安徽省合肥市第八中学2024-2025学年高一上学期第一次检测数学试题（Word版附解析）

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1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上
无效. .
第 I 卷（选择题）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 设 集 合 ， ，
，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合中角的特征分析集合间的关系即可得解.
【详解】 表示终边落在 轴非正半轴上角的集合， 表示终边落在 轴上角的集合，
表示终边落在 轴上角的集合，故 .
故选：A.
2. 已知 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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【分析】对 平方，得到 的值，然后对 化简求值即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A.
3. 若实数 ，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由指数函数、对数函数、幂函数单调性 判断 ABD，通过反例可判断 C.
【详解】对于 A，因 单调递减，易知 ，一定成立；
对于 B，因 单调递增，易知 ，则 B 选项一定不成立，
对于 D，因 单调递减，易知 ，一定成立，
对于 C，取 ，得 ，
取 ，可得 ，所以不一定成立，
故选：C.
4. 设函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】利用复合函数“同增异减”的性质，再由二次函数在区间 上的单调性即可得结果.
【详解】根据题意可知 是由指数函数 和二次函数 复合而成的，
由复合函数单调性可得只需使函数 在区间 上单调递减即可，
易知函数 关于 对称，所以可得 ，即 ；
即 的取值范围是 .
故选：D
5. 已知 a 是方程 实根，则下列各数为正数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据零点的存在性定理求出 的范围，根据不等式的性质即可判断 AD；根据指数函数的单调性
接口判断 B；根据对数函数的单调性即可判断 C.
【详解】令 ，
因为函数 都是增函数，
所以函数 是增函数，
又因为 ， ，
因为 是方程 的实根，所以 ，
对于 A，因为 ，所以 ，则 ，故 A 错误；
对于 B，因为 ，所以 ，则 ，故 B 正确；
对于 C，.因为 ，所以 ，所以 ，故 C 错误；
对于 D，因为 ，所以 ，则 ，故 D 错误.
故选：B.
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6. 函数 的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】可证明 为偶函数，又易得 时， 可得结论.
【详解】由 ，解得 ，均能满足 有意义，
故函数的定义域为 ，关于原点对称，
因为 ，
所以 为偶函数，故排除 B；
又 ，所以 在 上单调递增，
当 时， ，所以 时， ，
所以当 时， ，所以排除 A，D；
故选：C.
7. 已知函数 的部分图象如图所示，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】根据正切函数的周期性和对称性来求得正确答案.
【详解】由图可知， 的最小正周期 ，
，
根据对称性可知 ，
则 ，由于 ，所以 ，
所以 .
故选：C
8. 已知函数 ，若函数 恰有 8
个不同零点，则实数 a 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用十字相乘法法进行因式分解，然后利用换元法 ，作出 的图象，利用数形结合
判断根的个数即可，
【详解】
由 得
则 或 ，
作出 的图象如图，
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则若 ，则 或 ，
设 ，由 得 ，
此时 或 ，
当 时， ，有两个根，当 时， ，有 1 个根，
则必须有 ， 有 5 个根，
设 ，由 得 ，
若 ，由 得 ，或 ， 有一个根， 有两个根，此时有 3 个根，
不满足条件．
若 ，由 得 ， 有一个根，不满足条件．
若 ，由 得 ， 有一个根，不满足条件．
若 ，由 得 ，或 或， ，
当 时， ，有一个根，当 时， ，有 3 个根，
当 时， ，有一个根，此时有 个根，满足条件．
故 ，
即实数 a 的取值范围是 ，
故选 A．
【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数的图象交点个数，结合数形结合以
及利用分类讨论的思想是解决本题的关键 综合性较强，难度较大．已知函数零点(方程根)的个数，求参数
取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定
参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式
变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数
的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，
二是转化为 的交点个数的图象的交点个数问题．
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
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9. 设函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线 对称
C. 的一个零点为
D. 的最大值为 1
【答案】AC
【解析】
【分析】根据 的性质逐一判断即可.
【详解】 ，故 A 正确；
，所以 不是对称轴，故 B 错误；
，所以 是 的一个零点，故 C 正确；
因为振幅 ，所以 的最大值为 ，故 D 错误.
故选：AC.
10. 设函数 的图象关于直线 对称，它的最小正周期
是 ，则以下结论正确的是（ ）
A. 的图象过点
B. 在 上是减函数
C. 最大值与 的取值有关
D. 的一个对称中心是
【答案】ACD
【解析】
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【分析】根据函数的最小正周期求出 ，再根据函数的对称性求出 ，即可得到函数解析式，再根据余弦
函数的性质一一分析即可.
【详解】 函数 的最小正周期是 ， ， ，
又 的图象关于直线 对称， ， ，
又 ， ， ，
， 图象过 ，故 A 正确；
的正负未知，故无法确定 的单调性，故 B 错误；
显然 的最大值与 的取值有关，故 C 正确；
， 是 的一个对称中心，故 D 正确．
故选：ACD
11. 若 是定义在 上的奇函数， 是偶函数，当 时， ，则（ ）
A. 在 上单调递减 B.
C. 在 上恰有 5 个零点 D. 是偶函数
【答案】AD
【解析】
【分析】由函数的奇偶性得出函数的周期，即可得出函数在一个周期内的图象，从而结合函数的性质逐个
判断.
【详解】由 是定义在 上的奇函数得 ，
由 是偶函数得 ，即 关于 对称，
结合 是奇函数可得 关于 对称，
∴ ，∴ ，∴函数的周期为 8.
当 时， ，则 在 （1 个周期）的图象如图所示.
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对 A，由图易得， 在 上单调递减，A 对；
对 B，由函数的奇偶性、周期性可得 ，B 错；
对 C，由图易得， 在 上恰有 7 个零点，C 错；
对 D，因为函数关于 对称，所以 ，故 是偶函数，D 对.
故选：AD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 函数 在 上的单调递减区间是______．
【答案】 ，
【解析】
【分析】由 ，可得 ，然后由 在 上的单调递减区间
可得答案.
【详解】当 时， .注意到 在 上递减，
又 ， ，
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则 在 上的单调递减区间是： ， .
故答案为： ，
13. 设 ，满足 ，则 的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
令 ，将 用 表示，转化为求关于 函数的最值.
【详解】 ，令 ，
则
，
，
当且仅当 时等号成立.
故答案为: .
【点睛】本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题.
14. 已知函数 ，给出下列四个结论：
① 是偶函数 ② 是函数 的一个周期
③函数 在 内是减函数 ④函数 最小值为
其中所有正确结论的序号是________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义可判定①，利用函数的周期性可判定②，利用复合函数的单调性可判定③
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④.
【详解】易知 ，
显然 ，
即① 是偶函数，故①正确；
而
，则 是函数 的一个周期，故②正确；
令 ，则 ，即 ，
显然在 上, 单调递减，
则 ,
又 上 单调递增，
所以 在 上单调递减，所以③错误；
结合周期性可知 上单调递增，
即 ，故④正确.
故答案为：①②④
【点睛】思路点睛：利用换元法及同角三角函数的平方关系化简函数式，根据复合函数的单调性判定结论
即可.
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知 为第二象限角，且 ．
（1）化简 ；
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（2）若 ，且 ，求 值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式及同角三角函数的平方关系化简即可；
（2）根据条件及三角函数的图象与性质先判定 ，再由诱导公式计算即可.
【小问 1 详解】
由已知可得： ，
∵ 是第二象限角，
∴ ， ，即 ，
∴ ；
【小问 2 详解】
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
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16. 已知函数
（1）求 的定义域；
（2）当 ，
①求证: 在区间 上是减函数；
②求使关系式 成立的实数 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据对数的性质求函数的定义域；
（2）①由单调性的定义证明区间单调性即可；②利用函数单调性解不等式求参数范围.
【小问 1 详解】
由 ，得 或 ，所以函数 的定义域为 ，
【小问 2 详解】
①设 ， ，
因为 ，则 ，
所以 ，
所以 ， ，所以 ，
故 在区间 上是减函数.
②由①知 在区间 上是减函数，
由 ，可得 ，解得
17. 西湖龙井，中国十大名茶之一，属绿茶，其产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山，并因此得名，具有
1200 多年历史.泡制龙井的口感与水的温度有关：经验表明，在 室温下，龙井用 的水泡制，再
等到茶水温度降至 时饮用，可以产生最佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温度从 开始，经过
分钟后的温度为 且满足 .
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（1）求常数 值；
（2）经过测试可知 ，求在 室温下，刚泡好的龙井大约需要放置多长时间才能达到最佳饮
用口感？ 结果精确到 分钟 (参考数据： ，
)
【答案】（1）
（2）7 分钟
【解析】
【分析】（1）由题意当 时， 即可求解；
（2）由（1）得到 ，令 ，求解即可.
【小问 1 详解】
茶水温度从 开始，
即当 时， ，解得 ；
【小问 2 详解】
当 时， ，
当 时， ，即 ，
，
故刚泡好的茶水大约需要放置 7 分钟才能达到最佳饮用口感．
18. 设 a 为常数，函数 ．
（1）当 时，求函数 的值域；
（2）若函数 在区间 上有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围；
【答案】（1）
（2）
【解析】
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【分析】（1）利用换元法结合三角函数值域，由二次函数性质即可得出函数 的值域；
（2）根据零点个数可得函数 在 上仅有一个零点，再由二次函数根的分布可得
；
【小问 1 详解】
由题意 ，
令 ，则 ，
当 时， ，
所以当 时， 取最大值 ；
当 时， 取最小值 ，
所以 的值域为 ；
【小问 2 详解】
由题意函数 在区间 上有两个不同的零点，
即函数 在 上仅有一个零点，因为 ，
由零点存在性定理，只需 ，得 ；
所以实数 a 的取值范围为 .
19. 函数的凹凸性的定义是由丹麦著名的数学家兼工程师 在 1905 年提出来的．其中对于凸
函数的定义如下：设连续函数 的定义域为 （或开区间 或 ，或 都可以），若
对于区间 上任意两个数 ，均有 成立，则称 为区间 上的
凸函数．容易证明诸如： ； 等函数都是凸函数．
在 1906 年将上述不等式推广到了 n 个变量的情形，即著名的 不等式：若函数 为
其定义域上的凸函数，则对其定义域内任意 n 个数 ，均有
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成立，当且仅当 时等号成立．
（1）除上述给出 凸函数外，请再写出一个凸函数并利用凸函数的定义证明；
（2）若函数 为 R 上的凸函数，求 a 的取值范围；
（3）在 中，求 的最小值；
【答案】（1） ，证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据凸函数的定义，作差即可求解，
（2）由凸函数的定义求解即可；
（3）结合基本不等式及 不等式可得 ，即可
得答案；
【小问 1 详解】
函数 为凸函数，证明如下：
对任意 ， ，
有
，
故 ，即 ，
所以函数 是凸函数．
【小问 2 详解】
由于函数 为 R 上的凸函数，
所以对任意的 ， ，有 ，
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故
，
因此 ，结合 ，故
【小问 3 详解】
由 基 本 不 等 式 有
，
当且仅当 时取等号．
由 不等式有 ，
从而有 ，
当且仅当 时取等号．
故 的最小值为 ；
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