专题12 相似三角形模型之半角模型与对角互补-2025年中考数学二轮专题（江西专用）(原卷版+解析版)

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc20547" PAGEREF _Tc20547 \h 1
\l "_Tc1394" 模型1.相似三角形模型之半角模型 PAGEREF _Tc1394 \h 1
\l "_Tc22432" 模型2.相似三角形模型之对角互补模型 PAGEREF _Tc22432 \h 15
\l "_Tc18324" PAGEREF _Tc18324 \h 26
模型1.相似三角形模型之半角模型
1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型）
条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45°

结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN；

图1 图2
证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF，
∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN；
结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN.
证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF，
∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN；
结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且；

图3 图4
证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°，
∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。
同理：△AND∽△AEC，；即。
结论：如图4，△AMN∽△AFE且．
证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN；
又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。
2）半角模型（含120-60°半角模型）
图5
条件：如图5，已知∠BAC＝120°，；
结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。
证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC，
∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：，
同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；，
∴，∵AD=AE=DE，∴
例1．（2024·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长．
（2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长．
（3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系．
例2．（23-24九年级下·江苏宿迁·期末）数学兴趣小组探究了以下几何图形、如图①，把一个含有角的三角尺在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点M，N，连接可得．
【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点H在直线上，求证：；
【探究二】在图②中，连接，分别交，于点E，F，求证：；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点E，F，连接交于点O，求E的值．
3．（2024·江西南昌·模拟预测）【模型建立】
(1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．
小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明．
①，，之间的数量关系为________；
②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．
【类比探究】
(2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由．
【模型应用】
(3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长．
模型2.相似三角形模型之对角互补模型
1）对角互补相似1
条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点，

结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；②
证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°，
∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°，
∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴，
∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴
∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴
2）对角互补相似2
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.

结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·.
证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°，
∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°，
∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴，
∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD·
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.
结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·.
证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°，
∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO，
∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°，
∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·.
3）对角互补相似3
条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。
结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。
证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。
∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°，
∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF；
例1．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：
(1)如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，四边形是“直等补”四边形吗？请说明理由；
(2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，．点到直线的距离为．
①求的长；
②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值．
例2．（23-24九年级上·吉林长春·期中）【问题解决】如图①，在中，点在边上（点不与点重合），点在边上，且．连结并延长至点，使，连结．求证：．
【拓展探究】如图②，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点，连结．若，，则的长为__________．
例3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该小组继续利用上述结论进行探究．
【提出问题】如图， 在线段同侧有两点，，连接，，，， 如果，那么，，，四点在同一个圆上．
【探究展示】如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与， 重合），连接，，
则（依据）
∵，
∴，
∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点， 都在点，，所确定的上（依据）
∴点，，，四点在同一个圆上；
【反思归纳】
圆内接四边形对角互补；
对角互补的四边形四个顶点共圆；
过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；
同圆中，同弧所对的圆周角相等；
（）上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？依据： ；依据： ．（从框内选一个选项，直接填序号）
（） 如图，在四边形中，，，则的度数为 ；
【拓展探究】
（）如图4， 已知 是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于， 连接，．
求证：，，，四点共圆；
若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
1．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在菱形中，，，为正三角形，点分别在菱形的边，上滑动，且点不与点重合，连结，与交于点．
(1)的形状为 ；
(2)求证：当点在边上滑动时，总有；
(3)求四边形周长的最小值；
(4)在不添加辅助下的情况下，图中始终与相似的三角形有 个，并直接写出与相似比为时线段的长．
2．（2023·河南信阳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝ ；
（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝ （用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．
3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图①，在正方形中，点、分别在边、上，连结、、，，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．
【实践探究】
（1）在图①条件下，若，，则的长为_____．
（2）如图②，点、分别在边、上，且，点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图③，在矩形中，，，点、分别在边、上，连结，，已知，，求四边形的面积．
4．（2024·江苏淮安·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究．
在中，，，是边上一点，且(为正整数），、分别是边和边上的点，连接，且．
【初步感知】（）如图，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程．
【深入探究】（）如图，当，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明；
请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．
【拓展运用】（）如图，点为靠近的四等分点，连接，设的中点为，若，求点从点运动到点的过程中，请直接写出点运动的路径长．
5．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）【问题提出】
如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，连接．探究线段之间的数量关系．
【方法感悟】
（1）小明组同学利用构造全等三角形的方法探究三条线段的关系：如图2，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，从而得到正确结论．小明组同学的结论是___________；
小亮组同学对小明组构造全等三角形的环节提出了不同的看法，借助旋转三角形的方式探究问题：将绕点A顺时针旋转90°得到，再证明，从而得到与小明组相同的结论．
【方法迁移】
（2）如图3，在中，，沿边翻折得到，点B的对应点为点D，点E，F分别在边上，且．试猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想．
【问题拓展】
（3）如图4，在四边形ABCD中，，点E，F分别在边上，且，试猜想当与满足什么关系时，可使得．请直接写出你的猜想．
（4）如图5，在四边形中，，，与为对角线，．若，，求的长．
6．（2024·四川成都·二模）如图，在矩形中，（n为正整数），点E是边上一动点，P为中点，连接，将射线绕点P按逆时针方向旋转，与矩形的边交于点F．
【尝试初探】（1）在点E的运动过程中，当点F在边上时，试探究线段，之间的数量关系，请写出结论并证明；
【深入探究】（2）若，在点E的运动过程中，当点F在边上时，求的最小值；
【拓展运用】（3）若，设的中点为M，求点E从点B运动到点C的过程中，点M运动的路程（用含n的代数式表示）．