湖北省武汉市重点中学5G联合体2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份湖北省武汉市重点中学5G联合体2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知某质点位移与时间满足函数f(t)=2t2+12，则质点在t=1时的瞬时速度为( )
A. 2B. 2.5C. 4D. 4.5
2.数列an满足an+an+2=2an+1(n∈N∗)，且a1+a2+a3=9，a4=7，则a5=( )
A. 212B. 9C. 172D. 7
3.参加实践活动的2名教师和A，B，C，D，4名志愿者站成一排合影留念，其中教师不站在两端且不相邻，且A、B相邻的方法有( )种．
A. 20B. 12C. 36D. 24
4.已知函数f(x)=f′(π4)cs2x+3sinx，则f′(π3)=( )
A. − 62+32B. −3 22+32C. −3 62+32D. 3 22−32
5.已知某家族有A、B两种遗传性状，该家族某位成员出现A性状的概率为215，出现B性状的概率为415，A、B两种遗传性状都不出现的概率为710.则该成员在出现A性状的条件下，出现B性状的概率为( )
A. 14B. 38C. 12D. 34
6.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，a2a4=9，9S4=10S2，则a2+a4的值为( )
A. 30B. 10C. 9D. 6
7.在送教下乡活动中，某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五名老师到3所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师，且甲、乙、丙三名老师不同时安排在同一学校，则不同的分配方法总数为( )
A. 36B. 72C. 144D. 108
8.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，且对任意实数x都有f′(x)−f(x)=ex(2x+1)，f(0)=2，则不等式f(x)1，不等式ex−(a+1)x+lnx+lna≥0恒成立，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=ax2−(a+2)x+lnx，其中a∈R．
(1)若f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x−2y+1=0垂直，求a的值；
(2)当a=12时，求函数y=f(x)在区间[1,e]上的最值．
16.(本小题15分)
已知An5=56Cn7，且(1−2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn．
(1)求a1+2a2+3a3+…+nan 的值；
(2)若x=−1时，求(1−2x)n被4整除的余数．
17.(本小题15分)
已知数列{an}的首项a1=35，且满足an+1=3an2an+1．
(1)求证：数列{1an−1}为等比数列；
(2)求数列{n2(1an−1)}的前n项和Sn．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnx−ax−2，a∈R，e是自然对数的底数．
(1)当a=1时，求函数y=f(x)的极值；
(2)若关于x的方程f(x)+2=0有两个不等实根，求a的取值范围；
(3)当a=1e时，若x1，x2(其中x12e．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ln2(x+1)−x21+x，
(1)求f′(0)的值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)若不等式(1+1n)n+a≤e对任意n∈N∗都成立(其中e是自然对数的底数)，求实数a的取值范围．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：因为函数f(t)=2t2+12，
所以f′(t)=4t，
所以质点在t=1时的瞬时速度为f′(1)=4．
故选：C．
根据导数的实际意义求解．
本题主要考查导数的实际意义，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：根据题意，数列an满足an+an+2=2an+1(n∈N∗)，
则数列{an}是等差数列，设其公差为d，
若a1+a2+a3=9，则3a2=9，即a2=3，
又由a4=7，则d=a4−a22=7−32=2，
故a5=a4+d=9．
故选：B．
根据题意，由等差数列的定义可得数列{an}是等差数列，设其公差为d，分析求出d的值，进而计算可得答案．
本题考查等差数列的性质和应用，涉及等差中项的性质，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：将A、B捆绑当作一个整体，然后将志愿者全排，
有A22A33=12种排法，
然后将2名教师插入志愿者之间的2个空中，
有A22=2种排法，
则教师不站在两端且不相邻，且A、B相邻的方法有12×2=24种．
故选：D．
由分步乘法计数原理，结合捆绑法及插空法求解即可．
本题考查了分步乘法计数原理，重点考查了插空法，属基础题．
4.【答案】A
【解析】解：f′(x)=−2f′(π4)sin2x+3csx，
∴f′(π4)=−2f′(π4)+3 22，解得f′(π4)= 22，
∴f′(x)=− 2sin2x+3csx，
∴f′(π3)=− 2× 32+3×12=− 62+32．
故选：A．
根据基本初等函数和复合函数的求导公式可得出：f′(x)=−2f′(π4)sin2x+3csx，然后可求出f′(π4)的值，进而可得解．
本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：设事件E表示“该家族某位成员出现A性状”，事件F表示“该家族某位成员出现B性状”，
则P(E)=215，P(F)=415，P(E−∩F−)=710，
则P(E∪F)=1−P(E−∩F−)=1−710=310，
又因为P(E∪F)=P(E)+P(F)−P(EF)，
所以P(EF)=P(E)+P(F)−P(E∪F)=215+415−310=110，
所以P(F|E)=P(EF)P(E)=110215=34．
故选：D．
利用条件概率公式求解．
本题主要考查了条件概率公式的应用，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，则q>0，且q≠1，
∵a2a4=9，∴a32=9，
又∵an>0，∴a3=3，
∴a1q2=39⋅a1(1−q4)1−q=10⋅a1(1−q2)1−q，解得a1=27q=13，
∴a2+a4=a1q+a1q3=10．
故选：B．
设等比数列{an}的公比为q，则q>0，由等比数列的性质可得a3=3，结合9S4=10S2，列出关于a1和q的方程组，求出a1和q的值，进而求出a2+a4的值．
本题主要考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五名老师到3所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师，
则可将5人分为1，2，2或1，1，3三组，共有(C52C32A22+C53)=25种，
则分到三个学校，共有25×A33=150种，
若3人分到同一学校，共有A33=6种，
则甲、乙、丙三名老师不同时安排在同一学校的方法总数为150−6=144种．
故选：C．
根据题意先计算所有的排列，再计算三人分到同一学校的情况，从而可解．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：因为f′(x)−f(x)=ex(2x+1)，
所以f′(x)−f(x)ex=2x+1，
即[f(x)ex]′=2x+1，
则f(x)=ex(x2+x+c)，
因为f(0)=c=2，
所以f(x)=ex(x2+x+2)，
则不等式f(x)1，
则f′(x)=1−1x=x−1x>0在(1,+∞)上恒成立，
所以f(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以ex−lnex≥ax−lnax⇔f(ex)≥f(ax)⇔ex≥ax⇔a≤exx，
令g(x)=exx，x>1，
则g′(x)=ex(x−1)x2，当x>1时，g′(x)>0，所以g(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以g(x)>g(1)=e，
所以a≤e，又a>1，所以11，利用导数判断f(x)在(1,+∞)上单调递增，从而不等式转化为ex≥ax，参变量分离可得a≤exx，令g(x)=exx，x>1，利用导数求出g(x)的范围，即可求解a的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】−1；
最小值为ln2−3，最大值为−2．
【解析】解：(1)f(x)=ax2−(a+2)x+lnx的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=2ax−(a+2)+1x，
所以f′(1)=2a−(a+2)+1=a−1，
直线x−2y+1=0的斜率为12，
又f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x−2y+1=0垂直，
所以f′(1)=−2，即a−1=−2，解得a=−1．
(2)a=12时，f(x)=12x2−52x+lnx，
所以f′(x)=x−52+1x=2x2−5x+22x=(2x−1)(x−2)2x，
又x∈[1,e]，
所以f(x)在(1,2)单调递减，在(2,e)单调递增，
所以f(x)min=f(2)=ln2−3，
又f(1)=−2，
f(e)=12e2−52e+1，
所以f(e)−f(1)=12e2−52e+3=e2+6−5e2=(e−2)(e−3)2