安徽省合肥市第八中学2024-2025学年高一下学期第一次检测数学试题 含解析

这是一份安徽省合肥市第八中学2024-2025学年高一下学期第一次检测数学试题 含解析，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 设 ， 为非零向量，则“ ”是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件的定义分析判断.
【详解】 表示 方向上的单位向量.
若 ，则 与 同向，所以 ，即 ；
若 ，当 与 同向时， ；当 与 反向时， ，
即 .
故选：A.
2. 在 中， 为 边上的中线， 为 的中点.则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可.
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【详解】因为 为 边上的中线，所以 ，
又因为 为 的中点，所以
，
故选：A.
3. 已知平间向量 ，则向量 在向量 上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据投影向量定义计算可得答案.
【详解】向量 在向量 上的投影向量为 ．
故选：C．
4. 已知 ，则 与 夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】A
【解析】
分析】对 两边平方结合 可得 ，结合数量积夹角公式即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ，即 ，
所以 .
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故选：A.
5. 下列结论正确的个数是（ ）
① ；
②若 ，则 A，B，C，D 四点构成平行四边形
③若平面向量 与平面向量 相等，则向量 与 是始点与终点都相同的向量
④向量 与 可以作为平面内所有向量 一组基底
⑤若两非零向量 ， 满足 ，则 与 的夹角是
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
【答案】B
【解析】
【分析】用平面向量的线性运算判断①，举反例判断②，③，结合共线向量的坐标运算和基底的概念判断
④，结合数量积的运算律，根据向量夹角公式计算判断⑤．
【详解】由已知得： ，①对；
若 ，则 A，B，C，D 四点可以构成平行四边形或者 A，B，C，D 四点共线，故②错误，
若平面向量 与平面向量 相等，则始点相同时，终点必须相同，始点不同时终点也不相同，故③错误，
因为 ，故 与 不共线，可作为基底，故④正确，
设 ，
则 ，
所以 ，设 与 的夹角为 ，
则 ，即 ，⑤正确.
故选：B
6. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
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【答案】A
【解析】
【分析】拆角后由诱导公式和余弦二倍角公式计算即可；
【详解】 .
故选：A.
7. 已知扇形 OAB 的圆心角是 ，半径是 1，C 是弧 AB 上不与 A，B 重合的一点，设
，则 的最大值为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由向量数量积的运算律可得 ，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为 C 是弧 AB 上不与 A，B 重合的一点，且 ，
由向量的性质可知 ， ，
由 可得 ，
化简可得 ，
即 ，即 ，
解得 ，且 ， ，
则 ，当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最大值为 .
故选：D
8. 已知平面向量 ，则 的最小值是（ ）
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A. 1 B. 2 C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由题设 分别在以 为原点，半径为 的圆上运动，且 ，数形结合及向量加法
的几何意义确定 的范围，即可得答案.
【详解】由题设， 分别在以 为原点，半径为 的圆上运动，且 ，
所以 ，若 是 的中点，则 ，而 ，如下图示，
由图知， ，而 ，即 .
所以 的最小值是 .
故选：D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知 ，则（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 的最小值为
D. 向量 与向量 的夹角为钝角，则 的取值范围为
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【答案】ABC
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标公式即可判断 A；根据向量垂直的坐标公式即可判断 B；根据向量的模的坐标
公式结合二次函数的性质即可判断 C；由向量与向量的夹角为钝角，可得 且 不共线，进而可判
断 D.
【详解】对于 A，若 ，则 ，故 A 正确；
对于 B，若 ，则 ，故 B 正确；
对于 C， ，则 ，当
时， ，故 C 正确；
对于 D，因为向量 与向量 的夹角为钝角，所以 且 不共线，由 ，
由 得 ，所以的取值范围为 ，故 D 错误.
故选：ABC.
10. 已知函数 ，则正确的是（ ）
A. 函数 的零点为
B. 当 时，不等式 的解集为
C. 当 时，函数 的单调递减区间为
D. 函数 的值域为
【答案】AC
【解析】
【分析】A 选项，利用辅助角公式得到 ，整体法求出函数零点；B 选项，先求出
，不等式变形为 ，结合正弦函数的性质解不等式，求出解集；C 选
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项，由已知得到 ，根据正弦函数的单调性求出单调递减区间；D 选项，利用三角恒等变换
得到 ．
【详解】A 选项， ，
令 ，解得 ，故 的零点为 ，正确；
B 选项， 时， ，
，
所以 ，解得 ，错误；
C 选项， 时， ，令 ，解得 ，正确；
D 选项，
，
因为 ，所以 ，错误．
故选：AC
11. 已知点 P 在 所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 P 为 的垂心， ，则
B. 若 为边长为 2 的正三角形，则 的最小值为
C. 若 为锐角三角形且外心为 P， 且 ，则
D. 若 ，则动点 P 的轨迹经过 的外心
【答案】ACD
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【解析】
【分析】对于 A：利用三角形相似及数量积的几何意义判断；对于 B：构建直角坐标系，由向量数量积的坐
标表示列式求最值；对于 C：由已知得 ，进而可知 B，P 与 AC 中点共线，结合外心的性质
有 BD 垂直平分 AC 即可判断；对于 D： ，即可判断．
【详解】对于 A：如下图， ， ，则 AD 与 BE 的交点即为垂心 P，
易知： ∽ ，所以 ，则 ，
根据向量数量积的几何意义知： ，
同理 ，所以 ，正确；
对于 B：如图构建以 BC 中点 O 为原点的直角坐标系，则 ，设 ，
所以 ， ，由 ，
则 ，
当 ， 时， 的最小值为 ，错误；
对于 C：由题设 ，则 ，
所以 ，若 D 为 AC 中点，则 ，故 ，
故 B，P，D 共线，
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又 ，即 BD 垂直平分 AC，所以 ，正确；
对于 D：设 BC 的中点为 M，则 ，
，
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又 BC 的中点为 M，即 P 在 BC 的垂直平分线上，
则动点 P 的轨迹经过 的外心，正确．
故选：ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知向量 ， ，且 ，则
__________________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据平面向量垂直的坐标表示化简得出 的值，然后利用诱导公式、二倍角的正弦、余弦公式
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以及弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】因为向量 ， ，且 ，则 ，
所以， ．
因此，
.
故答案为： .
13. 在平面内有三个向量 ， ， ， ， 与 的夹角为 120°， 与 的夹角
为 30°， ，设 ，则 _______．
【答案】15 或 0.
【解析】
【分析】
作图分析边角关系,分两种情况讨论求解即可.
【详解】解析：（1）当向量 在 内部时,如图所示,作平行四边形 ,
则 , .
在 中, ,
则 ,
所以 .
又 ,
所以 ,
所以 ,
所以
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（2）当向量 在 外部时,如图,作平行四边形 .由题意知 ,
则四边形 为菱形,
所以 .
因为 ,所以 ,
所以 .
所以 .
综上可知 或 0.
误区警示：本题容易漏掉向量 在 外部的情形,从而得到错误答案 15.
故答案为：15 或 0.
【点睛】本题主要考查了基底向量的线性表达以及画图分析向量的方法,需要根据题意分析其中的边角关系,
属于中等题型.
14. 已知 是同一平面上的三个向量，满足 ， ，则 与 的夹角等于_________；
若 与 的夹角为 ，则 的最大值为_________.
【答案】 ① ②. 4
【解析】
【分析】第 1 空，利用 可得；
第 2 空，根据向量夹角的关系，利用向量的几何表示，设 ， ， 确定 为 的
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外接圆直径时最大，进而可得.
【详解】第 1 空： ，因 ，故 ，
第 2 空：设 ， ，则 ,
设 ，则 ， ，因 与 的夹角为 ，
而 ，故 在两段优弧上，如下图，
右上方的弧所在圆的半径为 ，左下方的弧所在的圆的半径为 2 且圆心为 ，
结合图形可得 即 可取得最大值为直径即为 ，
故答案为： ；4
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知 是平面内两个不共线的非零向量， ，且
三点共线．
（1）求实数 的值；
（2）已知 ，点 ，若 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点 A
的坐标．
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【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据已知有 ，结合三点共线有 ，得 ，
根据已知列方程求参数即可；
（2）根据已知得 ，结合 的坐标表示求点坐标.
【小问 1 详解】
由题意， ，
由 三点共线，存在实数 k，使得 ，
即 ，得 ，
是平面内两个不共线的非零向量，
，解得 ．
【小问 2 详解】
，
由 四点按逆时针顺序构成平行四边形，则 ，
设 ，则 ， ，
所以 ，解得 ，即点 A 的坐标为 ．
16. 如图，在等边三角形 中，点 满足 ，点 满足 ，点 是 边上的中点，
设 ．
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（1）用 表示 ；
（2）若 的边长为 2，试求 与 夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量基本定理得到 ；
（2）先由平面向量基本定理得到 ，从而结合（1）中 ，求出
，再求出 ， ，从而利用向量夹角余弦公式求出答案
【小问 1 详解】
点 满足 ，点 是 边上的中点，
故 ，
；
【小问 2 详解】
点 满足 ，
故 ，
等边 的边长为 2，设 与 夹角为 ，
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，
，
故 ，
，
故 ，
则 .
17. 已知函数 的部分图象如图所示．
（1）求函数 的解析式和对称中心；
（2）将函数 的图象上所有的点向左平移 个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来
的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象．若方程 在 上有三个不相等的实数
根 ，求 的值．
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【答案】（1） ；对称中心
（2）
【解析】
【分析】（1）根据图象可求周期与振幅，再根据最高点可求初相位，从而可得函数解析式，根据正弦函数
的对称中心结论求解对称中心即可；
（2）利用图象变换可求 解析式，根据 在 上的单调性可求 的值，从而可求
的值．
【小问 1 详解】
由图可得 ，
又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 过点 ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 ．
令 得 ，
所以函数 的对称中心为 .
【小问 2 详解】
将函数 的图象上所有的点向左平移 个单位，
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则所得图象对应的解析式为 ，
再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变）得 的图象，
则 ，
当 时， ，
而 在 上为减函数，在 上为增函数，在 上为减函数，
故 在 上为减函数，在 上为增函数， 为减函数，
， ，故当 时， 函数 的函数图像如下，
因为 在 上有三个不相等的实数根，故 ．
且 ， ，
所以 ，故 ．
18. 如图 1 所示，在 中，点 在线段 BC 上，满足 是线段 AB 上的点，且满足
，线段 CG 与线段 AD 交于点 ．
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（1）若 ，求实数 x，y 的值；
（2）若 ，求实数 的值；
（3）如图 2，过点 的直线与边 AB，AC 分别交于点 E，F，设 ， ，求
的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算以 为基底表示 ，进而求解；
（2）根据向量的线性运算以 为基底表示 ,又因为两向量共线所以具有倍数关系，求出 的
值；
（3）根据向量的线性运算以 为基底表示 ，又因为 三点共线，所以系数之和为 1，得出
，然后应用基本不等式中 1 的代换求出 的最小值.
【小问 1 详解】
因为 所以 ，
所以 ,
所以 .
【小问 2 详解】
由题意可知： ，
，
又因为 三点共线，所以存在实数 使得 ,
，
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所以 ，解得： ，
所以 .
【小问 3 详解】
易知 ，
由（2）知
，
又因为 三点共线,所以 ，又 ，
所以： ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 .
19. 设 为坐标原点，定义非零向量 的“友函数”为 ，向量
称为函数 的“友向量”.
（1）记 的“友函数”为 ，求函数 的单调递增区间；
（2）设 ，其中 ，求 的“友向量”模长的最大值；
（3）已知点 满足 ，向量 的“友函数” 在 处取得最大值.当点
运动时，求 的取值范围.
【答案】（1） ，
（2）
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（3）
【解析】
【分析】（1）根据定义直接可得函数解析式并化简，进而可得函数的单调递增区间；
（2）化简函数解析式，可判断函数 的“友向量”，进而可确定其模长；
（3）根据三角函数性质直接可得函数取得最值时 根据不等式可得 ，再
利用齐次式可得 的最值.
【小问 1 详解】
由已知 ，
则令 ， ，
解得 ， ，
即函数的单调递增区间为 ， ；
【小问 2 详解】
，
则 的“友向量”为 ，
所以
，
又 ，所以当 ， 时， 取得最大值为 ；
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【小问 3 详解】
由已知点 满足 ，
则 ， ，且 ，
又 ，且 ，
且当 ， 时，函数 取得最大值，
即 ，
所以 ，
即 ，
又 ，
设 ，则原式 ，
且在 上单调递减，
所以 .
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