湖北省武汉市重点中学5G联合体2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份湖北省武汉市重点中学5G联合体2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 下列求导运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知某质点位移与时间满足函数，则质点在时的瞬时速度为（ ）
A. 2B. 2.5C. 4D. 4.5
【答案】C
【解析】函数，求导得，
所以质点在时的瞬时速度为.
故选：C
2.数列满足（）,且，,则（ ）
A. B. 9C. D. 7
【答案】B
【解析】因为 ，所以等差数列，设公差为，
所以，即得，
所以，所以，
则.
故选：B.
3. 参加实践活动的2名教师和A，B，C，D，4名志愿者站成一排合影留念，其中教师不站在两端且不相邻，且A、B相邻的方法有（ ）种.
A. 20B. 12C. 36D. 24
【答案】D
【解析】首先将、捆绑作为一组，与、排列，则有种排法，
再将名教师插入中间的个空中，则有种排法，
综上可得一共有种排法.
故选：D
4. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由有
，
所以，
所以，
故选：A.
5. 已知某家族有A、B两种遗传性状，该家族某位成员出现A性状的概率为，出现B性状的概率为，A、B两种遗传性状都不出现的概率为.则该成员在出现A性状的条件下，出现B性状的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设该家族某位成员出现A性状为事件，出现B性状为事件，
则有，
所以，
又,
所以，
所以，
故选：D.
6. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（ ）
A. 8B. 10C. 9D. 6
【答案】A
【解析】由可知等比数列的公比不为1，
故，
，
又，所以，故，则，
故选：A
7. 在送教下乡活动中，某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五名老师到3所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师，且甲、乙、丙三名老师不同时安排在同一学校，则不同的分配方法总数为（ ）
A. 36B. 72C. 144D. 108
【答案】C
【解析】根据题意，考虑间接法求解，即求出甲、乙、丙、丁、戊五名老师到3所乡学校工作，每所学校至少安排一名
老师的方法种数，减去每所学校至少安排一名老师且甲、乙、丙三名老师同时安排在同一学校的方法种数即可.
将甲、乙、丙、丁、戊五名老师到3所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师，可分为两种情况，
其一：按照“221”分组，有种方法；
其二：按照“113”分组，有种方法.
而每所学校至少安排一名老师且甲、乙、丙三名老师同时安排在同一学校的方法有种.
故不同的分配方法总数为种.
故选：C.
8. 已知是函数的导函数，且对任意实数x都有，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以，即，
所以可设，
即，又，
所以，故，
所以不等式可化为，
故，
所以，
所以不等式的解集为.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D正确.
故选：BCD.
10. 甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A：操作一次后甲袋中有1个红球，则有两种情况，第一种相互交换了1个红球，第二种情况都只是交换了1个白球，所以，故A错误；
对于B：操作两次后甲袋中有0个红球，
则第一种情况：第一次操作甲袋中1个红球换乙袋中的1个白球，第二次操作甲袋的一个白球换乙袋中的1个白球，
第二种情况，第一次操作甲袋中1个红球换乙袋中的1个红球，第二次操作甲袋的红球换乙袋中的1个白球，
第三种情况：第一次操作甲袋中1个白球换乙袋中的一个白球，第二次操作甲袋中的红球换乙袋中一个白球，
所以，故B正确；
对于C：表示第一次操作甲袋中有0个红球，则，表示操作3次后甲袋有两个红球，所以后面两次操作乙袋中的红球要交换到甲袋，
则，故C正确；
对于D：，表示第一次甲袋1个红球交换乙袋中的1个白球，第二次甲袋中1个白球交换乙袋中1个红球，
则，
所以，故D正确，
故选：BCD.
11. 对于，，…，的全部排列，定义Euler数（其中，，1，…，n）表示其中恰有次升高的排列的个数（注：次升高是指在排列中有k处，，…，）.例如：1，2，3的排列共有：123，132，213，231，312，321六个，恰有1处升高的排列有如下四个：132，213，231，312，因此：.则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】选项A，将、、、全部排列，恰有1次升高的排列为，
1排首位时，共有1432，共1个排列符合恰有1次升高；
2排首位时，共有2431，2143，共2个排列符合恰有1次升高；
3排首位时，共有3142，3214，3241，3421共4个排列符合恰有1次升高；
4排首位时，共有4132，4213，4231，4312共4个排列符合恰有1次升高；
故，故正确；
选项，将、、、全部排列，恰有2次升高，排列个数可以如下考虑：
1排首位时，共有1324，1423，1342，1243共4个排列符合恰有2次升高；
2排首位时，共有2134，2341，2314，2413共4个排列符合恰有2次升高；
3排首位时，共有3124，3412共2个排列符合恰有2次升高；
4排首位时，共有4123共1个排列符合恰有2次升高；
故，故B错误；
选项C，举例当，，，
当由选项、知，，该对称性普遍成立，
故.故C正确；
选项D，不妨取，则，而，，则，即，故，故D错误；
故选：.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中含项的系数为___________.
【答案】
【解析】的展开式的通项为，
由得，则含的项为，系数为
故答案为：
13. 某学校有A，B两家餐厅，张同学第一天午餐随机地选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6.则张同学第二天去B餐厅用餐的概率为__________.
【答案】
【解析】令事件表示第天去餐厅，事件表示第天去餐厅，，
则，，
由全概率公式有，
所以，
故答案为：.
14. 对任意，，不等式恒成立，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由不等式，可得，
即，
令，则，其中
又由恒成立，则在单调递增，
所以，即，即，所以，
令，可得，
所以在为单调递增函数，所以，即，所以，
又因为，所以，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，其中.
（1）若在点处的切线与直线垂直，求a的值；
（2）当时，求函数在区间上的最值.
解：（1）的定义域为，
，
∴，
由题意知，∴.
（2）当时，
∴，
又，当时，，当时，，
∴在单调递减，在单调递增，
∴，
又，
，
∴，
∴，
∴.
16. 已知，且.
（1）求的值；
（2）若时，求被4整除的余数.
解：（1）∵，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴
两边同时求导数
∴，
令，
∴.
（2）时，
，
∴被4整除的余数为3.
17. 已知数列的首项，且满足.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列的前n项和.
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，又，
∴，∴是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，则，
，
∴，
∴
，
∴.
18. 已知函数，，是自然对数的底数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若关于x的方程有两个不等实根，求a的取值范围；
（3）当时，若，（其中）满足，求证：.
解：（1）时，的定义域为，
，在单调递增，在单调递减，
极大值，无极小值.
（2）有两个不等实根，
∴有两个不等实根，即（），
设，∴，
单调递增，单调递减，，
当时，，，
∴.
（3）当时，
，
在单调递增，在单调递减，
又且，
∴要证，即证，
即证，即证，
设（），
，
∴在单调递增，又，
∴，又，
∴，∴.
19. 已知函数.
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若不等式对任意都成立（其中是自然对数的底数），求实数a的取值范围.
解：（1）的定义域为，
，
∴
（2）（），
设，
∴，
设，
∴，
在单调递增，单调递减，又，
∴，，∴，
在单调递减，又，
∴，，，，
∴，，，，
单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）不等式，
等价于不等式，由，
∴，
设，，
，
由（2）知：，
∴，
∴，
∴在上单调递减，
∴，∴.