安徽省合肥市第八中学2024-2025学年高一上学期1月检测数学试题 含解析

这是一份安徽省合肥市第八中学2024-2025学年高一上学期1月检测数学试题 含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合 A、B，再求交集.
【详解】 ,
,
所以 .
故选：C
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据诱导公式即可求解.
【详解】因为
故选：A.
3. 下列函数中，周期为 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】举反例排除 A，利用三角函数的周期公式判断 BC，利用周期函数的定义结合诱导公式判断 D.
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【详解】对于 A，因为 ，
所以 ，
则 ，所以 不以 为周期，故 A 错误；
对于 B，因为 ，所以 的最小正周期为 ，故 B 错误；
对于 C，因为 ，所以 的最小正周期为 ，故 C 错误；
对于 D，因为 ，
所以 ，
则 的周期为 ，故 D 正确.
故选：D.
4. 为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点（ ）
A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度
C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合三角函数 图象变换的规则，即可求解.
【详解】由函数 ， ，
将函数 的图象向左平移 个单位长度，
得到 的图象.
故选：C.
5. 若 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
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【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数，以及三角函数的性质，求得 的范围，即可求解.
【详解】由对数函数的性质，可得 ，
又由指数函数的性质，可得 ，再由正弦函数的性质，可得 ，
所以 .
故选：A.
6. 某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量 y 与时间 t（单位：年）之间 关系为 ．其中 为初
始量，k 为降解系数．已知该品牌塑料袋 2 年后残留量为初始量的 ．若该品牌塑料袋需要经过 n 年，
使其残留量为初始量的 ，则 n 的值约为（ ）（参考数据： ， ）
A. 20 B. 16 C. 12 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】由 可得 ，再代入 ，求解即可.
【详解】根据题意可得 ，
则 ， ，
则经过 n 年时，有 ，
即 ，则 ，
所以 ，
则 .
故选：B.
7. 已知函数 在区间 有且仅有 2 个零点，则 的取值
范围是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】A
【解析】
【 分 析 】 应 用 三 角 恒 等 变 换 化 简 函 数 式 ， 结 合 余 弦 型 函 数 周 期 性 及 已 知 区 间 和 零 点 个 数 有
，即可求参数范围.
【详解】由
，
又 ，则 ，
函数 在 上恰有 2 个零点，即 在 上有 2 个解，
所以 ，解得 ．
故选：A
8. 已知 ，求 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数诱导公式化简已知等式可得 ，再利用
两角和差的余弦公式结合同角三角函数关系化简可得 ，继而利用三角恒等变换，
化简求值，即得答案.
【详解】由题意知，
即 ，
故 ，
即 ，
故 ，
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即
，
故选：D
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于利用三角函数诱导公式以及两角和差的公式化简得出 的表达
式之后，要利用拆角的方法，继而结合三角恒等变换公式，化简求值即可.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列函数中，值域为 的增函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对于 A,B 两项，只要熟悉基本初等函数的性质即可判断；对于 C,D 两项中复合函数的单调性判断，
则应在求得其定义域前提下，根据同增异减的原则确定，而函数值域也是建立在函数单调性基础上得到的.
【详解】对于 A 项，因函数 的定义域为 ，可得其值域为 ，故 A 项错误；
对于 B 项，因对 ， 恒成立，故函数 的值域为 ，且因 ， 为增函数，
故 B 项正确；
对于 C 项，因 ， ，设 ， 显然为增函数，且 ，又函数 在定
义域范围内为增函数，
由复合函数“同增异减原则” 知 为增函数，且 ，即函数值域为
，故 C 项正确；
对于 D 项，设 ，则 ，函数 在定义域范围内为增函数，而函数 在 上
递减，在 上递增，
故函数 在 上递减，在 上递增，且值域为 ，故 D 项错误.
故选：BC.
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10. 已知函数 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数 的最小正周期为
B. 函数 的图象关于直线 对称
C. 函数 在 单调递减
D. 该图象向右平移 个单位可得 的图象
【答案】BD
【解析】
【分析】利用三角函数的性质对选项逐一判断即可.
【详解】由图象得 ， ，解得 ，所以 的最小正周期为 ，故 A 错；
，则 ，将 代入 中得 ，
则 ， ，解得 ， ，
因为 ，所以 ， ， ，
所以 是 的对称轴，故 B 正确；
当 时， ，因 在 上不单调，
所以 在 上不单调，故 C 错；
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该图象向右平移 个单位可得 ，故 D 正确.
故选：BD
11. 已知定义在 上的函数 ，对任意的 ，都有 ，且
，则（ ）
A. B. 是偶函数
C. ， D. ，
【答案】ABD
【解析】
【分析】用赋值法，令 求得 判断 A，令 判断 B，求出 判断 C，令 得出
递推关系，进而得出函数的周期性，然后由周期性计算判断 D．
【详解】在 中，又有 ，
令 得 ，所以 ，A 正确；
令 得 ，所以 ， 是偶函数，B 正确；
令 得 ，所以 ，
令 得 ，所以 ，
令 得 ， ，C 错误；
令 得 ，所以 ，
由此 ，即 ，
所以 ， 是周期为 6 的周期函数，
， ， ，
，
所以 ，D 正确．
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故选：ABD．
【点睛】方法点睛：抽象函数求值问题，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取特殊值求得一些
特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系，通过赋值还可能得出函数的奇
偶性、周期性，这样对规律性求值起到决定性的作用．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 函数 的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用整体代入法求得 的定义域.
【详解】令 ， ，可得 ， ，
故函数 的定义域为 ．
故答案为：
13. 已知 ，则 _____.
【答案】
【解析】
【分析】利用三角恒等变换以及诱导公式可求值.
【详解】因为
，
又因为 ，
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所以 ，
故答案为: .
14. 已知正实数 满足方程 ，则 的最小值为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】通过构造函数 ，通过判断其单调性得到 ，再利用基本不等式求最值.
【详解】令 ，
因为函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，
又由 得 ，
即 ，
所以 ，即 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：通过构造函数 ，通过判断其单调性得到 ，是解决本题的关
键.
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 求下列各式的值：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）20; （2）
【解析】
【分析】（1）根据指数幂运算与对数运算公式求解.
（2）利用同角关系计算即得.
【小问 1 详解】
；
【小问 2 详解】
16. 设 ，函数 是定义域为 R 的偶函数．
（1）求实数 a 的值；
（2）求 在 上的值域．
【答案】（1） ．
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（2） ．
【解析】
【分析】（1）由偶函数定义即可求解；
（2）利用单调性定义和指数函数的单调性可以判断 在 上单调递增，进而可得 在 上
的值域.
【小问 1 详解】
由 ，得 ，
即 ，
所以 ，
根据题意，可得 ，
又 ，所以 ．
【小问 2 详解】
由（1）可知 ，
设任意的 ，且 ，
则 ．
因为 ，又指数函数 增函数，所以 ，
所以 ．
又因 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ．
所以函数 在 上单调递增．
所以函数 在 上的最大值为 ；
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最小值为 ．
故 在 上的值域为 ．
17. 已 知 函 数 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 ， 且 图 象 过 点 和 ， 当 时 ，
.
（1）求 的值；
（2）求不等式 的解集.
【答案】（1） .
（2） .
【解析】
【分析】（1）结合奇函数的定义，以及图象过点 和 ，列出方程组，求解该方程组，即可求解；
（2）先求出当 时，函数 的解析式，再分类讨论，即可求解．
【小问 1 详解】
因为 的图象过点 ，所以 .①
因为 是奇函数，且 的图象过点 ，
所以 的图象过点 ，
则 .②
联立①②，解得 .
【小问 2 详解】
由（1）知， 时， ，
当 时， ，则 .
因为 是奇函数，所以 ，则 .
当 时， ，即 ，解得 ；
当 时， ，即 ，解得 .
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当 时， ,不合题意，
综上，不等式 的解集是 .
18. 设关于 的函数 的最小值为 .
（1）求 ；
（2）若 ，求函数 的最大值.
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）换元成二次函数，分情况讨论二次函数的单调性讨论最小值即可.
（2）根据二次函数的单调性进行最值的讨论.
【小问 1 详解】
解：（1） ，
设 ，则 ，
由于 ，
若 ，则当 时， 取得最小值 1，即 ；
若 ，则当 时， 取得最小值 ，
即
若 ，则当 时， 取得最小值 ，即 .
所以 .
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【小问 2 详解】
由第（1）问的结论可知，
当 时， 无解；
当 时，由 ，解得 ，或 （舍）；
当 时，由 ，解得 （舍），
综上 ，
此时
当 ，即 时， 取得最大值 5.
19. 已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）若 ，求 的值.
（3）若对于任意 均有 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）化简 ，然后利用周期的公式计算；
（2）根据 得到 ，然后利用同角三角函数基本关系和和差公式计算；
（3）将对于任意 均有 恒成立转化为于任意 均有
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恒成立，然后利用函数单调性求最值即可得到 的取值范围.
【小问 1 详解】
解：由
可得函数 的最小正周期 .
【小问 2 详解】
因为， ，
所以 .
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
.
【小问 3 详解】
由（1）知，函数 ，
可得 asin asin ，
因为对于任意 均有 恒成立，
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即对于任意 均有 恒成立，
即对于任意 均有 恒成立，
又因为 ，
因为 ，可得 ，
又因为 单调递增且大于 0，可得 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，
所以 的取值范围为 .
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