河南省商丘市2024-2025学年九年级下学期第二次联考月考数学试卷（解析版）

这是一份河南省商丘市2024-2025学年九年级下学期第二次联考月考数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的)
1. 2的绝对值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】．故选A．
2. 天地正清明，最美四月天．2024年清明假期，河南省文化和旅游市场热度延续、高潮迭起．三天假期，河南省接待国内游客1906.9万人次，旅游总收入112.5亿元．与2023年同期相比，接待人次增长9.9%，旅游总收入增长20.6%．数据“112.5亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】数据亿用科学记数法可表示为：，故选：D．
3. 我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵 横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由几何体可得，从左边看到平面图形为，
故选：B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A.，运算错误，不符合题意；
B.， 运算错误，不符合题意；
C.运算正确，符合题意；
D.运算错误，不符合题意．
故选：C．
5. 关于x的方程有两个不相等的实数根，m的值可以是（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】∵关于的方程有两个不相等的实数根，
，解得：．
故的值可以为，
故选：A．
6. 如图，点A是中优弧的中点，，C为劣弧上一点，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵点A是中优弧的中点，
∴
∴，
∴，
又∵C为劣弧上一点，
∴，故选：D．
7. 中国古代“四大发明”有造纸术、指南针、火药和活字印刷术．小明购买了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，他将卡片背面朝上放在桌面上（纪念卡片背面完全相同），小亮从中随机抽取两张，则他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】将造纸术、指南针、火药和活字印刷术四张纪念卡片分别记为，，，，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，
其中他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的结果有：，，共种，
∴他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率为，
故选：C．
8. 如图①，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图②，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，已知，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
9. 如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点 P，Q 都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则的长度为（ ）
A 7B. 8C. 9D. 10
【答案】B
【解析】分别作出两条抛物线的对称轴，交于点M，N，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
故选B．
10. 如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止，设点的运动路程为，线段的长度为，的高，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当点运动到点处时，，∴，
当点运动到点处时，，∴，
过点作于点，如图，
当点运动到点处时，最短，
由等面积得：，∴，
∴点的纵坐标为，
在中，，
∴，∴点的横坐标为，
∴点坐标，
故选：D．
二 、填空题(每小题3分，共15分)
11. 写出一个大小在和之间的整数是_________．
【答案】2（答案不唯一）
【解析】∵，，
∴符合题意的整数满足，，
故答案为：2．
12. 某校为了解九年级1000名学生一分钟跳绳的情况，随机抽取50名学生进行一分钟跳绳测试，获得了他们跳绳的数据（单位：个），数据整理如下：
根据以上数据，估计九年级1000名学生中跳绳的个数不低于175个的人数为________人．
【答案】600
【解析】由题意得：（人），
即估计九年级1000名学生中跳绳的个数不低于175个的人数为600人．
13. 不等式组的解集_________．
【答案】
【解析】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
14. 如图，在中，，点O在边上，，以点O为圆心，长为半径作半圆，恰好与相切于点D，交于点E，则阴影部分的面积为_______.
【答案】
【解析】连接，作于点H，如图，
∴，
∵，∴，∴，
∵与与相切于点D，∴，∴，∴，
∴阴影部分的面积==，
故答案为：．
15. 在中，将边绕点A旋转，点C对应点是点D，连接．当是等腰直角三角形时，的长为_________．
【答案】或
【解析】当，且点在上方时，如图所示，
过点作的垂线，垂足为，
∵，且，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
在中，．
当，且点在下方时，如图所示，
过点作的垂线，垂足为，
∵，且，
∴四边形是正方形，
∴，∴．
在中，
综上所述：的长为或．
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16. （1）计算：；
（2）化简：．
解：（1）原式；
（2）原式．
17. 某校所在城市中学段跳远成绩达到就很可能夺冠，该市跳远记录为．该校要从甲、乙两名运动员中挑出一人参加全市中学生跳远比赛．李老师记录了二人在最近的10次选拔赛中的成绩（单位：cm），并进行整理、描述和分析．
a．甲、乙二人最近10次选拔赛成绩：
甲：585，596，610，598，612，597，604，600，613，601；
乙：613，618，580，574，618，593，585，590，598，624．
b．甲、乙两人最近10次选拔赛成绩的统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）分析这两名运动员的成绩各有什么特点？
（2）你认为李老师会让谁去参加比赛？请说明理由．
解：（1）根据甲的平均数高于乙的平均数，甲的方差小于乙的方差，
所以甲平均成绩高且比乙的成绩稳定；
（2）甲10次成绩中有9次成绩达到，而乙10次成绩中只有5次达到，而且甲的成绩稳定，
应该选择甲参加比赛．
18. 如图，直线和相交，交点分别为．

（1）请用无刻度的直尺和圆规过点作直线l的垂线（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）点是外一点，分别连接交于点，连接．（1）中所作垂线和交于点，若，且，求的度数．
解：（1）如图，直线即为所求

（2）如图，连接，由（1）知，

对应的是
19. 如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角．
（1）请仅就图2的情形证明．
（2）经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）．
（1）证明：如图，连接．
则．
∵，∴．
（2）解：在中，，．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，∴．
∴．
答：塑像的高约为．
20. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点．
（1）求k，m的值；
（2）已知点P为直线在第一象限上的一个动点，且点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，当时，求a的值；
（3）观察图象，直接写出当时，a的取值范围．
解：（1）∵点在直线上，∴，∴，
∵在反比例函数图象上，∴，∴．
（2）由（1）可知，反比例函数解析式为，
设点P坐标为，则，∴，∴，
解得：或（舍去）或或（舍去），∴或，
（3）由图象可知，当时，或．
21. 2024年植树节来临之际，某学校计划采购一批树苗，参加“保护黄河，远离雾霾” 植树节活动． 已知每棵甲种树苗比每棵乙种树苗贵10元，用400元购买甲种树苗的棵数恰好与用300元购买乙种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）学校决定购买甲、乙两种树苗共100棵，实际购买时，甲种树苗的售价打九折，乙种树苗的售价不变．学校用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，最多可购买多少棵甲种树苗？
解：（1）设乙种树苗每棵元，则甲种树苗每棵元，
根据题意得，解得，
经检验，是原方程的解，
，
答：每棵甲种树苗40元，每棵乙种树苗30元；
（2）设可购买棵甲种树苗，根据题意得，解得，
根据实际意义，取正整数，则最大取33，
答：学校最多可购买棵甲种树苗33棵．
22. “急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系
某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为，第二次训练落入沙坑点的水平距离为，请比较，的大小．
解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为：．
∴该运动员竖直高度的最大值为米．
设函数关系式为：．
∵经过点，∴，解得：．
∴函数解析式为：．
（2）取．
第一次训练时，．
解得：(不合题意，舍去)，．∴．
第二次训练时，．
解得：(不合题意，舍去)，．，
，．
23. 综合与实践课上，老师让同学们用“木工尺”探究三等分任意角 的方法．如图1为“木工尺”示意图，它是由两条宽度相同且互相垂直的直尺组成的，其中．下面是同学们的探究过程，请仔细阅读，并完成相应的任务，
【操作实践】
如图2，小明画的平行线，使得与的距离等于尺宽，在上取点E，使等于尺宽，调整“木工尺”的位置，使得经过点O，点D落在上，点E落在上， 则 三等分
小明过点 D 作，垂足为点 F，
由题意得：，
∴（ ）．
∵ ，
∴垂直平分，
∴，
∴平分（ ），
∴．
∴．
∴三等分．
任务：（1）请在括号内填写推理的依据．
【类比迁移】
爱动脑筋的小华受到上述方法的启发，想到了通过折叠矩形纸片三等分一个已知角的方法，他的前两个操作步骤如下 （如图 3）：
步骤 1：在矩形纸片 上折出任意角，将矩形对折， 折痕记为， 再将矩形对折， 折痕记为， 展开矩形；
步骤 2：将矩形 沿着 折叠， 使得点 B 的对应点落在 上， 点 M 的对应点 落在上．
任务：（2）连接， 试证明是的一条三等分线．
【拓展应用】（3）在上述小华折叠的条件下，若 ，且 三点共线，请直接写出的长．
解：（1）根据到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上；根据垂直平分线的性质．
故答案为：到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上；垂直平分线的性质
（2）连接，过点B作于点J，过点作于点K，
根据折叠的性质，得，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
故是的一条三等分线．
（3）过点作于点T，
根据(2)证明，得到，
∵，且 三点共线，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴， ，
∴．跳绳的个数/个
人数/人
2
5
13
24
6
平均数
中位数
方差
达到的次数
达到的次数
甲运动员成绩
601.6
600.5
65.84
9
3
乙运动员成绩
599.3
595.5
284.21
5
4
水平距离
0
2
3
4
竖直高度
0