现在用一个“”字型套中五个数，把这五个数相加的和比一个完全平方数少2，那么这个完全平方数最小可能是 49 ；如果这个完全平方数是离1000最近的一个，那么它可能是 ．
【分析】该“”字型套中五个数，假设最小的是，那么另外4个分别是，，，，那么这五个数的和是：
，根据题意这个和再加上2正好是一个完全平方数，所以是完全平方数，也就是该平方数减去34恰好是5的倍数，而5的倍数特征是末尾是0或者是5，所以该平方数减去34的末尾是0或者是5，该平方数的末尾就是4即可．
【解答】解：①设用一个“”字型套中五个数分别是，，，，，
这五个数的和是，根据题意即为是平方数，
该平方数去掉34后必须是5的倍数，而5的倍数特征是个位是0或者是5，
经过论证得：平方数的个位上是4，
最小的平方数是49即为




所以平方数最小的是49．
②因为，，，根据上述分析，只要该平方数的个位上是4即可，
离100最近的是1024，
故答案为：49，1024．
【点评】考查对数字规律的得到及运用；发现相应规律是解决本题的关键．
22．有3对相邻的自然数，它们的平方数字相同，只是顺序不同。例如：13和14这两个相邻的数，它们的平方是：，，两个数的平方都是由数字1、6和9组成。还有两对相邻的数具有这个性质，请你判断一下，157和158、913和914是不是这两对相邻的数？
【分析】先分别求出157和158、913和914平方，再看平方数字是否相同；据此判断即可。
【解答】解：，，
157和158的平方数字相同，只是顺序不同，
，，
913和914的平方数字相同，只是顺序不同。
答：157和158、913和914是这两对相邻的数。
【点评】本题主要考查了完全一平方数的性质，解题的关键是分别求出两对相邻数的平方。