（模块化思维提升）专题11-完全平方数性质-小升初数学思维拓展数论问题专项训练（通用版）

这是一份（模块化思维提升）专题11-完全平方数性质-小升初数学思维拓展数论问题专项训练（通用版），共15页。试卷主要包含了完全平方数定义，性质等内容，欢迎下载使用。
（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、完全平方数定义：完全平方即用一个整数乘以自己例如1×1，2×2，3×3等等，依此类推．若一个数能表示成某个自然数的平方的形式，则称这个数为完全平方数．
2、性质。
性质1：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9．
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数．
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数．
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1．
性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型．
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k，3k+1．
性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型．
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m，16m+1，16m+4，16m+9． 性质9：完全平方数的数字之和只能是0，1，4，7，9．
【典例一】：一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数．则a的最小值是（ ）
A、30 B、20 C、120 D、60
【分析】一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，所以将1080×a的乘积分解质因数后，其质数的指数一定全为偶数，据此分析解答即可．
【解答】解：因为1080×a是一个完全平方数，所以乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数；
而1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，
所以，a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5=30．
故选：A．
【点评】明确完全平方的数的质因数的指数为一定全为偶数是完成本题的关键．
【典例二】、均为正整数，，且正好是一个完全平方数，那么，的最小值为多少？
【分析】因为是完全平方数，且有因数3，所以必有因数，由，推知是3的倍数；由此可知：也是一个完全平方数，然后假设，推出的值，进而得出结论．
【解答】解：是完全平方数，且有因数3，所以有因数
，推知是3的倍数；
由此可知：也是一个完全平方数，
当，时，，即的最小值为：；
答：的最小值为14．
【点评】结合题意，把原式进行提取，变形，得出：也是一个完全平方数，是解答此题的关键．
【典例三】有这样的两位数，交换该数数码所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数．例如，29就是这样的两位数，因为，请你找出所有这样的两位数．
【分析】设原来的两位数是，交换之后是，它们之和为；只需要等于11就可以了，据此可以列举出来．
【解答】解：设原来的两位数是，交换之后是，
它们之和为：；
所以，
因为，所以：
，
，
，
，
答：这样的两位数是56，47，38，29，65，74，92，83．
【点评】解答此题紧紧抓住完全平方数的性质，即，把两个数的和写成的形式，推出的和为11即可．
一．选择题（共5小题）
1．下面的数中， 是完全平方数．
A．8B．9C．6
2．有一堆草莓，比40个多，比50个少，分的份数与每份的个数同样多，这堆草莓有 个．
A．42B．45C．49
3．6的因数有1、2、3、6，这几个因数之间的关系是：．像这样的数叫完全数．下面的数中， 是完全数．
A．8B．18C．28
4．一个数与它自身的乘积称为这个数的平方，各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有 个．
A．15B．18C．20D．21
5．假如有一个数，唯一能整除它的平方数是1，则我们称此数为“无平方”数．例如，6是个“无平方”数而12则不是．请问在从90到100（包括90和共有 个“无平方”数．
A．4B．5C．6D．7
E．8
二．填空题（共11小题）
6．某校2001年的学生人数是个完全平方数，2002年的学生人数比上一年多101人，这个数字也是一个完全平方数．该校2002年的学生人数是 ．
7．自然数乘294，正好是另一个自然数的平方，则的最小值是 ．
8．若，则、的最小值分别是 ， ．
9．1、4、9完全平方数，18、27完全立方数，2、3、5、6、7、10、11、非平方也非立方数列，数列中第99个是 ．
10．6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：，像6这样的数，叫作完全数（也叫作完美数）。你知道的完全数还有 和 。
11．连续1999个自然数之和恰是一个完全平方数．则这1999个连续自然数中最大的那个数的最小值是 ．
12．某煤矿要将一批煤炭运往某发电厂，如果每天运400吨，那么11天运不完，12天时间又有富余；如果每天运420吨，那么10天运不完，11天时间又有富余；如果每天运吨，恰好天运完为自然数），则 ．
13．一个两位数具有性质：与颠倒的数字后的数之和为完全平方数，则这样的有 个．
14．五位数是某个自然数的平方，则 ．
15．小明准备利用假期去读一本书，如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读页，恰好是自然数）天读完，这本书是 页。
16．从1、2、这十个数中选出9个数，使得选出的9个数之和为完全平方数（完全平方数是指可以表示为一个整数的平方的数，比如，所以9就是完全平方数），则没有被选出的数是 ．
三．解答题
17．是否存在自然数，使得与的和是完全平方数？
18．是否存在自然数，使得与的差为完全平方数？
19．试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同．
20．甲乙两人合养了头羊，而每头羊的卖价又恰为元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去．为了平均分配，甲应该补给乙多少元？
21．试证不论、是什么整数，都不可能是完全平方数．
22．有一个自然数，它与152的和等于某个数的平方，它与100的和等于另一个数的平方．求这个自然数．
23．，，，像9、16和121这些数叫做完全平方数。在这些数中有多少个完全平方数？
24．排一排，算一算：
（1）能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为平方数？
（2）能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数？
25．已知，像1444这样能表示为某个自然数的平方，并且末3位数字为不等于0的相同数字，我们就定义为“好数”．
（1）请再找出一个“好数”．
（2）讨论所有“好数”的个位数字可能是多少？
（3）如果有一个好数的末4位数字都相等，我们就称之为“超好数”，请找出一个“超好数”，或者证明不存在“超好数”．
26．求具有下列性质的最大的平方数：在抹去它的个位数字和十位数字后仍为完全平方数（被抹去的两位数不全为．
27．03年101中学招生人数是一个平方数，04年由于信息发布及时，04年的招生人数比03年多了101人，也是一个平方数，问04年的招生人数？
28．1□□7，□□65，37□1，□□60这四个数中，其中有一个四位数恰好是某个数的平方数．你能找出这个数吗？
参考答案
一．选择题（共5小题）
1．【分析】一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数，由此逐项判断即可选择．
【解答】解：，8不能写成一个数的平方的形式，所以8不是完全平方数；
，9可以写成，所以9是完全平方数；
，6不能写成一个数的平方的形式，所以6不是完全平方数；
故选：．
【点评】此题考查利用完全平方数的定义，判断一个数是不是完全平方数的方法．
2．【分析】根据乘法口诀可知，七七四十九，由于这堆草莓，比40个多，比50个少，分的份数和每一份的个数同样多，只有49合适，所以这堆草莓有49个．
【解答】解：由分析可知，比40个多，比50个少，
分的份数和每一份的个数同样多，
这堆草莓有49个．
故选：．
【点评】此题考查了乘法口诀在数学中的运用．
3．【分析】分别写出8、18、28的因数然后依题意判断即可．
【解答】解：8的因数有：1、2、4、8，，8不是完全数；
18的因数有：1、2、3、6、9、18，，18不是完全数；
28的因数有：1、2、4、7、14、28，，28是完全数；
故选：．
【点评】本题可采用排除法注意判断作答．
4．【答案】
【分析】分别列出四个数的平方和为49的几种情况，然后选出各位数字互不相同的情况，最后算出组成的四位数个数．
【解答】解：根据分析，四个数的平方和为49，
则有以下几种情况：；；，；．
其中只有6，3，2，0满足各位数字互不相同，
而由6，3，2，0组成的四位数有个；
所以满足题意的四位数共有18个，
故选：。
【点评】本题的解题关键是列出四个数的平方和为49的几种情况．
5．【分析】根据题意，“无平方”数是无平方数的因数，故质数必然是无平方数，对于其余数分解因数即可．
【解答】解：97是质数，故97是无平方数．


故选：．
【点评】本题难度不大，最主要的要理解“无平方”数的意义．
二．填空题（共11小题）
6．【分析】由于这两年的学生人数都为完全平方数，可设2001年、2002年的学生人数分别为，，又2002年的学生人数比上一年多101人，由此可得，然后根据公式进行分析即可．
【解答】解：设2001年、2002年的学生人数分别为，，
则，
即，
由于，
所以，．
则，，
所以，，．
则2002年的学生人数为人．
故答案为：2601．
【点评】由题意列出等式，并根据公式进行分析是完成本题的关键．
7．【分析】此题可先把294分解质因数，然后找出的最小值．因为，已知是一个自然数的平方，因此的最小值是6．
【解答】解：，
又是一个自然数的平方，所以为6就可变成一个自然数的平方．
答：的最小值是6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一个数的完全平方，此题难度不大．
8．
【分析】因为化简前分数的分母为，即其分母为一个完全平方数，又，所以这个完全平方数最小为，即，则．
【解答】解：因为，
所以分母最小为：
，
即，则．
即；
故答案为：10，15．
【点评】完成本题的关键通过将45分解质因数推出这个完全平方数最小为多少．
9．
【分析】首先考虑的完全平方数有10个1、4、9、25、36、49、64、81，且立方数有4个分别为1、8、27、64，去掉重复的还有个数，进一步考虑下一个完全平方数是121，完全立方数是125，所以从100开始，再数出12个数就可以得出答案为111．
【解答】解：的完全平方数有9个1、4、9、25、36、49、64、81，
完全立方数有4个分别为1、8、27、64，
去掉两种数剩下个，
下一个完全平方数是121，完全立方数是125，
，
所以既没有完全平方数，又没有完全立方数，那么，这样的数的第99个数是111．
答：数列中第99个是 111．
故答案为：111．
【点评】解决此题的关键，是理解题意，找出在一定范围内完全平方数以及完全立方数的个数．
10．【答案】28，496（答案不唯一）。
【分析】牢记48个完美数中的三个，据此填空即可。
【解答】解：28的因数有：1，2，4，7，14，28；
，所以28是完美数。
又知道：496的因数有：1，2，4，8，16，31，62，124，248，496；
，所以496是完美数。
故答案为：28，496（答案不唯一）。
【点评】在课下学习中48个完美数要了解。
11．【分析】设连续1999个正整数中最小的数是，则，根据这1999个正整数的和是一个完全平方数，则存在正整数，使，由上式左边能被1999整除，故也必能被1999整除，故也必能被1999整除，，设，则，，从而得出最大值．
【解答】解：设连续1999个正整数中最小的数是，则
如果这1999个正整数的和是一个完全平方数，则存在正整数有
由于上式左边能被1999整除，故也必能被1999整除，
所以
所以，
．
故答案为：2998．
【点评】本题考查了完全平方数的应用，是重点内容，要熟练掌握．
12．【分析】根据如果每天运400吨，那么11天运不完，12天时间又有富余；如果每天运420吨，那么10天运不完，11天时间又有富余；可求煤的重量的范围，再根据完全平方数性质求解．
【解答】解：设共有吨煤，则
且，
解得，
，
在区间内的完全平方数只有，
所以．
故答案为：67．
【点评】考查了完全平方数性质，本题关键是得到煤的重量的范围，在煤的重量的范围之间找到完全平方数．
13．【分析】设，颠倒的数字后的数是，所以，要使为完全平方数，则；然后据此即可列出．
【解答】解：设，则有，
要使为完全平方数，则，
因此、可取2、9，3、8，5、6，4、7，9、2，8、3，6、5，7、4．
这样的有：29，38，56，47，92，83，65，74，共8个．
故答案为：8．
【点评】考查了学生完全平方数的性质，此题用字母设出这个两位数，由为完全平方数，进而推出，是解答此题的关键．
14．
【分析】根据平方的知识分析这个自然数的可能取值，然后求的值．
【解答】解：5位数是某个自然数的平方，
则它开平方一定是三位数，三位数的平方的末位是1，
那三位数的末位是1或9，
因为三位数的平方是五位数且首位是2，
则三位数的首位是1，
所以这个三位数是161，平方则是25921，
所以：，．
．
答案为：34．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，比较难，未知数的值没有直接给出，而是隐含在题中，解题的关键主要是根据平方的知识分析这个自然数的可能取值．
15．【答案】324。
【分析】根据题干中的三句话求出的取值范围，再根据完全平方数的特征解答即可。
【解答】解：设总页数为
根据如果每天读80页，4天读不完，5天又有余，可得：；
根据如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余，可得：；
再根据如果每天读页，恰好用了是自然数）天读完，可得：；
在之间，只有符合要求，所以，即总页数是324。
故答案为：324。
【点评】本题考查了有余数除法和完全平方数的性质的灵活应用，关键是求出总页数的取值范围。
16．【分析】要使“从1、2、这十个数中选出9个数，使得选出的9个数之和为完全平方数”，则实现把这10个数相加，得到55，比55小的最大的完全平方数是49，49是7的平方，，所以没有被选出的数是6；据此得解．
【解答】解：因为
所以没有被选出的数是6．
故答案为：6．
【点评】求出10个数字的和，以及最大的完全平方数是解决此题的关键．
三．解答题
17．【分析】求出与的和，然后根据完全平方数的个位数的特征判断即可．
【解答】解：
个位数字一定是0，然后减去3，得到的差的个位数字一定是7，
这与完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9相矛盾，
所以，不存在自然数，使得与的和是完全平方数．
【点评】本题考查了完全平方数的特征的灵活应用，关键是掌握完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9这一特征．
18．
【分析】求出与的差，然后讨论是否存在使得差为完全平方数即可．
【解答】解：
的个位数一定是8，而完全平方数个位数不可能是8，所以不存在这样的自然数。
【点评】解答本题关键是明确全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9。
19．
【分析】根据题意，这个四位数可以表示成：，因为必须被11整除，所以，代入上式得：．
只要是完全平方数就行了，由、2、3、4、5、6、7、8、9验证，得一个解，则．进而求出这个四位数．
【解答】解：四位数可以表示成：
，
，
；
因为必须被11整除，所以，代入上式得：
四位数，
，
；
只要是完全平方数就行了．
由、2、3、4、5、6、7、8、9验证得，
、19、28、37、46、55、64、73、82．
所以只有一个解，则．
因此四位数是．
答：这个四位数是7744．
【点评】此题先设出这个四位数为，然后根据其特征，求出的值，进而推出的值，也就求出了这个四位数，解决问题．
20．【分析】头羊的总价为元，因为先由甲拿，到最后甲拿走10元，乙不足10元，因此元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数．如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6．所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元．
【解答】解：头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数．如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6．所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙：（元．
答：为了平均分配，甲应该补给乙2元．
【点评】此题也可这样解答：
解：设甲、乙两人合养了头羊，两人先分了次，每人每次10元，最后一次甲先拿了10元，乙拿了，是整数）元，
当甲找给乙钱后，甲乙都得到了元，甲给了乙元，
所以有，
因为个位为0，是完全平方数的个位数，，4，5，6，9，
若是奇数，则，5，或9，
所以，或，
因为、、除以4的余数都是3，它们不是完全平方数，
所以是偶数，或6，或3．
若，，右边不是完全平方数
所以，
所以甲应该找给乙（元．
21．【分析】因为，而是5的倍数，所以被5除余2，而平方数被5除只能余0，1，4，所以不可能是完全平方数．
【解答】解：被5除余2，但平方数被5除只能余0，1，4，
所以除以5余2的数不可能是完全平方数，
所以不论、是什么整数，都不是完全平方数．
【点评】此题根据一个数的完全平方数被5除的余数进行判断．
22．【分析】可以设这个自然数为，根据题意得：①，②，①②得，然后根据和的奇偶性来分析判断出和的值，进一步求出这个自然数．
【解答】解：设这个自然数为，它与152的和是的平方．与100的和是的平方，所以有：
，，
，
因为和奇偶性相同，52是偶数，所以和都是偶数，且52分解为两个偶数的乘积只有，所以：
所以，．
这个自然数是44．
【点评】此题解答有一定难度，通过设未知数，以及对数的奇偶性性质的分析，得出问题的答案．
23．【答案】在中完全平方数共有44个。
【分析】，中最小的完全平方数是1。
【解答】解：最小的完全平方数当然是1；
由于，可知最大的完全平方数为。
由此可知，在中完全平方数共有44个。
【点评】本题是一道有关完全平方数特征的题目。
24．
【分析】（1）1至15排成一行，最小相邻两数之和为：，最大两数之和为，而3和29之间的平方数有：4、9、16、25．当平方数为4时，有；当平方数为9时，有、、、；当平方数为16时，有、、、、、、；当平方数为25时，有、、．观察以上加数，8和9各出现一次，1和3各出现三次，其余数字各出现二次，将1到15排成一行时，8和9放在两头，其余数字相邻两数之和为4或9或16或25就行。（2）同（1）3和29之间的质数有：3、5、7、11、13、17、19、23、29，1至15排成一行时，其中有8个奇数，7个偶数，将奇数排在两头，再使相邻两数之和为质数就是行．排列顺序不唯一．
【解答】解：（1）、
3和29之间的平方数有：4、9、16、25
当平方数为4时有：
当平方数为9时有：、、、
当平方数为16时有：、、、、、、
当平方数为25时有：、、
8和9各出现一次，1和3各出现三次，其余数字各出现二次，将1到15排成一行时，8和9放在两头，其余数字相邻两数之和为4或9或16或25就行，如下排成：
8、1、15、10、6、3、13、12、4、5、11、14、2、7、9．
（2）、
3和29之间的质数有：3、5、7、11、13、17、19、23、29
1至15排成一行，其中有8个奇数，7个偶数
将奇数排在两头，再使相邻两数之和为质数就行，如下排列：
11、12、7、6、1、2、5、14、15、4、3、8、9、10、13．
【点评】解答此题的关键一是弄清题意；二是弄清1至15之间两数之和和有哪些平方数，有哪些质数．
25．
【分析】（1）因为，所以；则，等都可以是“好数”．
（2）据完全平方数的性质可知，平方末尾数字只可能是1，4，9，6，5和0，0不考虑．因此可从平方末位数是 1，4，9，6，5几种情况进行讨论验证所有“好数”的个位数字可能是多少．
（3）假设存在超好数，设为；则有：不可能被4整除；也就是不可能得到倒数第四位为4；故假设不成立．即：不存在超好数．
【解答】解：（1）因为，所以；则，等都可以是“好数”．
（2）根据完全平方数的性质可知，完全平方末尾数字只可能是1，4，9，6，5和0，0不考虑．
末尾数是5的平方尾数一定是25，故不可能是5；
对于1，设的平方满足；而的平方；倒数第二位一定是偶数，不符合题意；
对于9，设的平方满足；而平方，倒数第二位一定是偶数，不符合题意；
又设平方满足；而的平方；倒数第二位一定是偶数，不符合题意；
对于6，设平方满足；而的平方平方，倒数第二位一定是奇数，不符合题意；
设的平方满足；而的平方；倒数第二位一定是奇数，不符合题意；
故好数的个位数字只能是4．
（3）假设存在超好数，设为；则有：平方平方平方平方不可能被4整除；
也就是不可能得到倒数第四位为4，故假设不成立．
即：不存在超好数．
【点评】完成本题要在了解完全平方数性质的基础上，根据数据的特点，针对不情况进行分析，从而得出结论．
26．【分析】根据题意，可设把中后两位数字抹去后得，且不是以00结尾的，所以有：①，求出，由此，可得；当时，因为，所以不满足①式，故欲使得①式右边不等式成立，只有，据此解答即可．
【解答】解：把中后两位数字抹去后得，且不是以00结尾的，
所以有：①，
由，可得，即，
由此，可得；
当时，
因为，
所以不满足①式，
故欲使得①式右边不等式成立，只有，
直接验证知是满足所述性质的数，
综上，由于要满足①式，除外已无更大的数满足所述性质．
【点评】此题主要考查了完全平方数性质的应用．
27．
【分析】这样我们大胆的设03年的为，04年的为，从中我们发现04年的比03年多101人，这样我们可以列式子；所以，可见右边的数也要分成2个数的积，还得考虑同奇偶性，但101是个质数，所以101只能分成，这样，，所以，，所以04年的招生人数为．
【解答】解：设03年的招生人数为，04年的为，由题意得：；
所以，因为101是个质数，所以101只能分成，
这样，，所以，，
所以04年的招生人数为．
【点评】此题属于平方数问题，考查了学生利用数的奇偶性解答问题的能力．
28．【分析】根据的平方，所以完全平方数个位不能为2，3，7，8，故1□□7被排除；
如果个位数字是5，其平方数为个位是5，十位则为2，所以□□65被排除；
个位为0时，其平方数为个位是0，十位则为0，所以□□60被排除；
综上，只有37□1是完全平方数，即．
【解答】解：①完全平方数个位不能为2，3，7，8，故1□□7被排除；
②如果个位数字是5，其平方数为个位是5，十位则为2，所以□□65被排除；
③个位为0时，其平方数为个位是0，十位则为0，所以□□60被排除；
因此，只有37□1是完全平方数，即．
答：这个数是3721．
【点评】此题通过寻找规律，根据完全平方数的性质，运用排除法进行解答．