河南省郑州市中原区2024-2025学年九年级下学期第二次联考数学试卷（解析版）

这是一份河南省郑州市中原区2024-2025学年九年级下学期第二次联考数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了、选择题等内容，欢迎下载使用。
一 、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. 2024D.
【答案】C
【解析】的相反数是2024，
故选：C．
2. 2024年一季度我国国民经济实现良好开局，一季度国内生产总值296299亿元，按不变价格计算，同比增长5.3%，比上年四季度环比增长1.6%．其中296299亿用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】亿有14个位数，
根据科学记数法要求表示，
故选：B．
3. “陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，打陀螺是一项深受各民族群众喜爱的体育运动．如图是一个水平放置的木陀螺（上面是圆柱体，下面是圆锥体）玩具，它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】从从正面看到的图形是一个等腰三角形，和一个矩形，并且矩形在等腰三角形的正中间，即看到的图形如下：
故选：A．
4. 计算的结果是（ ）
A. 3B.
C. D. 3
【答案】A
【解析】m个3相加表示为，根据乘方的定义：n个4相乘表示为，
故的结果是．
故选：A．
5. 如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图：
，，，
，，
，
．
故选：A．
6. 为庆祝神舟十八号载人飞船的成功发射，某学校“鲲鹏”航天社团开展航天知识竞赛活动，经过筛选，决定从甲乙丙丁四名同学中选择一名同学代表，该社团参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）如表所示：
如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】C
【解析】丙、丁两名同学的平均数高于甲、乙两名同学的平均数，
丙的方差小于丁的方差，
∴丙同学的成绩好且状态稳定，
故选：C．
7. 已知为常数，且点在第二象限，则关于的一元二次方程 的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判断
【答案】B
【解析】在第二象限，，，，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
8. 已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵一次函数的函数值随的增大而减小，∴k﹤0，
A．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；
B．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；
C．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；
D．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=﹥0，此选项不符合题意，
故选：B．
9. 如图1，正方形的边长为2，点E为边的中点，动点P从点A出发沿匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，当点在边上时，的值先减小后增大，
当点在边上时，的值逐渐减小，
∴点的横坐标为的长度，纵坐标为的长度，
，
，
，
故选：C．
10. 如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点 P，Q 都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则的长度为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】B
【解析】分别作出两条抛物线的对称轴，交于点M，N，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
故选B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 如果分式有意义，那么x的取值范围是 ________
【答案】x≠-1
【解析】依题意得x+1≠0，解得x≠-1，
故填：x≠-1.
12. 不等式组 的最大整数解是________．
【答案】2
【解析】由，得：；
由，得：，
不等式组的解集为：；
最大整数解是2；
故答案为：2
13. 化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、 可以置换出氢气，而 不能置换出氢气）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属进行实验，则二人所选金属均能置换出氢气的概率是___________．
【答案】
【解析】设用A表示、用B表示、用C表示，用D表示，
根据题意，画树状图如下：
由图可知，共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的有9种，
∴二人所选金属均能置换出氢气的概率是．
14. 如图，把沿着直线向右平移至处，，连接． 若，则点到的距离是___．
【答案】
【解析】连接，设点到的距离是h，
∵，∴
∵，∴，
∵，∴，∴．
故答案为：．
15. 如图，在扇形中，半径，的长为，点P在上，连接， 将沿折叠得到．若与所在的圆相切于点B，则的度数为________，的长为_________．
【答案】
【解析】如图所示，连接，交于点，
沿折叠得到．
，，，
与所在的圆相切于点，
，
，
，
，
设，
半径，的长为，，解得，
，
，
，，
故答案为：；．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：.
解：（1）原式；
（2）原式
．
17. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．小华家计划购买一辆新能源汽车，经过初步了解，看中了售价一样的甲、乙两款汽车．小华的爸爸根据汽车鉴定机构发布的数据对这两款车的续航里程、百公里加速、智能化水平三项性能进行了评分（满分100分），如下表：
两款汽车的综合得分按如图（扇形图）所示的权重计算．

同时小华的爸爸又收集了10位网友对这两款汽车的评价（满分10分），并整理、描述、分析如下：
a．网友评价得分（满分10分）：
甲：4 5 5 6 6 7 8 9 10 10
乙：4 5 6 7 7 7 8 8 9 9
b．网友评价得分统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的 m = ；
（2）由表中成绩和扇形图所示权重已算得甲款车的总评成绩为89分，请计算乙款车的总评成绩；
（3）综合考虑甲、乙两款汽车的综合评分以及网友评价，你认为小华的爸爸应选择购买哪款汽车?请说明理由．
解：（1）根据题意，得数据排序如下：4 5 5 6 6 7 8 9 10 10，
中位数是第5个数据，第6个数据的平均数即，
故答案为：．
（2）乙车的平均数是：（分）．
（3）∵乙车的中位数大于甲车，乙车的方差小于甲车，更稳定，从安全角度思考，
∴我推荐乙车．
18. 如图，直线和相交，交点分别为．

（1）请用无刻度的直尺和圆规过点作直线l的垂线（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）点是外一点，分别连接交于点，连接．（1）中所作垂线和交于点，若，且，求的度数．
解：（1）如图，直线即为所求

（2）如图，连接，由（1）知，

对应的是
19. 如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于两点，为常数．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式 的解集为 ；
（3）点为轴上一点，若的面积为1，请直接写出点的坐标．
解：（1）将点代入之中得，
反比例函数的解析式为；
将代入反比例函数之中得，点的坐标为，
将点，代入之中得，解得，
一次函数的解析式为；
（2）由（1）知一次函数的图象与反比例函数 的图象交于两点，过作轴的垂线，如图所示：
观察函数的图象可知当或时，一次函数的图象均在反比例函数的上方，
的解集为或；
（3）过点，分别作轴垂线，垂足分别为，，如图所示：
，
，，，，
，
轴，轴，
四边形为直角梯形，
，
设点的坐标为，
的面积为1，
①点在线段上，即，如图所示：
，
，，
，
，
，解得，
此时点的坐标为；
②当延长线上时，即，如图所示：
，，则，
，
，则，解得，
此时点的坐标为；
③当在延长线上时，即，如图所示：
，，则，
，
，则，解得，
由于，与当在延长线上时，即矛盾，此种情况不存在；
综上所述：点的坐标为或．
20. 某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度．
解：过点A作，交CD于点G，交EF于点H．
由题意得：，，，
∵，∴ ，∴，∴，
∴，
答：旗杆的高度为17米．
21. 某超市购进甲、乙两种水果的进价分别为10 元/、15元/，乙种水果在销售后采取降价销售，这个价格保持到销售完这批水果．这两种水果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数关系如图所示．
（1）甲种水果每千克的销售价为 元；
（2）求乙种水果销售额y（单位：元）与销售量 x（单位：）之间的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围；
（3）当两种水果销售额相同，且销售额大于0时，请直接写出销售这两种水果的利润和．
解：（1）根据图象，得当甲种水果销售120千克时，销售额为2400元，
故单价为元．
（2）当时，是正比例函数，
设解析式为，
把点代入解析式，得，解得，
故解析式为；
当时，是一次函数，
设解析式为，
把点，代入解析式，得，解得，
故解析式为．
（3）根据图象，得当甲种水果销售120千克时，销售额为2400元，
故单价为元；
故甲的解析式为．
由两种水果销售额相同，且销售额大于0，
得，解得，
∴甲水果销售额为；乙水果销售额为，
∴甲水果销售利润；乙水果销售利润为，
∴两种水果的总利润为(元)．
22. 已知抛物线的顶点为D．
（1）若抛物线经过原点，求a的值及顶点D的坐标；
（2）在（1）的条件下，把时函数的图象记为，将图象绕原点旋转，得到新图象，设图象与图象组合成的图象为．
①图象的解析式 （写出自变量的取值范围）；
②若直线与图象M有3个交点，请直接写出m的取值范围．
解：（1）∵抛物线经过原点，
当时，，代入抛物线得：，
，∴抛物线的方程为：．
∴抛物线的对称轴方程为：，
把代入，得，
∴点坐标为．
（2）在（1）中抛物线的方程为：，
①当时函数的图象记为，
∴对应的函数解析式为：，且图象经过和原点，
将图象绕原点旋转，得到新图象，新图象与原图象成中心对称，
∴新图象对应函数的自变量的范围为：，且新图象经过点和原点，
∴图象的解析式为：．
②直线与图象有3个交点，分两种情况，
当直线与有2个交点且与有1个交点时，，
，
令，得，
结合图象可得：，
同理，当直线与有1个交点且与有2个交点时，，
，
令，得，
结合图象可得：．∴．
23. 已知点O 是线段的中点，直线l与线段交于点 P（点 P 与点 A， B 不重合），分别过点A，点B作直线l的垂线，垂足分别为点 C，点 D．
（1）【猜想验证】如图 1，当点 P 与点 O 重合时，线段 和 的数量关系是 ；
（2）【探究证明】如图2，当点 P是线段上的任意一点时，判断 和 的数量关系并说明理由；
（3）【拓展延伸】若，，当 为等腰三角形时，请直接写出线段 的长．
解：（1）∵，，∴，
又∵是的中点，∴，
又∵，∴，∴；
（2），理由为：
如图，过点O作直线于点F，交的延长线于点E，
由（1）得，
又∵，，，
∴，
∴为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，过点O作直线于点F，交的延长线于点E，
由（1）得，
又∵，，，
∴，∴为矩形，∴，
∴，∴，
在中，，
∴，∴，
①当时，；
②当是，过点P作于点Q，
∴，∴；
综上所述长为或．
甲
乙
丙
丁
平均数
96
96
98
98
方差
1.0
0.4
0.2
0.6
续航里程（分）
百公里加速（分）
智能化水平（分）
甲款汽车
82
90
100
乙款汽车
80
100
90
平均数
中位数
方差
甲款汽车
7
m
乙款汽车
7
7