专题17 最值模型之瓜豆模型原理-2025年中考数学二轮专题（江西专用）(原卷版+解析版)

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc17383" PAGEREF _Tc17383 \h 1
\l "_Tc32032" 模型1.最值模型之瓜豆直线轨迹原理模型 PAGEREF _Tc32032 \h 1
\l "_Tc20762" 模型2.最值模型之瓜豆圆弧轨迹原理模型 PAGEREF _Tc20762 \h 6
\l "_Tc28847" PAGEREF _Tc28847 \h 16
模型1.最值模型之瓜豆直线轨迹原理模型
瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同。
只要满足：
则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。
1、两“动”，一“定”
2、两动点与定点的连线夹角是定角
3、两动点到定点的距离比值是定值
动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在直线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
模型1）如图，P是直线BC上一动点，A是直线BC外一定点，连接AP，取AP中点Q，当点P在直线上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。

证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，
因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
模型2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ=为定值，当点P在直线BC上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。
证明：在BC上任取一点P1，作三角形△AP1Q1，且满足∠P1AQ1=，AQ1=AP1，连结Q1Q交BC于点N，
∵AP=AQ，AQ1=AP1，∠P1AQ1=∠PAQ=，，∴∠APP1=∠AQQ1，
∵∠AMP=∠NMQ，∴∠MNQ=∠PAQ=，即Q点所在直线与BC的夹角为定值，故Q点轨迹是一条直线．
当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。
1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；
2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。
3）确定动点轨迹的方法（重点）
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1）；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2）；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；
④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；
注意：若动点轨迹用上述方法不好确定，则也可以将所求线段转化（常用中位线、全等、相似、对角线）为其他已知轨迹的线段求最值。
例1．（2024·四川达州·一模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 .
【答案】//
【分析】如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点Q在射线上运动，求出，可得结论．
【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．
∵四边形是矩形，∴，∵都是等边三角形，
∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，
∵，，∴点Q在射线上运动，
∵，∴，∵，∴．据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q的在射线上运动．
例2．（2023上·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点C是y轴上一动点，设其坐标为，线段绕点C逆时针旋转至线段，则点B的坐标为 ，连接，则的最小值是 ．

【答案】
【分析】本题考查坐标与图形变化一旋转，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考常考题型．
设，过点作轴，垂足为点，证明，推出，可得点的坐标为，推出点的运动轨迹是直线，根据垂线段最短解决问题即可．
【详解】设，过点作轴，垂足为点，

∵线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，
∵点，点，∴点的坐标为，∴点的运动轨迹是直线，
∵直线交轴于，交轴于，
过点作于．则，
根据垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为，故答案为：；．
例3．（2024·山东济南·一模）【问题情境】：（1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______．
【类比探究】：（2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接．判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由：
【拓展提升】：（3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值．

【答案】（1）；（2）判断：，理由见解析；（3）
【分析】（1）由正方形的性质得，，，，则有，即可证明，有成立；（2）由矩形的性质得，，结合题意可证得，则有，故；（3）过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，则，结合矩形的性质证得，有，即可证得，得到，得，则点G的运动轨迹是直线，作点D关于直线的对称点，则，得到的值最小为，将，利用勾股定理即可求得．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，∴，，
∵四边形是正方形，∴，，∴，
则，那么，，故答案为：；
（2）判断：，理由如下：∵四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，∴，
∵，，∴
∴，∴，∴；故答案为：；
（3）如图，过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，
则，∵四边形是矩形，∴，，，

∵，∴，∵，，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴点G的运动轨迹是直线，
作点D关于直线的对称点，则，
∴当点B，G，三点同一直线时，的值最小，即为，由（2）得 ，∴，
∴，∴的最小值为的最小值，即，
∵，，∴，
∴∴，∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质以及勾股定理，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和线段之间的转化及最短距离的求解．
模型2.最值模型之瓜豆圆弧轨迹原理模型
“主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。
模型1、运动轨迹为圆弧
模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？
分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。
此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。

分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。
（1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）
如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。

（2） 定边对定角（或直角）模型
1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。
例1．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，中，，，点D是的中点，P是以A为圆心，以为半径的圆上的动点，连接，则 的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查了解直角三角形，根据阿氏圆的定义，分别固定，分别确定A点的运动轨迹为阿氏圆O，C点的运动轨迹为阿氏圆，，由此可知，当最最小时，的值最大，进行求解即可.
【详解】解：固定，则，∴A点的运动轨迹为阿氏圆O，
设，则，，则，
∵，，∴C点的运动轨迹为阿氏圆，∴，
∴，∴当最小时，的值最大，
，∴，故选：D．
例2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（ ）
A．3B．4C．D．5
【答案】A
【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，圆的确定，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，取的中点，连接，，证明在以为圆心，为半径的圆上，即可得到答案．
【详解】解：如图，取的中点，连接，，
∵为的中点，，∴，∴在以为圆心，为半径的圆上，
当C，Q，G三点共线时，最大，，
∵，，，∴，∴，
∴，即的最大值为．故选A
例3．（2024·四川泸州·二模）如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是 ．

【答案】/
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，三角形全等的判定与性质，旋转的性质和最大值问题．连接，证明，得到，点在以为圆心，2为半径的上，当在对角线延长线上时，最大，再利用勾股定理求对角线的长，即可得出长度的最大值．
【详解】解：连接，∵正方形，∴，，

∵将绕点逆时针旋转得到，∴，，∴，
∴，∴，∴点在以为圆心，2为半径的上，
如图，当在对角线延长线上时，最大，
在中，，∴，
即长度的最大值为，故答案为：．
例4．（2020·江西·中考真题）已知抛物线（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ；
（2）求抛物线的表达式及的值；
（3）请在图1中画出所求的抛物线，设点为抛物线上的动点，的中点为，描出相应的点，再把相应的点用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？
（4）设直线（）与抛物线及（3）中的点所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为，，，，请根据图象直接写出线段，之间的数量关系 ．

【答案】（1）上，；（2），；（3）图象见解析，中点的轨迹为抛物线；（4）．
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】（1）由表中数据分析即可得到开口方向，及对称轴；
（2）代入，解方程组，即可求得表达式；代入即可得到的值；
（3）根据要求画出函数图象，并观察猜想即可；
（4）根据题目要求，画出图象，观察得结论即可．
【详解】（1）由表可知：；，x=2,y=-3可知抛物线开后方向向上；
由表可知：；，可知抛物线的对称轴为：
故答案为：上，
（2）由表可知：代入点得
，解得
∴抛物线的表达式为：
当时，
当时，
（3）作图如下：

OP中点连接后的图象如图所示：为抛物线

（4）如图所示：可得

【点睛】本题考查了二次函数的探究题，能根据表格求出抛物线的解析式，是解题的关键．
例5．（2024·吉林长春·二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程：
证明：延长至点，使，连接．
1°当点在直线外时，
2°当点在直线上时，易知．
综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接．
（1）当点是线段中点时，点的运动路径长为________________．
（2）当点在线段上运动时，连接．设线段长度的最大值为，最小值为，则________________．
【答案】问题解决：证明过程见解析；结论应用：（1）；（2）
【分析】问题解决：延长至点，使，连接．当点在直线外时，证明得出；当点在直线上时，则，即可得解；
结论应用：（1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆，由此计算即可得出答案：（2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小；当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大；分别求出的值即可得解．
【详解】问题解决：证明：延长至点，使，连接．
1°当点在直线外时，
在和中，，∴，∴；
2°当点在直线上时，则．
综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆；
结论应用：（1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆，
∴点的运动路径长为；
（2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆，
如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小，由题意得：，，，，
， ，
∴由勾股定理得：，∴线段长度的最小值为；
如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大，由题意得：，，
∵，∴，∴，，
∵，∴、、在同一直线上，∴，
∴，∴线段长度的最大值为，
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、求弧长、圆的相关知识点、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是解此题的关键．
一、单选题
1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，，点D为边上的动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】B
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识，由旋转的性质可得，由“”可证，可得，可得点E在过点C且垂直的直线上运动，则当时，的值最小，即的值最小，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
在中，，
∴，
∵将绕A点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点E在过点C且垂直的直线上运动，
∴当时，的值最小，即的值最小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即的值最小为，
故选：B．
2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，点B是x轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、坐标系中的动点问题（不含函数）
【分析】以为边向左侧作等边三角形，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短可得当轴时，的值最小，即此时的值最小，最后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，以为边向左侧作等边三角形，连接，
∴，．
∵为等边三角形，
∴，，
∴，即，
∴，
∴．
∴当轴时，最短，即此时最小．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，即在运动过程中，的最小值为3．
故选B．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
3．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，菱形边长为，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，则长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】垂线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，连接，可得和是等边三角形，进而证明得到，进而得到，延长交于，则在射线上运动，由等边三角形三线合一可得，即得到当点与重合时，取最小值，据此即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：连接，如图，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴和是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
延长交于，则在射线上运动，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
当点与重合时，取最小值，如图，
此时，，
故选：．
4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，的半径为4，弦的长为，点P为优弧上一动点，交直线于点C，则的面积的最大值是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】含30度角的直角三角形、求一点到圆上点距离的最值、解直角三角形的相关计算
【分析】如图，选取圆心，连接，，过点O作于点D．证明，判断出点C在以为圆心，为半径的圆上运动可得结论．
【详解】解：如图，选取圆心，连接，，过点O作于点D．

∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点C在以为圆心，为半径的圆上运动，
当点在的垂直平分线上时，的面积最大，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴面积的最大值．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，垂径定理，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是判断出点C的运动轨迹．
5．（2024·河南周口·一模）如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（ ）.
A．4B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查旋转变换，轨迹，菱形的性质，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识．取的中点．连接，，，作交的延长线于．利用全等三角形的性质证明，点的运动轨迹是射线，由“”可证，可得，推出，求出即可解决问题．
【详解】解：如图，取的中点．连接，，，作交的延长线于，
，，，点是的中点，，，
，是等边三角形，，，
，，，，
，，点的运动轨迹是射线，
，，，，，，
在中，，，，，，
在中，，，的最小值为，故选：C．
二、填空题
6．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，，是边上的一动点，连接，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为 ．
【答案】1
【知识点】垂线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、根据旋转的性质求解
【分析】在上截取，连接，过点作于点，证明，得出，结合垂线段最短可知当点与点重合时，最短，即最小，且为的长．最后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：在上截取，连接，过点作于点，如图，
，，
，
由旋转可知，，
，即，
在和中，
，
，
，
当最短时，最小，
垂线段最短，
当点与点重合时，最短，即为的长，
，，，
，
，
，
，
线段的最小值为1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．
7．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则长的最小值是 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、求一点到圆上点距离的最值、半圆（直径）所对的圆周角是直角
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的性质．连接，取中点O，连接；根据圆周角定理，由为直径，得到，由得到点在以为直径的⊙上，当点、、共线时，最小，利用勾股定理求出，进而求得线段长度的最小值．
【详解】解：如图，连接，取中点O，连接；
为直径，
，
，
点在以为直径的上，
，则的半径为，
当点、、共线时，最小，
在中，，，
，
，
即线段长度的最小值为．
故答案为：．
8．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，为半圆O的直径，点C在半圆上一动点（与A、B不重合）．将绕点A逆时针旋转得，连接．若，则的最小值为 ．
【答案】/
【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、求一点到圆上点距离的最值、根据旋转的性质求解
【分析】根据旋转的性质，得，结合，得，设中点为M，则，结合，得点E的运动轨迹是以中点M为圆心，以为半径的半圆上，利用圆的性质，勾股定理解答即可．
【详解】解：根据旋转的性质，得，
∵，
∴，
设中点为M，
∴，
∵，
∴点E的运动轨迹是以中点M为圆心，以为半径的半圆上，
连接交于点N，
∴，
根据旋转的性质，得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据圆的性质，得当点E与点N重合时，取得最小值，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆的有关性质，熟练掌握勾股定理，圆的有关性质是解题的关键．
9．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在轴上，点的坐标为；中，，，，连接，点是中点，连接．将以点为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是 ．
【答案】3
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据旋转的性质求解
【分析】延长至E，使，连接，，即得出为中位线，得出．根据含30度角的直角三角形的性质可知，结合勾股定理可求出，由旋转可知，当点M在线段上时，有最小值，此时也最小，最后再次结合勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，延长至E，使，连接，．
∵的一条直角边在轴上，点的坐标为，
∴，，
∴，
∴．
∵点是中点，
∴为中位线，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∴．
∵将以点为旋转中心按顺时针方向旋转，
∴点C在以点O为圆心，半径为4的圆上运动，如图，
∴当点M在线段上时，有最小值，此时也最小．
∵，
∴，
∴，即线段的最小值是3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查坐标与图形，勾股定理，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，圆外一点到圆上一点的最值问题等知识．正确作出辅助线，理解当点M在线段上时，有最小值，此时也最小是解题的关键．
10．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解．
【详解】解，如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，

的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，
如图，当、、三点共线时，的值最小，
四边形是正方形，，，
是的中点，，，
由旋转得：，，
，的值最小为．故答案：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键．
三、解答题
15．（2023·山东临沂·二模）如图，矩形中，，，点E在线段上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．
(1)当点E在上时，作，垂足为M，求证：；(2)连接，点E从点B运动到点C的过程中，试探究是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)存在，
【分析】（1）利用旋转的性质，证明，即可得出结论；
（2）过点作于点，于交点为，根据全等和勾股定理，得出，点在射线上运动，当点与点重合时，有最小值，证明，得出，，进而得到，再证明，求出的长，即可得到的最小值．
【详解】（1）证明：由旋转的性质可知，，，，
在和中，，，

（2）解：存在，理由如下：如图，过点作于点，于交点为，
在矩形中，，，，，
，，，
，点在射线上运动，当点与点重合时，有最小值，
，，，，，
，，，
，，，，
，即的最小值为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，最短线段等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
12．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）（1）问题提出：如图①，在矩形中，，，是上一动点，则的最小值为_________
（2）问题探究：如图②，在正方形中，，点是平面上一点，且，连接，在上方作正方形，求的最大值．
（3）问题解决：为迎接2021年9月在西安举办的第14届全运会，打造体育历史文化名城，某小区对一正方形区域进行设计改造，方使大家锻炼运动．如图③，在正方形内设计等腰直角为健身运动区域，直角顶点E设计在草坪区域扇形的弧上．设计铺设和这两条不同造价鹅卵石路，已知米，米，，，若铺设路段造价为每米200元，铺设路段的造价为每米100元，请求出铺设和两条路段的总费用的最小值．

【答案】（1）（2）的最大值是（3）铺设两条路段总费用的最小值为10000元
【分析】（1）以为斜边构造的直角三角形，则，求的值即可；
（2）根据题意确定E点的运动轨迹，进而得出最大时点E的位置，求出即可；
（3）根据费用的关系可求出线段的最小值即可．
【详解】解：（1）以为斜边构造的直角，且，
此时，则，则当P、B、E在同一直线上时有最小值为，如下图：

即的最小值为如图所示的长度，，，
，，，，
又四边形为矩形，，，
，；
（2）为动点且，点E的运动轨迹为以C为圆心，半径为1的圆，
四边形为正方形，，即当最大时有最大值，
由图②知：当E在延长线上时的位置时，有最大值，
此时，，故的最大值是；

（3）由题意得：的费用为，
求费用最小值即为求的最小值，连接，，在上截取，
四边形时正方形，是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，，
，，，点F在以A为圆心，为半径的弧上，
，，，，即，
，当C、F、D三点共线时，有最小值，
在中，，
铺设和两条路段总费用的最小值为：（元），
即铺设和两条路段总费用的最小值为：（元）．
【点睛】本题考查两点之间线段最短、正方形性质、圆的性质等知识点，熟练掌握这些知识点是解题关键．
…
-2
-1
0
1
2
…
…
0
-3
-3
…
证明过程缺失