安徽省合肥市第八中学2024-2025学年高二下学期3月检测 数学试题（含解析）

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1.考查范围：选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用；
2.试卷分值：130分；考试时间：100分钟；
3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效.考试结束后只交答题卷.
第I卷（选择题）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 若曲线在点处的切线斜率为2，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由导数的几何意义得，再根据导数的定义即可求解.
【详解】由导数几何意义得，
由导数定义可知：.
故选：C.
2. 若函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数和三角函数的导数公式及复合函数的求导法则进行求解即可.
【详解】由，
故选：D
3. 若函数在内无极值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在内无变号零点，根据函数的单调性确定最小值和最大值的范围即可求解.
【详解】因为函数在内无极值，
所以在内无变号零点，
根据二次函数的对称性和单调性知，在区间单调递增，
所以或即可，
解得或，
故选：C.
4. 若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意转化为，令，利用导数求出可得答案．
【详解】依题意，，令，则，
令，则，
令，则，故当时，，
当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故，故，则，
故实数a的取值范围为．
故选：D.
5. 直线分别与直线、曲线交于点A，B，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知A，B两点的坐标为，，则，令，利用导数研究函数的单调性即可求出最小值.
【详解】解：由题意可知，直线与直线的交点，直线与曲线交点，满足，
则，
设，，则，
由，得；，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即，
故选：B．
6. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，利用导数判断出函数的单调性，将不等式变形为，结合函数的单调性可解出该不等式.
【详解】构造函数，则，
所以，函数在上单调递减，
由，可得，即，解得，
因此， 不等式的解集为，故选C.
【点睛】本题考查利用导数求解函数不等式，解决这类不等式基本步骤如下：
（1）根据导数不等式的结构构造新函数；
（2）利用导数研究函数的单调性，必要时要考查该函数的奇偶性；
（3）将不等式转化为的形式，结合函数的单调性进行求解.
7. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】与运用作差法比大小，再把看作，可构造函数，求导并借助函数的单调性，可得到；与运用作差法比大小，再把看作，可构造函数，求导并借助函数的单调性，可得到.从而得到.
【详解】令，则，
令，则，
当时，，所以在上单调递减，
所以，即，所以在上单调递减，
所以，即，所以，即；
令，则，
令，则，所以在上单调递增，
所以，即，所以在上单调递增，
所以，即，所以，即.
所以.
故选:.
【点睛】方法点睛：比较代数式大小的常见方法有：
（1）利用函数单调性；
（2）利用中间量；
（3）构造函数.
8. 设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.
【详解】设，，
由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当时，；当时，.
所以，函数的最小值为.
又，.
直线恒过定点且斜率为，
故且，解得，故选D.
【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：则正确命题的序号是（ ）
A. 是函数的极值点；
B. 是函数的最小值点；
C. 在处切线的斜率小于零；
D. 在区间上单调递增.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据可以确定函数的增区间，减区间以及切线斜率的正负，结合极值点的概念逐项判断即可.
【详解】由导函数的图象可得，当时，，
的左边导数值为负右边导数值为正，两边互为异号，的两边导数值都为正号，
所以在上为减函数，上为增函数，
由此可得：是函数的极值点；在区间上单调递增，故AD正确；
函数在上为增函数，知不是函数的最小值点；
由知在处切线的斜率大于零，故BC错误.
故选：AD
10. 设是函数的导数，若，且，，则下列各项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意判断函数的单调性以及其图象的形状，根据单调性可判断A；根据导数的几何意义以及结合直线斜率的含义，可判断.
【详解】由知，在R上单调递增，则,故A正确；
恒有，即，
所以的图象是向上凸起的，如图所示，
由导数的几何意义知，随着x的增加，的图象越来越平缓，即切线斜率越来越小（斜率为正），
所以，故B正确，
设，则，
所以由图象知，故D正确，C错误，
故选：
11. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 若在上单调递增，则a的取值范围是
B. 若满足，则
C. 当时，若有三个零点，则b的取值范围是
D. 若存在极值点，且，其中，则
【答案】CD
【解析】
【分析】对A，由在上恒成立，利用导数求解判断；对B，根据推断函数的对称性，进而可以求得的值判断；对C，将代入，并求导求极值，有三个零点，则令极大值大于零，极小值小于零即可判断；对D，利用导数分和讨论函数的单调性，得到且，此时可得的表达式，结合，再化简即可得到答案.
【详解】对于A，因为，
所以，
因为在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，所以，故A错误；
对于B，满足，可知的对称点为，
又，所以点在图象上，
则，
解得，故B错误；
对于C，因为，
当时，，
，
令，解得或，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，取得极大值，
当时，取得极小值，
有三个零点，，解得，故C正确；
对于D，因，
，
当时，，即在R上单调递增，无极值点；
当，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增；
存在极值点，，
由得，①
因为，化简得，
因为，所以，②
把①代入②中化简得可得，即，故D正确.
故选：CD.
第II卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，当时，函数有极值，则函数在上的最大值为_________.
【答案】13
【解析】
【分析】
由题可得在的导数值等于0，可求得，再根据导数讨论函数的单调性，即可求出最值.
【详解】，当时，函数有极值，
，解得，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
在处取得极大值，
且，，
在上的最大值为13.
故答案为：13.
【点睛】方法点睛：利用导数求函数在闭区间上最值的方法：
（1）先求出函数的导数；
（2）根据导数的正负判断函数的单调性；
（3）求出极值，端点值，即可判断出最值.
13. 若函数在单调递增，则取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据导数与函数单调性的关系，由函数在单调递增得到不等式，利用三角恒等变换、换元法转化为一元二次不等式在闭区间上的恒成立问题，运算即可得解.
【详解】解：函数的导数为，
由题意，函数在上单调递增，
∴在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，，
∵在上恒成立，
∴在上恒成立，
又∵的图象是开口向下的抛物线，
∴，解得：.
∴的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：导数与函数单调性的关系：
1.是函数在区间上单调递增（减）的充分不必要条件.
2.是函数在区间上单调递增（减）的必要不充分条件.
3.若在区间的任意子区间上都不恒等于零，则是函数在区间上单调递增（减）的充要条件.
14. 已知实数，满足，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令，得到，研究函数的单调性，求出关系，即可求解.
【详解】实数，满足，，
，，则，
，
所以在单调递增，而，
.
故答案为:.
【点睛】本题考查函数单调性应用，换元法是解题的关键，构造函数是难点，属于中档题.
四､解答题：本题共4小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1），；
（2）最大值为，最小值为
【解析】
【分析】（1）由已知得到，，进而得到方程组，解之即可；
（2）由（1）可知，然后对，利用导数得出函数单调性，结合端点值比较大小即可得解.
【小问1详解】
由，知
而在处取得极值，故，.
故有方程组，即.
所以，.
【小问2详解】
由（1）知，，故，.
，
当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
而直接计算知，，，
故在上的最大值为，最小值为.
16. 已知函数，其中.
（1）若，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）先把代入，对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；
（2）先对函数求导，对进行分类讨论，即，，三种情况进行讨论，确定导数的符号，进而可求函数的单调性．
【详解】解：(1)当时，，则，
∴，
∴函数的图象在点处的切线的斜率为，
又点在切线上.且，
∴函数的图象在点处的切线方程为.
（2）的定义域为.
.
①若.即时，则，
∴在上单调递增，
②若，即时，
当时.；当，时，，
∴在上单调递减，在，上单调递增.
③若.即时，
当时，；当，时，，
∴在上单调递减，在，上单调递增.
17. 已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）证明：，.
【答案】（1）极小值，无极大值；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数的解析式求得导函数，可由的符号判断函数的单调性，并由极值点求得极值.
（2）将函数的解析式代入不等式，并构造函数，求得，再构造函数，并求得，由可知在上单调递增，由零点存在定理可知在内有唯一解，记为，满足.进而由的符号判断单调性，即可求得的函数表达式，根据二次函数在定区间上的值域即可判断恒成立，即证明不等式成立.
【详解】（1）函数，，
则，
由可知在上单调递增，且，
故当时，，
当时，，
故函数有极小值，无极大值；
（2）证明：依题意对，，即；
设，则，设.
因为，所以在上单调递增.
又因为，，
所以在内有唯一解，记为，即.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，.
设，，则，
所以，
所以，即，.
【点睛】本题考查了由导数判断函数的单调性与极值，导数在证明不等式中的应用，构造函数法的综合应用，函数零点存在定理的应用，二次函数性质的应用，综合性强，属于难题.
18. 已知函数.
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）证明：
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分离变量得到，利用导数可求得，由此可得结果；
（2）当，时可证得，放缩可得，利用等比数列求和公式和对数运算法则可求得，由此可得结论.
【小问1详解】
由题意得：定义域为；由得：；
设，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
，即实数的取值范围为.
【小问2详解】
由（1）知：当，时，，在上单调递减，
，即；
，
，
即，
.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到恒成立问题求解和不等式的证明问题；证明不等式的关键是能够充分利用（1）中的结论，将所证不等式进行放缩，从而结合等比数列求和的知识进行证明.