2024-2025学年河南省郑州市二七区九年级（上）期末数学试卷含答案

这是一份2024-2025学年河南省郑州市二七区九年级（上）期末数学试卷含答案，共32页。

A．A和CB．A和DC．B和CD．B和D
2．（3分）如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000是（ ）
A．13×105B．1.3×105C．1.3×106D．1.3×107
4．（3分）某中学开展课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：乒乓球、排球、篮球、足球．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机选取200名学生进行问卷调查（每位学生仅选一种），并将调查结果绘制成如下的扇形统计图．下列说法错误的是（ ）
A．最喜欢篮球的学生人数为30人
B．最喜欢足球的学生人数最多
C．“乒乓球”对应扇形的圆心角为72°
D．最喜欢排球的人数占被调查人数的10%
5．（3分）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（ ）
A．130°B．140°C．150°D．160°
6．（3分）对于任意整数n，多项式（4n+5）2﹣9都能（ ）
A．被6整除B．被7整除
C．被8整除D．被6或8整除
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD＝50°，则∠A的度数为（ ）
A．65°B．55°C．50°D．75°
8．（3分）如图是一把圆规的平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂．已知OA＝OB＝a，使用时，以点A为支撑点，笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．若支撑臂与旋转臂的夹角∠AOB＝2θ，则圆规能画出的圆的半径AB长度为（ ）
A．2asinθB．asin2θC．2atanθD．atan2θ
9．（3分）如图1，平行四边形ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（ ）
A．只有甲、乙才是B．只有甲、丙才是
C．只有乙、丙才是D．甲、乙、丙都是
10．（3分）如图1，Rt△ABC中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）甲、乙两位同学个给出某个函数的一个特性甲：“当x＞0时，函数值y随x的增大而增大”；乙：函数图象经过点（0，1）”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式可以是 ．
12．（3分）不等式组的解集是 ．
13．（3分）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 ．
14．（3分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点O，A，B，D均在格点上，以O为圆心OA为半径的弧经过点B，以O为圆心，OD为半径的弧交OA于点E，OD的延长线交弧AB于点C，则图中阴影部分的面积为 .
15．（3分）在直角三角形纸片ABC中，BC＝3，AC＝4，∠C＝90°，分别在AC，AB边上取一点M，N，沿着MN把△AMN剪掉，剩下的四边形BCMN恰好是一个轴对称图形，则剪掉的△AMN的面积是 ．
三.解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）计算：．
17．（8分）根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“x＜60”记为1分，“60≤x＜70”记为2分，“70≤x＜80”记为3分，“80≤x＜90”记为4分，“90≤x≤100”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为 度；
②请补全第1小组得分条形统计图；
（2）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（3）已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？
18．（9分）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质．类比反比例函数的研究方法，过程如下：
（1）列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝ ；
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，如图画出了部分图象，请你把图象补充完整；
（2）下列关于函数的说法，正确的有 ．
①函数图象分别位于一、三象限；②当x＜0时，y随x的增大而减小；
③函数图象关于y轴对称；④函数值始终大于0；
（3）已知直线y＝x+4与图象的交点坐标为 ，则不等式的解集为 ．
19．（9分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．连接DE交AC于点F．
（1）试判断四边形ADCE的形状，并说明理由；
（2）试判断DF与AB的关系，并说明理由．
20．（9分）项目式学习
某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务．
项目主题：商品销售策略的制定
驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略．
任务一：市场调查
调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价x（元）和日销售量y（个）的情况，记录如表：
任务二：模型建立
（1）该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为 ；
任务三：问题解决
（2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？
21．（9分）如图在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D．
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，交AC于E（不写作法和证明，保留作图痕迹）
（2）求证：DE⊥AC；
（3）若AE＝6，FB＝4，求⊙O的半径．
22．（10分）如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
23．（11分）如图①，在直角三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．
【数学活动】
将三角形纸片ABC进行以下操作：
①折叠三角形纸片ABC，使点C与点A重合，得到折痕DE，然后展开铺平；
②将△DEC绕点D顺时针方向旋转得到△DFG，点E，C的对应点分别是点F，G，直线GF与边AC交于点M（点M不与点A重合），与边AB交于点N．
【数学思考】
（1）折痕DE的长为 ；
（2）在△DEC绕点D旋转的过程中，试判断MF与ME的数量关系，并证明你的结论；
【数学探究】
（3）如图②，在△DEC绕点D旋转的过程中，当直线GF经过点B时，求AM的长；
【问题延伸】
（4）在△DEC绕点D旋转的过程中，连接AF，则AF的取值范围是 ．
2024-2025学年河南省郑州市二七区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）如图，表示互为相反数的两个数的点是（ ）
A．A和CB．A和DC．B和CD．B和D
【分析】对于A，要判断点A和点C表示的两个数是否互为相反数，需判断点A和点C是否在原点的两侧，且到原点的距离是否相等，据此判断；同理对其他选项进行判断，进而得出答案．
【解答】解：A．A和C到原点的距离不相等，此选项不符合题意；
B．A和D到原点的距离不相等，此选项不符合题意；
C．B和C在原点的两侧，且到原点的距离相等，此选项符合题意；
D．B和D到原点的距离不相等，此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查相反数的题目，掌握相反数的几何意义是解决本题的关键．
2．（3分）如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【解答】解：从左边看，是一个矩形，矩形中部靠下有一条横向的虚线．
故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
3．（3分）5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000是（ ）
A．13×105B．1.3×105C．1.3×106D．1.3×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1300000＝1.3×106，
故选：C．
【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）某中学开展课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：乒乓球、排球、篮球、足球．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机选取200名学生进行问卷调查（每位学生仅选一种），并将调查结果绘制成如下的扇形统计图．下列说法错误的是（ ）
A．最喜欢篮球的学生人数为30人
B．最喜欢足球的学生人数最多
C．“乒乓球”对应扇形的圆心角为72°
D．最喜欢排球的人数占被调查人数的10%
【分析】根据扇形统计图的数据逐一判断即可．
【解答】解：A、随机选取200名学生进行问卷调查，最喜欢篮球的学生人数为200×30%＝60人，故A错误；
B、由统计图可知，最喜欢足球的人数占被调查人数的40%，学生人数最多，故B正确；
C、“乒乓球”对应扇形的圆心角为360°×20%＝72°，故C正确；
D、最喜欢排球的人数占被调查人数的1﹣（40%+30%+20%）＝10%，故D正确；
故选：A．
【点评】本题考查扇形统计图及其相关计算、总体、个体、样本容量、样本、用样本估计总体等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
5．（3分）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（ ）
A．130°B．140°C．150°D．160°
【分析】过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角即∠4、∠5，根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：如图所示，过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠（2分）成两个角∠4和∠5，
∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l∥支撑平台，
∴直线l∥支撑平台∥工作篮底部，
∴∠1＝∠4＝30°、∠5+∠3＝180°，
∵∠4+∠5＝∠2＝50°，
∴∠5＝50°﹣∠4＝20°，
∴∠3＝180°﹣∠5＝160°，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
6．（3分）对于任意整数n，多项式（4n+5）2﹣9都能（ ）
A．被6整除B．被7整除
C．被8整除D．被6或8整除
【分析】根据平方差公式和提公因式法可以解答本题．
【解答】解：∵（4n+5）2﹣9
＝[（4n+5）+3][（4n+5）﹣3]
＝（4n+8）（4n+2）
＝8（n+2）（2n+1），
∴对于任意整数n，多项式（4n+5）2﹣9都能倍8整除，
故选：C．
【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是将题目中的式子进行因式分解，利用整除的性质解答．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD＝50°，则∠A的度数为（ ）
A．65°B．55°C．50°D．75°
【分析】先利用圆周角定理可得：∠ABD＝25°，然后利用平角定义得∠ABC＝25°，根据圆周角定理得∠C＝90°，再根据三角形内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠AOD＝50°，
∴∠ABD＝∠AOD＝25°，
∵BA平分∠CBD，
∴∠ABC＝∠ABD＝25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∴∠A＝180°﹣90°﹣25°＝65°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
8．（3分）如图是一把圆规的平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂．已知OA＝OB＝a，使用时，以点A为支撑点，笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．若支撑臂与旋转臂的夹角∠AOB＝2θ，则圆规能画出的圆的半径AB长度为（ ）
A．2asinθB．asin2θC．2atanθD．atan2θ
【分析】先作OC⊥AB交AB于点C，然后根据等腰三角形的性质和锐角三角函数即可表示出AB．
【解答】解：作OC⊥AB交AB于点C，如图，
∵OA＝OB，
∴OC平分∠AOB，点C平分AB，
∵∠AOB＝2θ，
∴∠AOC＝θ，
∵OA＝OB＝a，
∴AC＝asinθ，
∴AB＝2AC＝2asinθ，
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．（3分）如图1，平行四边形ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（ ）
A．只有甲、乙才是B．只有甲、丙才是
C．只有乙、丙才是D．甲、乙、丙都是
【分析】方案甲，连接AC，由平行四边形的性质得OB＝OD，OA＝OC，则NO＝OM，得四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；
方案乙，证△ABN≌△CDM（AAS），得AN＝CM，再由AN∥CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；
方案丙，证△ABN≌△CDM（ASA），得AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，则∠ANM＝∠CMN，证出AN∥CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确．
【解答】解：方案甲中，连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵BN＝NO，OM＝MD，
∴NO＝OM，
∴四边形ANCM为平行四边形，故方案甲正确；
方案乙中，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABN＝∠CDM，
∵AN⊥BD，CM⊥BD，
∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD，
在△ABN和△CDM中，
，
∴△ABN≌△CDM（AAS），
∴AN＝CM，
又∵AN∥CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，故方案乙正确；
方案丙中，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABN＝∠CDM，
∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，
∴∠BAN＝∠DCM，
在△ABN和△CDM中，
，
∴△ABN≌△CDM（ASA），
∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，
∴∠ANM＝∠CMN，
∴AN∥CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，故方案丙正确；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
10．（3分）如图1，Rt△ABC中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝2；利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE，得y的最大值为AE＝10；在Rt△ABE中，由勾股定理求出BE的长，再根据BC＝2BE求出BC的长．
【解答】解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝2．
利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．
∴y的最大值为AE，
∴AE＝10．
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝100，
设BE的长度为t，
则BA＝t+2，
∴（t+2）2+t2＝100，
即：t2+t﹣48＝0，
∴（t+8）（t﹣6）＝0，
由于t＞0，
∴t+8＞0，
∴t﹣6＝0，
∴t＝6．
∴BC＝2BE＝2t＝2×6＝12．
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出BE的长是解题的关键．
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）甲、乙两位同学个给出某个函数的一个特性甲：“当x＞0时，函数值y随x的增大而增大”；乙：函数图象经过点（0，1）”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式可以是 y＝x+1（答案不唯一） ．
【分析】根据甲、乙两位同学给出的函数特征可判断出该函数可以为一次函数，再利用一次函数的性质，可得出k＞0，b＝5，取k＝1即可得出结论．
【解答】解：∵当x＞0时，函数值y随自变量x增大而增大，且该函数图象经过点（0，1），
∴该函数可以为一次函数，
设一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），则k＞0，b＝1．
取k＝1，此时一次函数的表达式为y＝x+1．
故答案为：y＝x+1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
12．（3分）不等式组的解集是x≤﹣2 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式≤﹣1，得：x≤﹣2，
解不等式﹣x+7＞4，得：x＜3，
则不等式组的解集为x≤﹣2，
故答案为：x≤﹣2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．（3分）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 ．
【分析】画树状图，共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，即AC、CA，
∴抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是＝，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（3分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点O，A，B，D均在格点上，以O为圆心OA为半径的弧经过点B，以O为圆心，OD为半径的弧交OA于点E，OD的延长线交弧AB于点C，则图中阴影部分的面积为 π﹣2 .
【分析】根据S阴＝S扇形AOC﹣S扇形DOE+S扇形BOC﹣S△OBD求解即可．
【解答】解：根据题意得，∠AOC＝∠BOC＝45°，∠ODB＝90°，OD＝BD＝2，OA＝OC＝＝2，
∵S阴＝S扇形AOC﹣S扇形DOE+S扇形BOC﹣S△OBD，
∴S阴＝﹣+﹣×2×2＝π﹣2，
故答案为：．
【点评】此题考查了扇形面积的计算，熟记扇形面积公式是解题的关键．
15．（3分）在直角三角形纸片ABC中，BC＝3，AC＝4，∠C＝90°，分别在AC，AB边上取一点M，N，沿着MN把△AMN剪掉，剩下的四边形BCMN恰好是一个轴对称图形，则剪掉的△AMN的面积是 1.5或 ．
【分析】分两种情况，第一种情况，由勾股定理求出AB＝5，由轴对称的性质得到BN＝BC＝3，MN＝CM，令MN＝x，由勾股定理得到（4﹣x）2＝x2+22，求出x＝1.5，得到MN＝1.5，即可求出△AMN的面积＝AN•MN＝1.5；第二种情况，连接CN，过N作NK⊥AC于K，NL⊥BC于L，由角平分线的性质推出NK＝NL，由三角形的面积公式得到BC•AC＝AC•NK+BC•NL，即可求出NK＝，求出AM＝AC﹣MC＝4﹣3＝1，得到△AMN的面积＝AM•NK＝，于是得到剪掉的△AMN的面积是1.5或．
【解答】解：如图，四边形BCMN是轴对称图形，
∵BC＝3，AC＝4，∠C＝90°，
∴AB＝＝5，
∵四边形BCMN是轴对称图形，
∴BN＝BC＝3，MN＝CM，
∴AN＝5﹣3＝2，
令MN＝x，
∴AM＝AC﹣CM＝4﹣x，
∵AM2＝MN2+AN2，
∴（4﹣x）2＝x2+22，
∴x＝1.5，
∴MN＝1.5，
∴△AMN的面积＝AN•MN＝×2×1.5＝1.5；
如图，四边形BCMN是轴对称图形，
连接CN，过N作NK⊥AC于K，NL⊥BC于L，
∵四边形BCMN是轴对称图形，
∴CN平分∠ACB，CM＝BC＝3，
∴NK＝NL，
∵△ACB的面积＝△ACN的面积+△BCN的面积，
∴BC•AC＝AC•NK+BC•NL，
∴3×4＝4NK+3NK，
∴NK＝，
∵AM＝AC﹣MC＝4﹣3＝1，
∴△AMN的面积＝AM•NK＝×1×＝，
∴剪掉的△AMN的面积是1.5或．
故答案为：1.5或．
【点评】本题考查勾股定理，角平分线的性质，轴对称图形，三角形的面积，关键是要分两种情况讨论．
三.解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）计算：．
【分析】先根据负整数指数幂、立方根、零指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可．
【解答】解：
＝2﹣3+1
＝2+（﹣3）+1
＝﹣1+1
＝0．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17．（8分）根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“x＜60”记为1分，“60≤x＜70”记为2分，“70≤x＜80”记为3分，“80≤x＜90”记为4分，“90≤x≤100”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为 18 度；
②请补全第1小组得分条形统计图；
（2）a＝ 5 ，b＝ 3.5 ，c＝ 3 ；
（3）已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？
【分析】（1）①求出第2小组“得分为1分”的学生所占被调查20人的百分比，进而求出相应的圆心角的度数；
②求出样本中第一小组“得分为4分”的学生人数，即可补全条形统计图；
（2）根据中位数、众数、平均数的计算方法进行计算即可；
（3）求出三个小组60人中，“得分为5分”的学生所占的百分比，估计总体中“得分为5分”所占的百分比，根据频率＝进行计算即可．
【解答】解：（1）①360°×（1﹣30%﹣15%﹣10%﹣40%）
＝360°×5%
＝18°，
故答案为：18；
②第一小组中，得分为4分的人数为20﹣1﹣2﹣3﹣8＝6（人），补全条形统计图如下：
（2）第一小组学生得分出现次数最多的是5分，共出现8次，因此第一小组学生成绩的众数是5分，即a＝5，
第二小组20名学生成绩的平均数为＝3.5（分），即b＝3.5，
将第三小组20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝3（分），所以中位数是3分，即c＝3，
故答案为：5，3.5，3；
（3）4200×＝1260（名），
答：该校4200名学生中大约有1260名学生竞赛成绩不低于90分．
【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，扇形统计图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，掌握中位数、众数，平均数的计算方法，理解三个统计图中各个数量之间的关系是正确解答的关键．
18．（9分）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质．类比反比例函数的研究方法，过程如下：
（1）列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝ 4 ；
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，如图画出了部分图象，请你把图象补充完整；
（2）下列关于函数的说法，正确的有 ③④ ．
①函数图象分别位于一、三象限；②当x＜0时，y随x的增大而减小；
③函数图象关于y轴对称；④函数值始终大于0；
（3）已知直线y＝x+4与图象的交点坐标为 （2，6） ，则不等式的解集为 x＜0或0＜x＜2 ．
【分析】（1）m＝＝4，描点连线绘制函数图象即可；
（2）从函数图象看：①函数图象分别位于二、四象限，故①错误；②当x＜0时，y随x的增大而增大，故②错误；③函数图象关于y轴对称，故③正确；④函数值始终大于0，故④正确，即可求解；
（3）①绘制函数y＝x+4的图象，从图象看，交点坐标为（2，6）；②观察函数图象即可求解．
【解答】解：（1）m＝＝4，
描点连线绘制函数图象如下：
故答案为：4；
（2）从函数图象看：①函数图象分别位于二、四象限，故①错误；②当x＜0时，y随x的增大而增大，故②错误；
③函数图象关于y轴对称，故③正确；④函数值始终大于0，故④正确，
故答案为：③④；
（3）①绘制函数y＝x+4的图象，从图象看，交点坐标为（2，6）；
②从函数图象看，不等式的解集为x＜0或0＜x＜2，
故答案为：①（2，6）；②x＜0或0＜x＜2．
【点评】本题通过反比例函数的知识，考查学生的猜想探究能力，正确理解题意，作出函数图象是解题的关键．
19．（9分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．连接DE交AC于点F．
（1）试判断四边形ADCE的形状，并说明理由；
（2）试判断DF与AB的关系，并说明理由．
【分析】（1）由在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE＝90°，又由CE⊥AN，即可证得：四边形ADCE为矩形；
（2）四边形ADCE为矩形，可得AF＝CF，又由AD是BC边的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB，DF＝AB．
【解答】解：（1）四边形ADCE为矩形，
理由：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∴，，
∴，
在△ABC中，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC．
∴∠ADC＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°．
∴∠DAE＝∠ADC＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）DF∥AB，，
理由：
∵四边形ADCE是矩形，
∴AF＝CF，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD，
∴DF是△ABC的中位线，
即DF∥AB，．
【点评】此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
20．（9分）项目式学习
某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务．
项目主题：商品销售策略的制定
驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略．
任务一：市场调查
调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价x（元）和日销售量y（个）的情况，记录如表：
任务二：模型建立
（1）该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为 y＝150﹣2x ；
任务三：问题解决
（2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？
【分析】（1）由待定系数法求出一次函数关系式即可；
（2）根据该玩具店老板想要每天获得200元的利润，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）由题意可知，该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间为一次函数关系，
设该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝kx+b，
由题意得：，
解得：，
∴该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝150﹣2x，
故答案为：y＝150﹣2x；
（2）由题意得：（150﹣2x）（x﹣40）﹣300＝200，
整理得：x2﹣115x+3250＝0，
解得：x1＝65，x2＝50，
当x＝65时，150﹣2x＝20；
当x＝50时，150﹣2x＝50；
∵20＜50，且为了尽快减少库存，
∴x＝50．
答：该益智玩具的销售单价应定为50元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）由待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
21．（9分）如图在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D．
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，交AC于E（不写作法和证明，保留作图痕迹）
（2）求证：DE⊥AC；
（3）若AE＝6，FB＝4，求⊙O的半径．
【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）连接AD，利用直径所对的圆周角为直角的性质和等腰三角形的性质，得到OD为△BAC的中位线，则OD∥AC，再利用平行线的性质和圆的切线的性质定理解答即可；
（3）设⊙O的半径为r，利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】（1）解：1．以点D为圆心，任意长为半径画弧，交直线OD于点M，N，
2．分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点H，
3．过点D，H作直线EF，交AC于点E，交AB的延长线于点F，
则直线EF为过点D的⊙O的切线．
（2）证明：连接AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC，
∵OA＝OB，
∴OD为△BAC的中位线，
∴OD∥AC．
由（1）知：直线EF为过点D的⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
∴DE⊥AC．
（3）解：设⊙O的半径为r，则OD＝r，FO＝4+r，FA＝4+2r，
∵OD∥AC，
∴△FOD∽△FAE，
∴，
∴，
∴r＝﹣3（不合题意，舍去）或r＝4，
∴⊙O的半径为4．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的判定与性质，基本作图，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线，相似三角形的判定与性质，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
22．（10分）如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
【分析】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B（4，4），先设抛物线的顶点式y＝a（x﹣4）2+4，再根据图象过原点，求出a的值即可；
（2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y的值，然后和1.68比较即可．
【解答】解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，
结合函数图象可知，顶点B（4，4），点O（0，0），
设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，
将点O（0，0）代入函数表达式，
解得：a＝﹣，
∴二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+4，
即y＝﹣x2+2x（0≤x≤8）；
（2）工人不会碰到头，理由如下：
∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，
由题意得：工人距O点距离为0.4+×1.2＝1，
∴将x＝1代入y＝﹣x2+2x，
解得：y＝＝1.75
∵1.75m＞1.68m，
∴此时工人不会碰到头．
【点评】本题考查二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键．
23．（11分）如图①，在直角三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．
【数学活动】
将三角形纸片ABC进行以下操作：
①折叠三角形纸片ABC，使点C与点A重合，得到折痕DE，然后展开铺平；
②将△DEC绕点D顺时针方向旋转得到△DFG，点E，C的对应点分别是点F，G，直线GF与边AC交于点M（点M不与点A重合），与边AB交于点N．
【数学思考】
（1）折痕DE的长为 3 ；
（2）在△DEC绕点D旋转的过程中，试判断MF与ME的数量关系，并证明你的结论；
【数学探究】
（3）如图②，在△DEC绕点D旋转的过程中，当直线GF经过点B时，求AM的长；
【问题延伸】
（4）在△DEC绕点D旋转的过程中，连接AF，则AF的取值范围是 2≤AF≤8 ．
【分析】（1）根据中位线的性质求解即可；
（2）连接DM，证Rt△DMF≌Rt△DME即可得证；
（3）先证BM＝CM，再设未知数，在Rt△ABM中利用勾股定理建立方程即可；
（4）分别求出AD和DF，利用三角形三边关系即可得解．
【解答】解：（1）∵D是AB中点，点C和点A重合，
∴E是AC中点，
∴DE＝AB＝3．
故答案为：3；
（2）MF＝ME．证明如下：连接DM．
由旋转的性质，得DE＝DF，∠DFM＝∠DEC＝90°，
∴∠DEM＝180°﹣∠DEC＝90°，
∴∠DFM＝∠DEM．
在Rt△DMF和Rt△DME中，

∴Rt△DMF≌Rt△DME（HL）．
∴MF＝ME．
（3）由题易得DG＝DB＝DC，
∴∠DGB＝∠DBG．
由旋转的性质，得∠DGB＝∠C，
∴∠DBG＝∠C．
∴BM＝MC．
设BM＝MC＝x，则AM＝AC﹣MC＝8﹣x，
在Rt△ABM中，BM2＝AB2+AM2，
即x2＝62+（8﹣x）2，
解得．
∴AM＝AC﹣MC＝8﹣＝．
（4）如图，连接AD，
在Rt△ABC中，．
∵∠BAC＝90°，BD＝CD，
∴，
由题意得DF＝DE＝3．
当点F在AD上时，AF最小，此时AF＝AD﹣DF＝2；
当点F在AD的延长线上时，AF最大，此时AF＝AD+DF＝8．
∴2≤AF≤8．
故答案为：2≤AF≤8．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、直角三角形的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识点是解题的关键．平均数
中位数
众数
第1小组
3.9
4
a
第2小组
b
3.5
5
第3小组
3.25
c
3
x
…
﹣6
﹣4
﹣3
﹣2
2
3
4
6
…
y
…
2
3
m
6
6
4
3
2
…
玩具店
A
B
C
D
E
销售单价x/元
61
60
59
58
57
日销售量y/个
28
30
32
34
36
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
A
D
C
A
A
D
D
平均数
中位数
众数
第1小组
3.9
4
a
第2小组
b
3.5
5
第3小组
3.25
c
3
x
…
﹣6
﹣4
﹣3
﹣2
2
3
4
6
…
y
…
2
3
m
6
6
4
3
2
…
玩具店
A
B
C
D
E
销售单价x/元
61
60
59
58
57
日销售量y/个
28
30
32
34
36