专题13 全等与相似三角形模型之十字架-2025年中考数学二轮专题（江西专用）(原卷版+解析版)

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc31408" PAGEREF _Tc31408 \h 1
\l "_Tc27148" 模型1.全等模型之正方形中的十字架型 PAGEREF _Tc27148 \h 1
\l "_Tc10254" 模型2.相似模型之矩形中的十字架型 PAGEREF _Tc10254 \h 9
\l "_Tc24052" 模型3.相似模型之等边三角形中的斜十字型 PAGEREF _Tc24052 \h 19
\l "_Tc28659" 模型4.相似模型之直角三角形中的十字型 PAGEREF _Tc28659 \h 22
\l "_Tc21648" PAGEREF _Tc21648 \h 26
模型1.全等三角形模型之正方形中的十字架型
条件：1）如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；结论：AE=BF。

证明：四边形是正方形，，，∴
AE⊥BF，∴，，，∴AE=BF。
条件：2）如图2，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；结论：AE=GF。
证明：在FC上取一点P，使得GB=PF，连结BP。
四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP，
同1）中证明，可得AE=GF。
条件：3）如图3，正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF；
结论：HE=GF。

证明：在FC、BE上取一点P、Q，使得GB=PF，AH=QE，连结BP、AQ。
四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP，
同理可证得：四边形是平行四边形，∴AQ//HF，AQ=HF，同1）中证明，可得HE=GF。
例1．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）在正方形中，是边上一点，（点不与点，重合），连接．
(1)如图，过点作交于点．证明：．
(2)如图，取的一点，过点作交于点，交于点．求证：．
例2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）【问题解决】
如图，在矩形中，点分别在边上，，于点．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由．
【类比探究】
（3）如图，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，，，，求的值．
例3．（24-25九年级上·海南三亚·阶段练习）如图1，在正方形中，点分别是边上的点，且．
(1)求证：．
(2)如图2，在图1的基础上，过点E作的垂线，与正方形的外角的平分线交于点N，连接．求证：四边形是平行四边形．
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若四边形的面积是25，，请求出的长度．
模型2.相似三角形模型之矩形中的十字架型
1）条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：.
证明：四边形为矩形，，；
DE⊥AC，，，，，.
2）条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：.
证明：如图，过点F作于点G，则；
四边形为矩形，，四边形为矩形，；
；EF⊥AC，，；
，，，易证：DC=AB，FG=BC，.
3）条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，EF⊥MN，结论：.
证明：如图：过点N、F作、垂直，；
四边形为矩形，，四边形为矩形，；
∵EF⊥MN，，∴；
又∵（对顶角相等），∴；
∴，，易证：NH=AB，FG=BC，.
例1．（24-25九年级下·安徽安庆·开学考试）在矩形中，E为上的一点，过B作的垂线，垂足为点G，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求四边形的面积．
例2．（2025·广东深圳·三模）【问题提出】
（1）如图，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接与交于点，若，求证：；
【迁移应用】
（2）如图，在中，，，点，分别是边，上的点，连接交于点，且，求的值；
【拓展提高】
（3）如图，在四边形中，点是边上的一点，连接与交于点，，，，请直接写出的值．
例3．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践
已知矩形，点在边上，点在边上，点在边上，，垂足为点．
(1)如图1，当时，点与点重合时，则与的数量关系是：_______（填“>”、“=”、“