专题15 最值模型之将军饮马模型、将军遛马模型与将军过桥（造桥）-2025年中考数学二轮专题（江西专用）(原卷版+解析版)

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc14543" PAGEREF _Tc14543 \h 1
\l "_Tc29535" 模型1.最值模型之将军饮马模型双线段和的最小值 PAGEREF _Tc29535 \h 1
\l "_Tc908" 模型2.最值模型之将军饮马模型双线段差的最大值 PAGEREF _Tc908 \h 5
\l "_Tc7582" 模型3.最值模型之将军饮马多线段和的最值模型 PAGEREF _Tc7582 \h 8
\l "_Tc4363" 模型4.最值模型之将军遛马模型 PAGEREF _Tc4363 \h 12
\l "_Tc19849" 模型5.最值模型之将军造桥（过桥）模型 PAGEREF _Tc19849 \h 15
\l "_Tc173" PAGEREF _Tc173 \h 18
模型1.最值模型之将军饮马模型双线段和的最小值
条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。
模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧：

模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧：

图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。
模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。
例1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在正方形中、，点E在边上，且，点P是对角线上的动点，则的最小值为 ．

例2．（2023·山东青岛·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值；
(3)若抛物线上有一动点，使的面积为6，求点的坐标．
模型2.最值模型之将军饮马模型双线段差的最大值
条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。
模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧：


图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。
模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。
当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，
当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。
例1．（2024·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____．
例2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，为边中点，而点在边上，为对角线所在直线上一动点，已知，，且，则的最大值为 ．
例3．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且为对角线上一点，则的最大值为 ．

模型3.最值模型之将军饮马多线段和的最值模型
模型（1）：两定点+两动点
条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3）

图1-1 图1-1 图1-1 图2
模型（2）：一定点+两动点
条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。

图1-1 图1-1 图1-1 图2
模型（1-1）（两点都在直线外侧型）
如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。
模型（1-2）（直线内外侧各一点型）
如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。
模型（1-3）（两点都在直线内侧型）
如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’,
根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。
模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B,
根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，
再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。
例1．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在等边三角形中，，D、E是边上的三等分点，点M、N分别在边，上运动，则四边形周长的最小值是 ．
例2．（2024·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点，点在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，，则四边形周长的最小值为 ．
模型4.最值模型之将军遛马模型
将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。
点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）；

图1-1 图1-2
将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。
∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB，
再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB.

图1-1 图1-2
将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。
∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB，
根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’，
再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。
例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是菱形的对角线，，点E，F是AC上的动点，且，若，则的最小值为 ．
例2．（2024·四川广安·二模）如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知点，，则的最小值为 ．
模型5.最值模型之将军造桥（过桥）模型
将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。

图2-1 图2-2
将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B，
∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N，
∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。
再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。
例1．（23-24八年级下·福建漳州·期中）河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短．确定桥的位置的方案如下：作从A到河岸的垂线，分别交河岸，于F，G．在上取，连接，交于D．在D处作到对岸的垂线，那么就是造桥的位置，请你对方案可行性给出证明．

例2．（2023.山东中考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；(3)在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．
一、单选题
1．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，的半径为，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，直线与两坐标轴分别交于，两点，点是的中点，点，分别是直线，轴上的动点，则的周长的最小值是( )
A．B．C．D．
3．（2024·广东深圳·三模）如图，在等腰中，，，为的中点，为上一点，且，是上两动点，且，则的最小值为（ ）
A．8B．C．D．10
4．（2024·贵州安顺·二模）如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知点，，则的最小值是（ ）
A．B．4C．D．
二、填空题
5．（2023·江西抚州·二模）如图，正方形的边长为，的平分线交于点．若点，分别是和上的动点，则的最小值是 ．
6．（2024·湖南·模拟预测）如图，在矩形中，分别是上的点（点分别不与点重合），且，则的最小值为 ．
7．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在边长为5的正方形中，点E在线段中运动，点F在射线上运动，其中，连接、，则的最小值为 ．
8．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，点A关于抛物线对称轴的对称点为点D，点E在y轴上，点F在以C为圆心，半径为的圆上，则取得最小值是 ．
三、解答题
9．（2024·山东济南·三模）如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为．
(1)求抛物线M的表达式和点A的坐标；
(2)点F是线段上一动点，求周长的最小值；
(3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标．
10．（2024·陕西咸阳·模拟预测）【问题探究】
（1）如图①，点P是等边内一点，，，，则的度数为______；
【类比迁移】
（2）如图②，若点P是正方形内一点，，，，求的长；
【拓展应用】
（3）如图③，某公园有一块矩形水池，米，米，为方便观赏游玩，工作人员计划在水池内P，Q两点处增加亭台，连接，且，怎样选择点P和点Q的位置，可以使最小？并求出的最小值．
11．（2024·福建泉州·模拟预测）平面直角坐标系中，点、都是x轴负半轴上的点，以为一边向上作矩形，矩形另一边，点E为线段上一点，沿直线折叠边，使点D落在x轴上点F处．
(1)求点F的坐标（用含m的式子表示）；
(2)如图2，设抛物线经过A、E两点，其顶点为M，
①连接，若是直角三角形，求m的值．
②过点E作x轴的垂线，在直线上截取线段（P在Q上方），当在直线上运动时，求四边形周长的最小值．
12．（24-25八年级上·河南郑州·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马”．
【问题描述】
如图，在直线上找一点使得最小?
【问题解决】
作点关于直线的对称点，连接，则，所以，当、、三点共线的时候，，此时为最小值（两点之间线段最短）
【应用模型】
（1）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，则四边形周长的最小值为_____．
（2）如图，长方形中，，，点、、、分别在矩形各边上，且，，求四边形周长的最小值?
【拓展延伸】
如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，、为函数的图象上的两个动点，则的最小值为_____．