湖北省武汉市重点中学5G联合体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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考试时间：2024年11月8日 试卷满分：150分
祝考试顺利
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题及倾斜角定义可得答案.
【详解】斜率为0，则倾斜角为0.
故选：A
2. 已知空间向量，且，则（ ）
A. 10B. 6C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用空间向量平行的坐标结论计算.
【详解】因为，所以,
即，则.
故选：C.
3. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由垂直关系求出a的值，再结合充分、必要条件的概念即可得答案.
【详解】若，则，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A.
4. 已知向量，，向量在向量上的投影向量为 （ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标运算及投影向量的公式计算即可.
【详解】由题意可知，，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：A
5. 如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用计算出与所成的角的余弦值.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，
则与所成的角的余弦值为
.
故选：D
6. 已知椭圆左、右焦点分别为是上的任意一点，则错误的是（ ）
A. 的离心率为B.
C. 的最大值为D. 使为直角的点有2个
【答案】D
【解析】
【分析】AB选项，由题可得a，b，c，后由离心率计算式，椭圆定义可判断选项正误；C选项，由椭圆方程结合两点间距离公式可判断选项正误；D选项，即判断以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆是否有两个交点.
【详解】，则.
AB选项，，故A正确；，故B正确；
C选项，由题可知，，设Px,y，
则，
由题可得，则，故C错误；
D选项，因为直角，则P在以原点为圆心，半焦距为半径的圆上，
则，与联立，可得.
则满足条件的点P为，
共4个，故D错误.
故选：D
7. 已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为，平均数为；去掉的两个数据的方差为，平均数为；原样本数据的方差为，平均数为，若，则下列选项错误的是（ ）
A.
B. 剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变
C.
D. 剩下18个数据的22%分位数大于原样本数据的22%分位数
【答案】D
【解析】
【分析】设20个样本数据从小到大排列分别为，再根据中位数、平均数、第22百分位数与方差的定义与公式推导即可.
【详解】设20个样本数据从小到大排列分别为，则剩下的18个样本数据为，
对于A，依题意，，，，
由，得，即，
于是，因此，即，A正确；
对于B，原样本数据的中位数为，剩下的18个样本数据的中位数为，B正确；
对于C，因为，则，，，
于是，，
因此，即，C正确；
对于D，因为，则剩下18个数据的分位数为，
又，则原样本数据的分位数为，D错误.
故选：D
8. 已知P为棱长为1的正方体的内切球表面一动点，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图建立坐标系，可将转化为在方向上的投影向量长度的倍，结合图形可得答案
【详解】如图以A为原点，分别为x，y，z轴建系，
则，
则，又，
则.
表示在方向上的投影向量的长度.
如图当P在G或F时，即当A，O，P共线时，取最值.
因，内切球半径为.则,
则，则.
故选：B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 已知事件A，B满足，，则（ ）
A. 若，则
B. 若A与B互斥，则
C. 若P(AB)=0.1，则A与B相互独立
D. 若A与B相互独立，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，结合概率的性质、互斥事件、相互独立事件的概率公式，逐项分析判断即可.
【详解】对于A，由，得，A错误；
对于B，由A与B互斥，得，B正确；
对于C，由，得，则A与B相互独立，C正确；
对于D，由A与B相互独立，得相互独立，则，D错误.
故选：BC
10. （多选）如图，在边长为1的正方体中，点为线段的中点，点为线段的中点，则（ ）
A. 点到直线的距离为B. 直线到直线的距离为
C. 点到平面的距离为D. 直线到平面的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求出直线的单位方向向量，由点到直线距离的向量公式求解可判断A；先证明，然后由由点到直线距离的向量公式求解可判断B；求出平面的法向量，由点到平面的向量公式可判断CD.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，A1,0,0．
因为，，．
设，所以，
所以点到直线的距离为，故A正确．
因为，，所以，
所以，所以点到直线的距离即为直线到直线的距离．
，．
设，所以，
所以直线到直线的距离为，故B正确．
设平面的一个法向量，
又，，所以
取，则，，所以，
所以．
又，所以点到平面的距离为，故C错误．
因为，平面，所以平面，
所以到平面的距离即为点到平面的距离．
又平面的单位法向量，，
所以直线到平面的距离为，故D正确．
故选：ABD
11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ）
A. 曲线围成的图形有条对称轴
B. 曲线围成的图形的周长是
C. 若是曲线上任意一点，的最小值是
D. 曲线上的任意两点间的距离不超过
【答案】BCD
【解析】
【分析】分情况去掉绝对值，可得曲线的四段关系式，进而作出曲线的图像，即可判断各选项.
【详解】当，时，曲线方程可化为，
即，是以为圆心，为半径的圆在第一象限的半圆，
同理可作出其他象限内的图象，且在曲线上，如图所示，

A选项：曲线围成的图形有条对称轴，分别是直线，，，，A错误；
B选项：曲线围成图形的周长为，B正确；
C选项：到直线的距离为，
且点到直线的距离为，
由圆的性质，曲线上任意一点到直线的距离最小值为，即，
所以的最小值是，C正确；
D选项：综上，易知曲线上任意两点间的距离最大值为，D正确；
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 同时抛掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为4的概率为______；
【答案】
【解析】
【分析】按古典概型概率公式求解.
【详解】同时抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件共有个；
设两枚骰子点数之和为4为事件，则事件包含：，，共3个基本事件，
所以.
故答案为：
13. 过点且与圆：相切的直线方程为________
【答案】或
【解析】
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线方程.
【详解】圆：即，圆心为，半径，
当切线的斜率不存在时，直线恰好与圆相切；
当切线的斜率存在时，设切线为，即，则，
解得，所求切线方程为，
综上可得过点与圆相切的直线方程为或.
故答案为：或
14. 已知四棱锥的底面是平行四边形ABCD，过棱PC的中点和点作一平面，分别交棱PB和PD于点和.
①设，则______.（用向量表示）
②记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则的取值范围是______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】①根据向量加法的平行四边形法则可得，从而得解；
②设,利用空间向量基本定理中的推论四点共面得到, 设,利用体积分割转化将表示为然后利用得到的关系将此式转化为关于的函数，适当整理，利用对勾函数的单调性即可求得其取值范围.
【详解】根据题意，底面是平行四边形ABCD，
所以，即得，
如图所示，设，
，又A，M，E，F四点共面，不共面，
，
设，则
，
由，求得，
当时，取得最小值为，此时，当，或时，
即当或时取得最大值为，
故答案为：，
【点睛】关键点点睛：设,利用空间向量基本定理中的推论四点共面得到, 设,利用体积分割转化将表示为然后利用得到的关系将此式转化为关于的函数，适当整理，利用对勾函数的单调性即可求得其取值范围.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是0.6．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．用Y表示答对题目，用N表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么
（1）在树状图中填写样本点，并写出样本空间；
（2）求李明第二次答题通过面试的概率；
（3）求李明最终通过面试的概率．
【答案】（1）树状图见解析，样本空间为
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出树状图，并写出样本空间即可；
（2）由第二次通过面试，即第一次没有通过，第二次通过，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解；
（3）先求出未通过面试的概率，结合对立事件的概率求法，即可求解.
【小问1详解】
解：根据题意，可得树状图及样本点，如图所示，
其样本空间为.
【小问2详解】
解：由题意知，，
所以第二次答题通过面试的概率.
【小问3详解】
解：由题意，李明未通过的概率为，
所以李明通过面试的概率为.
16. 为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），使居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中.
（1）求直方图中a，b的值；
（2）由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；
（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.
【答案】（1），
（2）吨
（3）
【解析】
【分析】（1）结合图中数据，由直方图中所有长方形的面积之和为1列出等式，即可求出答案；
（2）由频率分布直方图中平均数的求法，直接计算即可；
（3）结合图中数据易知标准在中，由此即可求出的估计值.
【小问1详解】
由频率分布直方图可得
，
又，则，.
【小问2详解】
该市居民用水的平均数估计为：
（吨）.
【小问3详解】
因的频率为，
的频率为，
故的估计值为（吨）．
所以有的居民每月的用水量不超过标准（吨）．
17. 已知中，；
（1）求边AB的中线所在直线的方程；
（2）求经过A，B，C三点的圆的标准方程；
（3）已知圆与（2）中圆相交于，求直线AB的方程，并求AB.
【答案】（1）
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）先求出AB的中点坐标，进而求出中线的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解；
（2）根据两点坐标表示求出AB的斜率，进而可得直线AB、BC的中垂线方程，联立方程组，解之可得，结合圆的标准方程即可求解；
（3）根据两圆的方程相减可得，利用点线距公式和几何法求弦长计算即可求解.
【小问1详解】
AB中点为，所以其中线方程为.
【小问2详解】
，直线AB的中垂线方程为，
同理直线BC的中垂线方程为，
，解得，即，
所以所求圆标准方程为.
【小问3详解】
由题意，圆与的方程相减，得，
直线AB的距离为，
所以.
18. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的大小；
（3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系；
（2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角大小；
（3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得.
【小问1详解】
因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又平面，
所以平面，平面，所以，
又已知，且都在面内，所以平面；
【小问2详解】
由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
不妨令，则，，.
设与平面所成角的大小为，
则有，
设为与平面所成角，故，
即与平面所成角的大小为；
小问3详解】
假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为.
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
若平面与平面成角余弦值为.
则满足，
化简得，解得或，即或，
故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或.
19. 有一个半径为4的圆形纸片，设纸片上一定点到纸片圆心的距离为，将纸片折叠，使圆周上一点M与点F重合，以点F，E所在的直线为x轴，线段EF中点为原点O，建立平面直角坐标系．
（1）记折痕与ME的交点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程．
（2）若直线与曲线C交于A，B两点．
（ⅰ）当k为何值时，为常数d，并求出d的值．
（ⅱ）以A，B为切点，作曲线C的两条切线，设其交点为Q，当时，证明：
【答案】（1）
（2）（ⅰ），5；（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的定义判断轨迹，即可求出方程．
（2）（ⅰ）联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系表示出，写出关于k的表达式分析可得．（ⅱ）分情况讨论，当切线斜率存在时，根据切线与椭圆只有一个切点，利用以及根与系数的关系，得到QA，QB的斜率关系，即可证得．
【小问1详解】
由题意可知，，
所以P点轨迹是以F，E为焦点，4为长轴长的椭圆，
即，，所以，
所以曲线C的方程，即椭圆方程为．
【小问2详解】
（ⅰ）由消元得，，
由，得，
设，，则，，
所以
，
当为常数d时，即与无关，
令，得，此时恒成立，
即当时，．
（ii）证明：设，则
当两切线中有一条切线斜率不存在时，即与x轴垂直时，切线方程为，
即，得，
所以另一条切线方程为，即与x轴平行，
显然，两切线垂直，即．
当斜率存在时，，设切线方程为，
由，
消去y，得，
由，
化简得．
设两条切线的斜率分别为，，
因为，所以，
所以两条切线相互垂直，即．
综上，．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.