河南省郑州市二七区2024-2025学年九年级下学期第二次联考数学试卷（解析版）

这是一份河南省郑州市二七区2024-2025学年九年级下学期第二次联考数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了、选择题等内容，欢迎下载使用。
一 、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 下列各数中最大的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，最大的数是，
故选：A．
2. 河南博物院是国家文物局公布的第一批国家一级博物馆，现有馆藏文物17 万余件（套），其中国家一级文物与国家二级文物5000多件，历史文化艺术价值极高，一部分藏品被誉为国之重器．这里的数据17万可用科学记数法表示为（ ）
A. 人B. 人
C. 人D. 人
【答案】B
【解析】∵万，
故选：B．
3. 如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A.∠1与∠2是邻补角，无法判断两条铁轨平行，故此选项不符合题意；
B. ∠1与∠3与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意；
C. ∠1与∠4是同位角，且∠1=∠4=90°，故两条铁轨平行，所以该选项正确；
D. ∠1与∠5与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意；
故选：C．
4. 菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，每四年颁发一次，被誉为“数学界的诺贝尔奖”．截至 2022年，世界上共有65 位数学家获得菲尔兹奖，获奖者获奖时的年龄分布如下表：
则该组由年龄组成的数据的众数是（ ）
A. 9B. 37C. 45D. 37，38
【答案】D
【解析】由表格可知：这一组数据中37，38出现的次数最多，
因此该组由年龄组成的数据的众数是37，38．
故选：D.
5. 如图是一个正方体盒子的展开图，把展开图折叠成正方体后，和“数”字一面相对的面上的字是（ ）
A. 发B. 现C. 之D. 美
【答案】D
【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
所以“数”与“美”是相对面．
故选：D．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、，故A错误，不符合题意；
B、，故B正确，符合题意；
C、，故C错误，不符合题意；
D、，故D错误，不符合题意；
故选：B．
7. 二次函数的图像如图所示，则一次函数的图像可能是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵二次函数图像开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a0，
∴y=ax+b的图像经过一、二、四象限，与y轴交于正半轴，
∴选项C符合题意，
故选：C．
8. 如图，在等边三角形中，点D在边上，连接，将绕点B旋转一定角度，使得，连接．若，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，∴，
又∵，∴为等边三角形，
∴，
在和中，，
∴≌，
∴，
∴．
故选：D．
9. 如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵点,∴,
过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时点 D 到弦的距离最大，∴四边形是矩形，
∴，∴，
∴点 D 到弦的距离最大为，
∴点D的坐标为，
故选A．
10. 如图1所示是烟雾报警器的简化原理图，其中电源电压保持不变，为定值电阻，R 为光敏电阻，R的阻值随光照强度的变化而变化（如图2），射向光敏电阻的激光（恒定）被烟雾遮挡时会引起光照强度的变化，进而引起电压表示数变化，当指针停到某区域时，就会触动报警装置．下列说法错误的是（ ）
A. 该图象不是反比例函数图象
B. R 随E的增大而减小
C. 当烟雾浓度增大时，电压表①示数变小
D. 当光照强度增大时，电路中消耗的总功率增大
【答案】C
【解析】A、该图象与纵轴相交，所以不是反比例函数图象，故本选项说法正确，不符合题意；
B、根据图象可知，R随E增大而减小，故本选项说法正确，不符合题意；
C、当烟雾浓度增大时，光照强度减小，电流减小，电阻变大，所以定值电阻两端的电压变小，而电源电压保持不变，电压表测光敏电阻R的电压，根据可知，电压表示数变大，故本选项说法错误，符合题意；
D、当光照强度增大时，电流变大，电阻变小，而电源电压保持不变，根据电路总功率可知，电路中消耗的总功率增大，故本选项说法正确，不符合题意．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 因式分解：__________.
【答案】
【解析】，
故答案为：．
12. 如图，中，，相交于点，若，，则的周长为_______．
【答案】8
【解析】四边形是平行四边形，
，，，
，
，
的周长．
13. 2024年3月31日，郑开马拉松赛在郑开大道郑东新区举行．本赛事某岗位还需要2名志愿者参与服务工作，共有4人参加了这一岗位的遴选，其中大学生2名，快递员1名，老师1名，2名大学生恰好被录取的概率是_________．
【答案】
【解析】用表示两名大学生，B表示快递员，C表示老师，
则列表如下：
由列表可知有12种等可能的结果数，其中2名大学生恰好被录取的有2种结果，
∴2名大学生恰好被录取的概率为：，
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形和正方形顶点A，C，D 均在坐标轴上，点 F 是边的中点，点 B，E 在反比例函数()的图象上．若，则k的值为____________．

【答案】2
【解析】设，
∵点 F 是边的中点，
∴，
∵矩形和正方形，，
∴，轴，，，轴，
∴，，
∵点 B，E 在反比例函数()的图象上，
∴，
解得(舍去)，
∴，
故答案为：2．
15. 如图，四边形是边长为2的正方形，点E是的中点，连接，点 F是射线上的一个动点（不与点C重合），连接交于点M，若是以为腰的等腰三角形，则________．

【答案】或
【解析】情形一：当时，如图，

∴
∵∴
∵∴
设与的交点为点P，则
又E为的中点，
∴
设则
∴
在中，,
∴，
解得，，
∴
∵
∴
∴，
设则∴，
解得∴；
情形二：当时，延长交的延长线于点N，作于点H，如图，

∵∴∴∴
又∴
又∴∴
∴
又
∴即
∵
∴
∴
∴
又
∴
∴
综上，的值为或2.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算 ；
（2）解不等式组： .
解：（1）；
（2）不等式组，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
17. 下面是小明同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ⊥l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A，以点P为圆心，PA长为半径画弧，与直线l交于另一点B；
②分别以A，B为圆心，PA长为半径在直线l下方画弧，两弧交于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ为所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PA，PB，QA，QB．
∵PA＝PB＝QA＝QB，
∴四边形APBQ是菱形 （填推理的依据）．
∴PQ⊥AB （填推理的依据）．
即PQ⊥l．
（1）解：如图所示．
（2）证明：连接PA，PB，QA，QB．
∵PA＝PB＝QA＝QB，
∴四边形APBQ是菱形（四边相等的四边形是菱形）（填推理的依据）．
∴PQ⊥AB（菱形的对角线互相垂直）（填推理的依据）．
即PQ⊥l．
故答案为：四边相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直．
18. 为庆祝中华人民共和国成立周年，某校举行了“中国近现代史”知识竞赛（百分制），为了 解七、八年级学生的答题情况，从中各随机抽取了名学生的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
．七年级学生竞赛成绩频数分布表：
．八年级学生竞赛成绩的扇形统计图：
．八年级学生竞赛成绩在这一组的数据是：，，，，，，，，，，，，，．
．七、八年级学生竞赛成绩的中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中，的值， ， ；
（2）此次竞赛中，若抽取的一名学生的成绩为分，在他所在的年级，他的成绩超过了一半以上被抽取的学生的成绩，他是哪个年级的学生?请说明理由．
解：（1），
八年级学生竞赛成绩在的人数有（人），在的人数有（人），在的人数有（人），在的人数有（人），
又八年级学生竞赛成绩的中位数是将数据从小到大排列的第、位数的平均数，而第、位数分别是这一组数据中的、，
八年级学生竞赛成绩的平均数为；
（2）他是七年级的学生，理由如下：
七年级学生竞赛成绩的中位数为，八年级学生竞赛成绩的中位数为，
七年级有一半的学生成绩不高于，八年级有一半的学生成绩不高于，
七年级超过有一半的学生成绩低于，而八年级不确定超过有一半的学生成绩低于，他在七年级．
19. 观察以下等式：
第1个等式：；
第个等式：；
第3个等式：；
第个等式：；
第5个等式：；
······
按照以上规律．解决下列问题：
写出第个等式____________；
写出你猜想的第个等式： (用含的等式表示)，并证明．
解：（1）由前五个式子可推出第6个等式为：；
（2），
证明：∵左边==右边，
∴等式成立．
20. 实际应用
材料：太阳高度：太阳高度指太阳光线与地平面的夹角，记作H，当地地方时 12时的太阳高度称为正午太阳高度．一天中正午时太阳高度最大，日出和日落时太阳高度为．
H的计算公式：纬差（纬差是指某地的地理纬度与当日太阳直射点所在纬度的差值，特别地，南纬北纬地区的纬差为其数值之和）
例如，如图所示，C地的纬度为N，求C地夏至日（太阳直射北回归线N）的正午太阳高度？
解：夏至日太阳直射的纬度为，
与C地的纬度差，
那么
应用：
（1）深圳纬度约为N，一年中会有两次太阳直射，一般在每年的6月 18日和6月 26日两天，则当天正午太阳高度 （填角度）；冬至太阳直射南回归线 ，则当天正午深圳的太阳高度 .（填角度）
（2）如图，小明家住在河南焦作（），一年中正午太阳光线与地平面夹角最小在冬至，约为，即，夹角最大在夏至，约为，即，测得他家窗高约为2.3m，即．如图所示的直角遮阳篷，在冬至能最大限度地使阳光射入室内，在夏至又能最大限度地遮挡炎热的阳光，请求出此遮阳篷两直角边的长度．（精确到0.1m，参考数据： ，
解：（1）正午太阳高度自直射点向南北两侧递减，题意可知，正午太阳高度纬差，
∴在每年的6月 18日和6月 26日两天，当太阳直射时，正午深圳当天正午太阳高度，
冬至太阳直射南回归线S，则当天正午深圳的太阳高度，
故答案为： ，
（2）由题意可得，，，
在中， ，
①，
在中， ，②，
将②代入到①得： ，
∴，
∴遮阳篷直角边约为， 约为．
21. 为了有效落实河南省教育厅颁布的《关于推进中小学生研学旅行的实施方案》，某中学进行研学活动．在此次活动中，若每位老师带30名学生，则还剩7名学生没有老师带，若每位老师带31名学生，就会有一位老师少带1名学生．
（1）参加此次研学活动的老师和同学各有多少名？
（2）现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表所示．学校要求每位老师负责一辆车的组织工作，因此需按老师人数租车．甲、乙两种型号的客车各租几辆，学校租车总费用最少？并求出最少的费用．
解：（1）设参加此次研学活动老师有x位，则参加此次研学活动的学生有y名，
根据题得：，解得，
答：参加此次研学活动的老师有8名，学生有247名；
（2）设租用m辆甲型客车，则租用辆乙型客车，设租车的总费用为 W元
根据题意得：，
∴，
∵，
∴W随m的增大而增大，
∴当时， ，
∴租甲型车3辆，乙型车5辆费用最少，最少是2800元．
22. 如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，抛物线L的函数解析式为 已知抛物线L： 经过点，，求抛物线L的函数解析式．
（1）请根据已有信息添加一个适当的条件： ；
（2）将抛物线L向上平移m()个单位得到抛物线．若抛物线的顶点关于坐标原点 O 的对称点在抛物线L上，求 m的值；
（3）如图，点 N为抛物线L的顶点坐标，若平移抛物线L的图象，使其顶点在直线上运动，且平移后的抛物线与y轴负半轴相交，交点为M，则 面积的最大值为 ．
解：（1）根据抛物线，
∴，
解得，
∴可以添加条件抛物线经过点；
故答案为：抛物线经过点．
（2）∵抛物线L：，
∴将抛物线L向上平移m()个单位得到抛物线的解析式为，
∴其顶点坐标为，
∴其关于原点的对称坐标为，
∵抛物线的顶点关于坐标原点 O 的对称点在抛物线L上，
代入解析式得：，
解得．
（3）∵，
∴抛物线的顶点，
∵新抛物线顶点在直线上，
设新抛物线的顶点为，
∴解析式为，
当时，，
∴点，
∴，
∴
,
故答案为：．
23. 综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）如图1，将矩形纸片沿过点A 的直线折叠，使点 B落在边上的点处，折痕为，则四边形的形状为 ．
（2）如图2，矩形纸片的边长，用图1中的方法折叠纸片，折痕为，接着沿过点 D 的直线折叠纸片，使点 C落在上的点 处，折痕为．则 ， ．
（3）如图3，矩形纸片的长为，宽为，用图1的方法折叠纸片，折痕为，在线段上取一点 F（不与点重合），沿折叠，点 C的对应点为延长交直线于点 G．
①判断与的数量关系，并证明；
②当射线经过的直角边的中点时，请直接写出的长．
解：（1）∵四边形是矩形，
，，
由折叠性质可得：，，
四边形是正方形，
故答案为正方形．
（2）由（1）知四边形为正方形，
，
∵，
，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵折叠，点C落在点处，
∴，，
∴，
∵正方形，
∴，
∴在中，，即，
∴,
∴,
∵矩形，
∴，
∴,
∵，，
∴，
故答案为；
（3）①.
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∴；
②∵四边形是矩形，
∴，
由（1）知四边形，均为正方形，
∴，
由折叠得，，,
若过中点，即G为中点，
∴，
∴,
在中，,
∴；
若过中点M，连接，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
设，
∴，
在中，，
即，
解得，
即，
综上，长为或．年龄/岁
27
29
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
45
人数
1
3
5
4
4
4
6
5
9
9
7
7
1
B
C
B
C
成绩
频数
频率
合计
中位数
七年级
八年级

甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320