湖北省武汉市重点中学5G联合体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份湖北省武汉市重点中学5G联合体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】A
【解析】斜率为0，则倾斜角为0.
故选：A.
2.已知空间向量，且，则（ ）
A. 10B. 6C. 4D.
【答案】C
【解析】因为，所以,即，则.
故选：C.
3. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A.
4. 已知向量，，向量在向量上的投影向量为 （ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知，，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：A.
5. 如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，
则，
则与所成的角的余弦值为
.
故选：D.
6. 已知椭圆的左、右焦点分别为是上的任意一点，则错误的是（ ）
A. 的离心率为B.
C. 的最大值为D. 使为直角的点有2个
【答案】D
【解析】，则.
AB选项，，故A正确；，故B正确；
C选项，由题可知，，设Px,y，
则，
由题可得，则，故C错误；
D选项，因为直角，则P在以原点为圆心，半焦距为半径的圆上，
则，与联立，可得.
则满足条件的点P为，
共4个，故D错误.
故选：D.
7. 已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为，平均数为；去掉的两个数据的方差为，平均数为；原样本数据的方差为，平均数为，若，则下列选项错误的是（ ）
A.
B. 剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变
C.
D. 剩下18个数据的22%分位数大于原样本数据的22%分位数
【答案】D
【解析】设20个样本数据从小到大排列分别为，则剩下的18个样本数据为，
对于A，依题意，，，，
由，得，
即，
于是，因此，
即，A正确；
对于B，原样本数据的中位数为，剩下的18个样本数据的中位数为，B正确；
对于C，因为，则，，，
于是，，
因此，
即，C正确；
对于D，因为，则剩下18个数据的分位数为，
又，则原样本数据的分位数为，D错误.
故选：D.
8. 已知P为棱长为1的正方体的内切球表面一动点，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】如图以A为原点，分别为x，y，z轴建系，
则，
则，又，
则.
表示在方向上的投影向量的长度.
如图当P在G或F时，即当A，O，P共线时，取最值.
因，内切球半径为.则,
则，则.
故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 已知事件A，B满足，，则（ ）
A. 若，则
B. 若A与B互斥，则
C. 若P(AB)=0.1，则A与B相互独立
D. 若A与B相互独立，则
【答案】BC
【解析】对于A，由，得，A错误；
对于B，由A与B互斥，得，B正确；
对于C，由，得，
则A与B相互独立，C正确；
对于D，由A与B相互独立，得相互独立，
则，D错误.
故选：BC.
10.如图，在边长为1的正方体中，点为线段的中点，点为线段的中点，则（ ）
A. 点到直线的距离为
B. 直线到直线的距离为
C. 点到平面的距离为
D. 直线到平面的距离为
【答案】ABD
【解析】】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，A1,0,0．
因为，，．
设，所以，
所以点到直线的距离为，故A正确．
因为，，所以，
所以，所以点到直线的距离即为直线到直线的距离．
，．
设，所以，
所以直线到直线的距离为，故B正确．
设平面的一个法向量，
又，，所以
取，则，，所以，
所以．
又，所以点到平面的距离为，故C错误．
因为，平面，所以平面，
所以到平面的距离即为点到平面的距离．
又平面的单位法向量，，
所以直线到平面的距离为，故D正确．
故选：ABD.
11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ）
A. 曲线围成的图形有条对称轴
B. 曲线围成的图形的周长是
C. 若是曲线上任意一点，的最小值是
D. 曲线上的任意两点间的距离不超过
【答案】BCD
【解析】当，时，曲线方程可化为，
即，是以为圆心，为半径的圆在第一象限的半圆，
同理可作出其他象限内的图象，且在曲线上，如图所示，

A选项：曲线围成的图形有条对称轴，分别是直线，，，，A错误；
B选项：曲线围成的图形的周长为，B正确；
C选项：到直线的距离为，
且点到直线的距离为，
由圆的性质，曲线上任意一点到直线的距离最小值为，
即，
所以的最小值是，C正确；
D选项：综上，易知曲线上任意两点间的距离最大值为，D正确；
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 同时抛掷两颗质地均匀骰子，则两颗骰子出现的点数之和为4的概率为______；
【答案】
【解析】同时抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件共有个；
设两枚骰子点数之和为4为事件，则事件包含：，，共3个基本事件，所以.
13. 过点且与圆：相切的直线方程为________
【答案】或
【解析】圆：即，圆心为，半径，
当切线的斜率不存在时，直线恰好与圆相切；
当切线的斜率存在时，设切线为，即，
则，解得，所求切线方程为，
综上可得过点与圆相切的直线方程为或.
14. 已知四棱锥的底面是平行四边形ABCD，过棱PC的中点和点作一平面，分别交棱PB和PD于点和.
①设，则______.（用向量表示）
②记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则的取值范围是______.
【答案】① ②
【解析】根据题意，底面是平行四边形ABCD，
所以，即得，
如图所示，设，
，又A，M，E，F四点共面，不共面，
，
设，
则
，
由，求得，
当时，取得最小值为，此时，当，或时，
即当或时取得最大值为，
故答案为：

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是0.6．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．用Y表示答对题目，用N表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么
（1）树状图中填写样本点，并写出样本空间；
（2）求李明第二次答题通过面试的概率；
（3）求李明最终通过面试的概率．
解：（1）根据题意，可得树状图及样本点，如图所示，
其样本空间为.
（2）由题意知，，
所以第二次答题通过面试的概率.
（3）由题意，李明未通过的概率为，
所以李明通过面试的概率为.
16. 为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），使居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中.
（1）求直方图中a，b的值；
（2）由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；
（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.
解：（1）由频率分布直方图可得
，
又，则，.
（2）该市居民用水的平均数估计为：
（吨）.
（3）因的频率为，
的频率为，
故的估计值为（吨）．
所以有的居民每月的用水量不超过标准（吨）．
17. 已知中，；
（1）求边AB的中线所在直线的方程；
（2）求经过A，B，C三点的圆的标准方程；
（3）已知圆与（2）中圆相交于，求直线AB的方程，并求AB.
解：（1）AB中点为，所以其中线方程为.
（2），直线AB的中垂线方程为，
同理直线BC的中垂线方程为，
，解得，
即，
所以所求圆标准方程为.
（3）由题意，圆与的方程相减，得，
直线AB的距离为，
所以.
18. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的大小；
（3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
（1）证明：因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又平面，
所以平面，平面，所以，
又已知，且都在面内，所以平面；
（2）解：由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
不妨令，则，，.
设与平面所成角大小为，
则有，
设为与平面所成角，故，
即与平面所成角的大小为；
（3）解：假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为.
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，，
设平面的法向量为，则有，
即，
不妨令，则，，所以，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
若平面与平面成角余弦值为.
则满足，
化简得，解得或，即或，
故在线段上存在这样点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或.
19. 有一个半径为4的圆形纸片，设纸片上一定点到纸片圆心的距离为，将纸片折叠，使圆周上一点M与点F重合，以点F，E所在的直线为x轴，线段EF中点为原点O，建立平面直角坐标系．
（1）记折痕与ME的交点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程．
（2）若直线与曲线C交于A，B两点．
（ⅰ）当k为何值时，为常数d，并求出d的值．
（ⅱ）以A，B为切点，作曲线C的两条切线，设其交点为Q，当时，证明：
解：（1）由题意可知，，
所以P点轨迹是以F，E为焦点，4为长轴长的椭圆，
即，，所以，
所以曲线C的方程，即椭圆方程为．

（2）（ⅰ）由消元得，，
由，得，
设，，则，，
所以
，
当为常数d时，即与无关，
令，得，此时恒成立，
即当时，．
（ii）证明：设，则
当两切线中有一条切线斜率不存在时，即与x轴垂直时，切线方程为，
即，得，
所以另一条切线方程为，即与x轴平行，
显然，两切线垂直，即．
当斜率存在时，，设切线方程为，
由，
消去y，得，
由，
化简得．
设两条切线的斜率分别为，，
因为，所以，
所以两条切线相互垂直，即．
综上，．