湖北省武汉市重点中学5G联合体2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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命题学校：武汉市第十九中学
考试时间：2025 年 6 月 27 日 试卷满分：150 分
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，集合 ，则集合 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据交集的定义求解即可.
【详解】根据交集的概念，可得： .
故选：A
2. 已知随机变量 的分布列为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
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【分析】根据互斥事件的概率加法公式，可得答案.
【详解】由题意可得 .
故选：C.
3. “函数 在 上为增函数”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数的单调性及充分必要条件的定义判断即可.
【详解】函数 在 上为增函数，
等价于 ，即 ，
所以“函数 在 上为增函数”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 随机变量 的分布列为 ，若 ，则 （ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据期望公式和分布列性质列方程组求出 ，然后由方差公式可得.
【详解】由题知， ，解得 ，
所以 .
故选：B
5. 已知某商店 月份月利润 （单位：万元）关于其对应的月份代码 （ 月份的月份代码依次为
）的经验回归方程为 ，且 ，则 （ ）
A. 3.6 B. 1.5 C. 1.4 D. 1.8
【答案】B
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【解析】
【分析】根据经验回归直线经过样本点中心可得结果.
【详解】由题意得 ，
因为 ，所以该经验回归直线经过样本点中心 .
由 ，得 .
故选：B.
6. 高二某班为了准备校园樱花文化节活动的展示牌，计划用 5 种不同颜色的笔书写图中 A、B、C、D 四个
区域的文字，规定每个区域只用一种颜色的笔书写文字，相邻区域书写的文字颜色不同，则不同的书写方
法数为（ ）
A. 120 B. 160
C. 180 D. 240
【答案】C
【解析】
【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域书写的文字颜色不同，可分步进行，区域 A 有 5 种
涂法，B 有 4 种涂法，讨论 C，A 同色和异色，根据乘法原理可得结论．
【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色的笔书写文字，相邻的区域书写的文字颜色不同，可分
步进行，
区域 A 有 5 种涂法，B 有 4 种涂法，
C，A 不同色，C 有 3 种，D 有 2 种涂法，有 5×4×3×2=120 种，
C，A 同色，D 有 3 种涂法，有 5×4×3=60 种，
∴共有 180 种不同的涂色方案 .
故选：C.
7. 设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，若 ，则下列错误的是（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对立事件概率之间的关系判断 A 的真假；根据条件概率计算公式判断 B 的真假；根据
判断 C 的真假；根据概率加法公式判断 D 的真假.
【详解】对 A：因为 ，故 A 正确；
对 B：因为 ，故 B 正确；
对 C：因为 ，故 C 正确；
对 D：因为 ，故 D 错误.
故选：D
8. 已知正实数 满足 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对 分 和 两种情况讨论，当 时， ，当 时， ；由此
可以直接判断 AB 选项，取特殊值排除 C 选项，对 D 选项，由 得 ，
再分 和 两种情况证明.
【详解】A 选项，当 时， ，此时 即 ，
当 时， ，此时 即 ，所以 A 错误；
B 选项，当 时， ， 成立，
当 时， ， ，所以 B 错误；
C 选项，当 时，取 ，此时 ，不满足 ，
当 时，取 ，此时 ，不满足 ，故 C 错误；
D 选项， 等价于 ，
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当 时， ， ，此时 ，
当 时， ， ，此时 ，D 正确；
故选：D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 利用 进行独立性检验时， 的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立
B. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好
C. 样本相关系数 的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当 越接近 1 时，成对样本
数据的线性相关程度越弱
D. 用决定系数 来比较两个模型 拟合效果， 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
【答案】BD
【解析】
【分析】应用线性相关系数、残差图与独立性检验的知识，决定系数一一检验即可.
【详解】利用 进行独立性检验时， 的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关，因此 A 错
误；
在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，因此 B 正确；
线性相关系数 的范围在 到 之间，有正有负，相关有正相关和负相关，
相关系数的绝对值的大小越接近于 1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，因此 C 选项
错误；
用决定系数 来比较两个模型的拟合效果， 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，D 选
项正确；
故选：BD.
10. 已知函数 及其导数 ，若存在 ，使得 ，则称 是 的一个“巧
值点”，下列函数中，有“巧值点”的是（ ）
A. B.
C. D.
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【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意利用“巧值点”的定义及方程解的情况判断即可.
【详解】对于 A， ，由 ，则 ，
所以 有 1 个“巧值点”，故 A 正确；
对于 B， ，由 ，则 ，
所以 有 1 个“巧值点”，故 B 正确；
对于 C， ，由 得 ，而该方程无解，故 C 错误；
对于 D， ，由 得 ，
即 ，显然方程 有无数个解，
所以函数 有无数个“巧值点”，故 D 正确.
故选：ABD
11. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外
两个人中的任何一人，下列说法正确的是（ ）
A. 2 次传球后球在甲手上的概率是
B. 3 次传球后球在丙手上的概率是
C. 2026 次传球后球在甲手上的概率小于
D. 次传球后球在乙手上的概率是
【答案】AD
【解析】
【分析】列举出经 2 次、3 次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算作答可判断 AB；设 次传球后
球在甲手上的概率为 ，则 ，再构造等比数列可求出 ，将 代入计算可判断 C；
同理可求得 n 次传球后球在乙手上的概率 ，即可判断 D.
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【详解】第一次甲将球传出后，2 次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共 4 个结果，
它们等可能，
2 次传球后球在甲手中的事件有：甲乙甲，甲丙甲，2 个结果，所以概率是 ，故 A 正确；
第一次甲将球传出后，3 次传球后的所有结果为：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，
甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共 8 个结果，它们等可能，
3 次传球后球在丙手中的事件有：甲乙甲丙，甲丙甲丙，甲丙乙丙，3 个结果，所以概率为 ，故 B 错误；
设 次传球后球在甲手上的概率为 ，则 ，即 ，
而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即 ，则 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，则 ，
故 ，当 时， ，故 C 错误；
同理，设 次传球后球在乙手上的概率为 ，则 ，即 ，
由题意， ，则 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，则 ，
故 ，故 D 正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 若 ，则 __________.
【答案】7
【解析】
【分析】结合排列组合公式解方程即可.
【详解】由 ， ，
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则 ，解得 .
故答案为：7.
13. 某次数学考试中，学生成绩 X 服从正态分布 ．若 ，则从参加这次考试
的学生中任意选取 3 名学生，恰有 2 名学生的成绩高于 125 的概率是 ________________ ．
【答案】
【解析】
【分析】先利用正态分布曲线的对称性求出 ，再利用独立事件的概率乘法公式求解．
【详解】因为学生成绩 X 服从正态分布 ，且 ，
所以 ，
所以从参加这次考试的学生中任意选取 3 名学生，恰有 2 名学生的成绩高于 125 的概率是
．
故答案为： ．
14. 若存在 ，使得 成立，则实数 的最小值为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据指对同构，令 ，不等式转化为 ，再求 的最小值
即可.
【详解】由题知 ，令 ，即 ，
因为存在 ，使得 成立，
所以 ，令 ，
，
所以 在 上单调递减，在 单调递增，
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所以 ，即 ， ，
所以实数 的最小值 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 2025 年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，某电影院为了解民众观影的喜欢程度，
随机采访了 90 名观影人员，得到下表：
是否喜欢 合 是否成年
计
不喜欢 喜欢
未成年人 40 50
成年人 10 40
合计 90
（1）求 的值；
（2）依据小概率值 的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》和是否成年有关？
参考公式：
0.1 0.05 0 01
2.706 3.841 6.635
【答案】（1）
（2）可以认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》和是否成年无关
【解析】
【分析】（1）根据 的列联表中的数据，列出算式，即可求解；
（2）根据 的列联表中的数据，求得 ，结合附表，即可得到答案.
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【小问 1 详解】
解：由 的列联表，可得 ，可得 ，
又由 ，
所以 .
【小问 2 详解】
解：零假设为 ：喜欢电影《哪吒之魔童闹海》和 否成年无关．
根据 列联表中数据，可得
根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，
所以可以认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》和是否成年无关．
16. 已知 ，其中 ．且 展开式
中仅有第 5 项的二项式系数最大．
（1）求 （用数值作答）；
（2）若 ，求二项式的值被 7 除的余数．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）依题意可求得 ，再利用赋值法计算可得结果；
（2）易知当 时，二项式为 ，再由二项展开式可得项式的值被 7 除的余数为 1.
【小问 1 详解】
根据二项式系数性质可知第 5 项的二项式系数为 ，
因此可知 ，
令 ，可得 ；
令 ，可得 ，
即 ；
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【小问 2 详解】
若 ，则二项式为：
；
因此二项式的值被 7 除的余数为 1.
17. 设矩形 的周长为 ，其中 ，现将 沿 向 折叠至
的位置，折过去后 交 于点 ．
（1）设 ，求 关于 的函数 的解析式及其定义域；
（2）求 面积的最大值及相应 的值．
【答案】（1） 定义域为 ；
（2） 的面积有最大值 ，此时 cm.
【解析】
【分析】（1）根据题意， ，利用三角形全等以及勾股定理建立等量关系，即可得函数解析式及
定义域；
（2）表达出 的面积，结合基本不等式求最值即可.
【小问 1 详解】
因为矩形 的周长为 ， ，则 ，
又 ，即 ，又 ， ，
易知 ≌ ，所以 ，
在 中，根据勾股定理得 ，即 ，
整理得 ，
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故 ，定义域为 .
【小问 2 详解】
由题意，
，当且仅当 时，等号成立.
所以，当 时， 的面积有最大值 ．
18. 某车间有 3 台大型机床，一个月内每台机床至多发生 1 次故障且每台机床是否发生故障相互独立，每台
机床发生故障的概率为 ，发生故障时需 1 名工人进行维修．
（1）若发生故障的车床数为 ，求 的分布列；
（2）车间至少安排多少名工人，才能保证每台机床在任何时刻同时出现故障时能及时维修的概率不低于
？
（3）已知每名工人每月的工资为 1 万元，且 1 名工人每月至多只能维修 1 台机床，每台机床不发生故障或
发生故障能及时维修，就能为该车间产生 5 万元的利润，否则将不产生利润．若该车间现有 1 名工人，求
该车间每月获利的均值．
【答案】（1）答案见解析
（2）2 名 （3） 万元
【解析】
【分析】（1）依据独立重复试验及二项分布求得概率，进而得到分布列；
（2）利用（1）得到分别有 名工人时机床同时出故障能及时维修的概率，从而得到要使得该概率不
低于 ，需要的工人人数；
（3）利用（1）得到有 名工人时不发生故障或发生故障能及时维修的机床数，即得到产生的利润的分布列，
从而得到每月获得利润的均值.
【小问 1 详解】
可能取 ，且
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所以 ， ， ，
故 的分布列为：
0 1 2 3
【小问 2 详解】
设车间有 名工人，能同时维修机床的台数为 台，
故当机床发生故障，需要维修的台数 时，机床均能正常工作，
其概率如下表所示，
0 1 2 3
1
又 ，
所以至少要 2 名工人，才能保证所有机床不发生故障或发生故障后能及时维修的概率不少于 .
【小问 3 详解】
设该车间每月能获利 Y 万元，则 Y 的取值可能为 14，9，4，
，
， ，
所以 Y 的分布列为：
14 9 4
则 （万元）
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故该车间每月获利的均值为 万元．
19. 已知函数
（1）求函数 在点 处 切线方程；
（2）已知函数 ，求函数 的极值；
（3）函数 的图像上存在多少组关于点 M 对称的点？说明你的结论和理由．
【答案】（1）
（2） ，
（3）存在唯一的一组点，理由见解析
【解析】
【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式方程求解即可.
（2）求出导函数，求出函数的单调区间，然后利用极值的概念求解即可.
（3）结合导函数与单调性的关系，根据零点存在定理即可求解.
【小问 1 详解】
由题意： ， ， ，
所以函数 在点 处的切线方程为 .
【小问 2 详解】
，则 .
令 得 或 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
．
【小问 3 详解】
存在唯一的点对关于 对称，证明如下：
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假设存在，不妨设 ，
于是 ，即 ，也即 ，
设 ，则 ，显然 ，
即存在 ，使得， ，令 ，则 ，
在 上单调递减，即 在 上单调递减，
时， ， 在 上单调递增，
时， ， 在 上单调递减，
又
，
故存在唯一的实数 使得 ，
即存在唯一的一组点对 A，B 满足题意.
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