专题37 最值模型之瓜豆模型（原理）直线-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（全国通用）

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\l "_Tc11866" 模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹） PAGEREF _Tc11866 \h 1
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模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹）
瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同。
只要满足：
则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。
1、两“动”，一“定”
2、两动点与定点的连线夹角是定角
3、两动点到定点的距离比值是定值
动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
模型1）如图，P是直线BC上一动点，A是直线BC外一定点，连接AP，取AP中点Q，当点P在直线上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。

证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，
因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
模型2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ=为定值，当点P在直线BC上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。
证明：在BC上任取一点P1，作三角形△AP1Q1，且满足∠P1AQ1=，AQ1=AP1，连结Q1Q交BC于点N，
∵AP=AQ，AQ1=AP1，∠P1AQ1=∠PAQ=，，∴∠APP1=∠AQQ1，
∵∠AMP=∠NMQ，∴∠MNQ=∠PAQ=，即Q点所在直线与BC的夹角为定值，故Q点轨迹是一条直线．
当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。
1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；
2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。
3）确定动点轨迹的方法（重点）
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1）；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2）；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；
④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；
注意：若动点轨迹用上述方法不好确定，则也可以将所求线段转化（常用中位线、全等、相似、对角线）为其他已知轨迹的线段求最值。
例1．（2024·山东泰安·校考一模）如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
例2．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，是边长为2的等边三角形，点E为中线BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF．连接，则 ，连接，则周长的最小值是 ．
例3．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四边形为矩形，对角线与相交于点，点在边上，连接，过做，垂足为，连接，若，，则的最小值为 ．
例4．（2023·安徽·合肥三模）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在BC，AB边上，连接DE，将△BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱形，则AF的长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例5．（2024·四川达州·一模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 .
例6．（2024·重庆模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点逆时针旋转，得到点，连接，则最小值为______．
例7．（2024·广东·九年级校考期中）如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（ ）
A．2B．2.5C．D．
1．（2024·河南周口·一模）如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（ ）.
A．4B．C．D．
2．（2024·湖南长沙·一模）如图，矩形中，，F是上一点，E为上一点，且，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，则的最小值为 ．
3．（2023·江苏宿迁·三模）如图，在矩形中，，，点为矩形对角线上一动点，连接，以为边向上作正方形，对角线交于点，连接，则线段的最小值为

4．（2023上·湖北武汉·九年级校联考期中）如图，已知，B为上一点，于A，四边形为正方形，P为射线上一动点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得，连接，若，则的最小值为 ．

5．（2023上·陕西渭南·九年级统考期中）如图，在矩形中，，点为边的中点，连接．点是边上一动点，点为边的中点，连接．当时，的最小值是 ．

6．（2023上·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点C是y轴上一动点，设其坐标为，线段绕点C逆时针旋转至线段，则点B的坐标为 ，连接，则的最小值是 ．

7．（2024·山东校考一模）如图，正方形中，，点E为边上一动点，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，则的最小值为__________．
8．（2023·江苏连云港·统考一模）如图，在矩形中，，，点为边上的动点，连接，过点作，且，连接，则线段长度的最小值为______．
9．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点在直线上，于点，，点在直线上运动，以为边作等边，连接，则的最小值为 ．
10．（2024·四川达州·三模）如图，在等腰中，，，点是边上一动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接， ，则的最小值是 ．
11．（2024·四川成都·一模）如图，在矩形中，，点，为直线上的两个动点，且，将线段关于翻折得线段，连接．当线段的长度最小时，的度数为 度．
12．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，连接，则的最小值为 ．

13．（2024九年级下·江苏·专题练习）等边边长为6，D是中点，E在上运动，连接，在下方作等边，则周长的最小值为 ．
14．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）在等腰△ABC中，AC＝AB，D是BC延长线上一点，E是线段AB上一点，连接DE交AC于点F．
(1)如图1，求证：；(2)如图2，若∠A＝90°，DF＝EF，DF：AE＝5：3，DF＝2，求CD的长；
(3)如图3，若∠1＝60°，BC＝2CD＝6，E在直线AB上运动，以DE为斜边向上构造直角△DTE，且∠E＝30°，请直接写出CT的最小值是 ．
15．（2023·山东临沂·二模）如图，矩形中，，，点E在线段上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．
(1)当点E在上时，作，垂足为M，求证：；(2)连接，点E从点B运动到点C的过程中，试探究是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
16．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点．(1)如图，若，，求点与点之间的距离；(2)如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值；(3)如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______．
17．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）【问题初探】数学课上张老师在讲完正方形的性质之后提出了一个问题：四边形是边长为3的正方形，点E是边上的一动点，连接，以为一边作正方形（点C，E，F，G按顺时针方向排列），连接，．
(1)如图1，求点G到的距离，请写出解答过程；
【类比分析】爱动脑的数学兴趣小组在研讨的过程中，也提出了一个问题：
(2)如图2，当经过点D时，求的长，请写出解答过程；
【学以致用】看到同学们兴致勃勃的样子，张老师说：“角相等可以是三角形全等的条件，也能推导出相似”，于是给同学们留了一道思考题：
(3)求代数式的最小值．经过小组研讨，组长小明进行了整理，给出了部分解题思路；
解题思路：如图3，作等腰直角，使，连接，，，则点C，D，三点共线，
由，，可得，
由，，可得，……请完成“……”部分的解答过程．
18．（2024·山东济南·一模）【问题情境】：（1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______．
【类比探究】：（2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接．判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由：
【拓展提升】：（3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值．