专题14 解直角三角形模型之实际应用-2025年中考数学二轮专题（江西专用）(原卷版+解析版)

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc6210" PAGEREF _Tc6210 \h 1
\l "_Tc5670" 模型1.解直角三角形模型之背靠背模型 PAGEREF _Tc5670 \h 1
\l "_Tc19853" 模型2.解直角三角形模型之叠合模型 PAGEREF _Tc19853 \h 6
\l "_Tc18256" 模型3.解直角三角形模型之拥抱模型 PAGEREF _Tc18256 \h 10
\l "_Tc8337" PAGEREF _Tc8337 \h 13
模型1.解直角三角形模型之背靠背模型
背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。

图1 图2 图3 图4 图5
重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB；
如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF；
如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。
例1．（2024·江西·中考真题）图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量，，，．（结果精确到）
(1)求“大碗”的口径的长；
(2)求“大碗”的高度的长．（参考数据：，，）
【答案】(1)“大碗”的口径的长为；
(2)“大碗”的高度的长为．
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
（1）证明四边形是矩形，利用，代入数据计算即可求解；
（2）延长交于点，求得，利用正切函数的定义得到，求得的长，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
答：“大碗”的口径的长为；
（2）解：延长交于点，如图，
∵矩形碗底，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
答：“大碗”的高度的长为．
例2．（2025·江西·模拟预测）踢正步是解放军战士的一门必修课．图1是一名解放军战士踢正步的场景，图2是它的示意图，已知，这名解放军战士的身高为，他到军帽的长为长的，为他的右臂（不含手掌），、分别为他的左腿和右腿，．（参考数据：，，结果保留到）
(1)若点到的垂直距离为，，求他的腿的长度；
(2)若（1）中条件不变，手臂的长度为，点到点的竖直距离为，，求军帽的长度．
【答案】(1)解放军战士的腿的长度为约为
(2)
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；
（1）如图，过点作于点，根据，即可求解；
（2）如图，过点作于点，先求得，进而求得， 根据军帽的长为长的，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点作于点
，，
解放军战士的腿的长度为.
（2）解：如图，过点作于点，
，，
，又，
，
．
例3．（2024·江西吉安·模拟预测）小丽与爸妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她，于点，于点，若爸爸到的水平距离，，（参考数据：，，）．
(1)求证：；
(2)求妈妈到的水平距离（即的长）；
(3)求秋千的起始位置距地面的高．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)秋千的起始位置处与距地面的高．
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、其他问题（解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，证明是解题的关键．
（1）由题意可知，，由同角的余角相等得，根据即可证明；
（2）在中，利用即可求解；
（3）由得到，根据勾股定理得到，由题意知，，即可得到答案．
【详解】（1）由题意可知，，
，
．
，
在和中，
，
；
（2），
，
在中，
，
∴．
（3），
，
∵．
，
由题意知，，
，
秋千的起始位置处与距地面的高．
模型2.解直角三角形模型之叠合模型

图1 图2 图3 图4
母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。
重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB；
如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。

图5 图6 图7 图8 图9
如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG；
如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG；
如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。
例1．（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪，从处测得塔的最高点的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪的高度为，塔身可抽象成线段．
(1)求测角仪与塔身的水平距离；
(2)求塔身的高度．（结果精确到）（参考数据：，，，）
【答案】(1)
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形求解．
（1）延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，则，，易得，根据勾股定理得出，最后即可解答；
（2）由（1）可知，，根据题意得出，，，则，，根据，即可解答．
【详解】（1）解：如图，延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，
则，，
由题意可知，，，
，
，
，
答：测角仪与塔身的水平距离为；
（2）解：由（1）可知，，
由题意可知，，，，
，
，
，
答：塔身的高度约为．
例2．（2024·江西南昌·模拟预测）每年的3月5日是“学雷锋纪念日”，为弘扬雷锋精神，某校九年级（1）班数学兴趣小组的同学们来到学校附近的雷锋像（图1）下敬献鲜花和花篮，集体朗诵《雷锋日记》部分章节，高唱歌曲《学习雷锋好榜样》，如图2，该兴趣小组的同学们利用所学的数学知识测量雷锋像的长度，表示底座高度，表示雷锋像人身的高度，在点D处测得点B的仰角，点C的仰角，后退2米到达点E处后测得点C的仰角，点A、D、E在同一直线上，．（参考数据：，，，，，，）
(1)求的度数；
(2)①求的长；
②求的长．
【答案】(1)
(2)①的长约为米；②的长约为米．
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．
（1）连接，过点作，由题意可知，，，，进而得到，再根据平行线的性质，得出，即可求解；
（2）①由题意可知，是等腰直角三角形，则令米，利用锐角三角函数列方程，求出，即可求解；
②由①可知，米，再利用锐角三角函数求出米，即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，过点作，
由题意可知，，，，
，
，
，，
，
；
（2）解：①由题意可知，，，，，米，
是等腰直角三角形，
，
令米，则米，
在中，，
，
，
即的长约为米；
②由①可知，米，
在中，，
米，
米，
即的长约为米．
模型3.解直角三角形模型之拥抱模型
拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。

图1 图2 图3 图4
重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE；
如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。
例1．（2024·江西九江·模拟预测）某市要新建一座红色文化雕塑，图1是效果图，图2是雕塑正面的大致示意图，在底座中，，，，雕塑主体是五边形，，，，，，．
(1)求的度数．
(2)求点到地面的距离．（参考数据：，，，）
【答案】(1)
(2)
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、多边形内角和问题、矩形的判定与性质、利用邻补角求角的度数，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
（1）下求出，再由多边形内角和求出的度数，最后再由邻补角计算即可得出答案；
（2）过作于，过作于，交于，过作于，作于，证明四边形是矩形，得出，，解直角三角形得出的长，再由，计算即可得出答案．
【详解】（1）解：，
，
，，，
，
；
（2）解：过作于，过作于，交于，过作于，作于，
则，
，
四边形是平行四边形，，
，四边形是矩形，
，，
在中，，
在中，，
，
即点到地面的距离为．
例2．（2024·江西景德镇·三模）滕王阁，与湖南岳阳岳阳楼、湖北武汉黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，世称“西江第一楼”．为了计算滕王阁的高度，如图，滕王阁前有一斜坡，长为5米，，高为，利用测角仪在斜坡底的点B处测得塔尖点D的仰角为，在斜坡顶的点A处测得塔尖点D的仰角为，其中点C，B，E在同一直线上．
(1)求斜坡的高度；
(2)求滕王阁的高度（结果保留一位小数，参考数据：，，，，）
【答案】(1)3米
(2)36.2米
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答此类题目关键是明确题意，利用勾股定理，三角函数等数量关系得到方程，求解即可．
（1）在中，利用正弦定义求解即可；
（2）过A作于F，利用勾股定理求出，在中，利用正切定义求出，在中，利用正切定义求出，然后根据构建关于的方程，即可求解．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
∴，
即斜坡的高度为3米；
（2）解：过A作于F，
则四边形是矩形，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴，
即滕王阁的高度为36.2米．
一、解答题
1．（2024·江西吉安·二模）图1是某政府机构办公楼前的标牌，将其外形抽象为图2，已知垂直于水平地面，，，，，．
(1)求证：．
(2)若，求标牌的高度（即点到地面的距离）．（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，，，，）
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、根据矩形的性质与判定求线段长、多边形内角和问题、平行线的性质在生活中的应用
【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，四边形内角和．解题的关键是把所给的所有线段都整理到直角三角形或矩形中．
（1）延长交水平地面于点．利用平行线性质得到，再结合四边形内角和，以及等量代换，即可证明；
（2）过点分别向，作垂线，，垂足分别为，．利用四边形内角和得到，利用解直角三角形得到，，由题易知四边形为矩形，得到，再根据标牌的高度为求解，即可解题．
【详解】（1）证明：如图，延长交水平地面于点．
，，
，即．
， ，
在四边形中，，
在四边形中，，
．
（2）解：如图，过点分别向，作垂线，，垂足分别为，．
，
．
，，，
，．
与都垂直于地面，．
四边形为矩形，
，
即标牌的高度为．
2．（2024·江西赣州·二模）图1是位于“革命摇篮”井冈山市的《井冈红旗》雕塑，其整体外形为基座和高高飘扬的红旗组成，中间镶嵌五角星、镰刀斧头和“井冈山”三字熠熠生辉，光彩夺目．如图2，是其正面简化示意图，延长交于点，测得，，，，m，m，m．
(1)求证：；
(2)点为《井冈红旗》雕塑的最高点，求点到地面的距离（结果精确到0.01m）．
（参考数据：，，）
【答案】(1)见解析
(2)19.27m
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、根据矩形的性质与判定求线段长、等边对等角、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，构造直角三角形，利用三角函数进行求解，是解题的关键．
（1）等边对等角，结合三角形的外角的性质，求出，进而得到，即可得证；
（2）作，，，交于点，得到四边形是矩形，分别解，，，求出，进一步求解即可．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
．
（2）解：如图，作，，，交于点，
，，四边形是矩形；
，
，
在中，，，
；
在中，，，
，
在中，，，
，
，
（m）．
答：点到地面的高度为19.27m．
3．（2024·江西吉安·模拟预测）图1是一把小折叠椅的实物图，图2是它的侧面平面图，当它完全展开时，测得，，．
(1)求的长；
(2)若地面，且为的中点，为的中点，求与之间的距离．（参考数据：，结果精确到）
【答案】(1)
(2)
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键．
（1）过点作于点．在中，解直角三角形得出，的长度，再在中，求出，得出，最后由，计算即可得解；
（2）过点作于点．由题意得出，在中解直角三角形得出的长，即可得解．
【详解】（1）解：如图，过点作于点．

在中，，，
∴，．
在中，，
∴．
∴．
（2）解：如图，过点作于点．
，
∵为的中点，为的中点，
∴．
∵，
∴．
在中，．
与地面的距离约为．
4．（2024·江西吉安·三模）如图，一座石桥的主桥拱是四弧形，某时刻添得水面的宽度为8米，拱高（的中点C到水面的距离）为2米．
(1)求主桥拱所在圆的半径．
(2)在主桥拱所在圆的圆心处有一水位检测仪，若过几天某时刻的水面为，检测仪观测点的仰角为，求此时水面的宽度．（参考数据：，，）
【答案】(1)主桥拱所在圆的半径长为5米
(2)此时水面的宽度约为9米
【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用、已知余弦求边长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】（1）连接，，构造，通过垂径定理得出是直角三角形，再利用勾股定理即可求解．
（2）设与相交于点，根据平行线的性质得出，为直角三角形，再利用锐角三角形的余弦值即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，．
∵是的中点，，
∴，所在的直线经过圆心．
设半径，则．
∵在中，，
∴，解得．
答：主桥拱所在圆的半径长为5米．
（2）（2）如图，设与相交于点．
由题意得．
∵，∴．
∵，
∴，∴．
∵在中，，
∴，
∴．
答：此时水面的宽度约为9米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形及应用，涉及垂径定理，勾股定理的应用及平行线的性质等知识，解决问题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题．
5．（2024·江西上饶·一模）暴雨过后，校园的两棵风景柏树同时侧倾在一起，如图，较低的树正好抵着高树的中点．救援的小明通过测量得到了以下数据：米，，（取）
(1)求两树的支撑点离地面高多少米？
(2)求高树比低树高多少米（结果保留一位小数）．
【答案】(1)为米
(2)高树比低树高米
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键；
（1）过点作于点，由，设米，米；由，得米，根据建立方程即可求解；
（2）由（1）得，的长度，由勾股定理得，由D是中点即可求得，从而求得，即高树比低树高多少．
【详解】（1）解：过点作于点，如图，
，
设米，米．
又，
，即米，
∵，
即，
解得：，
∴米；
答：为5.2米；
（2）解：由（1）得，（米），（米），
（米），
由勾股定理得，（米），
（米），
点是的中点，
（米），
（米），
答：高树比低树高5.7米．
6．（2024·江西吉安·二模）现如今，许多乡村、社区都安装了健身器材．如图1，这是健身器材中的骑马机，它是一种利用曲轴连杆机构原理，模拟人体在骑马状态下前后“字”立体摇摆，从而达到全身有氧运动的新型健身器材，其侧面的简图如图2所示，已知，，．
(1)若．求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求点到的距离．（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、证明四边形是平行四边形、三线合一、等边对等角
【分析】（1）根据等边对等角和三角形内角和得，，继而得到，即可得证；
（2）如图，过点作于点，延长，交于点，在中，得到，在中，得到，继而得到，可得结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，过点作于点，延长，交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴点到的距离为的长，
∵，，
∴在中，，
∵，，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴点到的距离约为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，平行四边形的判定，等腰三角形性质，等腰三角形三线合一性质，三角形内角和，平行线的判定和性质等知识点．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
7．（2024·江西抚州·一模）如图1是小丽使用手机自拍杆的图片，她眼睛望向手机屏幕上端的仰为，没得手与肘部形成的“手肘角”为，自拍时手机屏幕与手肘平行且手与自拍杆在同一条直线上．图2是其侧面简化示意图．
(1)_______度；
(2)如图2，测得．
①求仰角的度数；
②自拍时若小丽头顶与自拍杆端点B在同一水平线上，且肘部C正好落在小丽身体长度的黄金分割点上（此黄金分割点靠近头部），求小丽的身高．（结果保留小数点后一位）（参考数据：）
【答案】(1)134
(2)①；②小丽的身高为
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据矩形的性质与判定求线段长、黄金分割、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】此题综合性比较强，解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到几何图形中来考虑，就能迎刃而解．
（1）根据两直线平行，同旁内角互补可得答案；
（2）①过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，在中，利用直角三角形的边角关系定理求得，则可得，在中，利用直角三角形的边角关系定理求得，则结论可求；
②在中，利用直角三角形的边角关系定理求得，则为小丽的身高中黄金分割点与头顶之间线段的长，设小丽的身高为，利用黄金分割点的意义列出关于的方程，解方程即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
故答案为：134；
（2）①如图，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，如图，
则四边形为矩形，
∴．
在中，
∵，
∴．
∴．
在中，
∵，
∴，
∴．
∴估计仰角的度数约为；
②在中，
∵，
∴．
∵自拍时小丽头顶与自拍杆端点在同一水平线上，
∴为小丽的身高中黄金分割点与头顶之间线段的长．
设小丽的身高为，
∵正好落在小丽身体长度的黄金分割点上（此黄金分割点靠近头部)，
解得：，
∴小丽的身高为．
8．（2024·江西吉安·一模）图1是一段横截面为四边形CBNM（如图2）的防洪堤，在四边形中，已测得：，，；现有一位同学为了获得防洪堤横截面相关数据，采用如下方案测量：如图2，把一根长为6的竹竿斜靠在防洪堤上面C处（E与C重合），在离A端1.5的D处，测得它离地面高度为0.6，又量得坡面的长为4．（，，）
(1)试求出防洪堤的高和坡面倾斜角度数；
(2)当防洪堤上面宽时，计算防洪堤横截面的面积．
【答案】(1)
(2)
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】本题主要考查了解直角三角形实际应用．
（1）如图，过C作于F，于G，解直角三角形即可得到结论；
（2）过M作于，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据梯形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）如图，过C作于F，于G，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴．
（2）过M作于，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴．
9．（2024·江西宜春·一模）图1是一个活动宣传栏，图2是活动宣传栏侧面的抽象示意图，其中点，，，在同一直线上，支杆可绕点活动，是可伸缩横杆．已知，，．
(1)求活动宣传栏板与地面的夹角的度数；
(2)如图3，小明站在活动宣传栏板前的点处看宣传栏时（点，，在同一直线上），若视线垂直宣传栏板于点，此时测得，求小明的眼睛离地面的距离．（参考数据：，，，，，，结果精确到0.1）
【答案】(1)；
(2)小明的眼睛离地面的距离约．
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．
（1）作交于点，交于点，利用等腰三角形的性质结合余弦函数的定义求解即可；
（2）作交于点，证明四边形为矩形，分别求得和的长，利用解直角三角形的方法求解即可．
【详解】（1）解：作交于点，交于点，
∵，,
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：作交于点，
∴四边形为矩形，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∵视线垂直宣传栏板，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：小明的眼睛离地面的距离约．
10．（2024·江西南昌·一模）课本再现
如图1，某飞机于空中处探测到目标，此时飞机高度，从飞机上看地平面指挥台的俯角．

（1）求飞机与指挥台的距离．（结果取整数；参考数据：，，）
拓展应用
（2）如图2，该飞机于空中处探测到目标后，将点的位置传送给指挥台后，沿着北偏东的方向飞行，当飞行8000米后，飞机到达点处．求此时飞机的高度．（参考数据：，，）
【答案】（1）约；（2）约6000米
【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】
本题考查解直角三角形-仰角俯角、方向角问题，构造直角三角形是解答的关键．
（1）在中，利用正弦定义求解即可；
（2）过作交延长线于E，过A作于F，利用余弦定义求得即可求解．
【详解】解：（1）由题意，在中，，，，
∴；
（2）过作交延长线于E，过A作于F，
则，

在中，，米，
∴（米），
∴米，
答：此时飞机的高度为6000米．
11．（2023·江西萍乡·模拟预测）如图（1），是一个可调节靠椅，其抽象示意图如图（2）所示，已知两支脚架，在水平地面上，，为上固定的连接点，靠背可绕点旋转一定的角度，．

(1)求点到水平地面的距离；
(2)当时，求点到水平地面的距离；
(3)在（2）中的状态下，绕点将靠背向后调整到位置，若点在水平方向上移动的距离为，求靠背绕点旋转的度数．（参考数据：，结果保留位小数）
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、三线合一、根据等边对等角证明
【分析】（1）过点A作，垂足为，过点作，垂足为，先根据等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，从而可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
（2）过点作，交于点，过点作，垂足为，利用等腰三角形的性质可得，再利用平行线的性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答；
（3）过点作，垂足为，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，从而求出，最后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，

，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
点到水平地面的距离约为；
（2）解：过点作，交于点，过点作，垂足为，

，
，
∵，
，
，
，
在中，，
，
点到水平地面的距离，
点到水平地面的距离约为；
（3）解：过点作，垂足为，

由题意得：，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
靠背绕点旋转的度数约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12．（2023·江西九江·三模）如图1是某品牌的纸张打孔机的实物图，图2是从中抽象出的该打孔机处于打孔前状态的侧面示意图，其中打孔机把柄，是底座，与所成的夹角为36.8°，点是把柄转轴所在的位咒，且点到底座的距离．与一根套管相连，可绕点转动，此时，，套管内含打孔针，打孔针的顶端触及到，但与不相连，始终与垂直，且，．

(1)打孔针的针尖离底座的距离是多少厘米?
(2)压下把柄，直到点与点重合，如图3，此时，．两点重合，把柄将压下打孔针并将它锲入放在底座上的纸张与底座之内，从而完成纸张打孔，问：打孔针锲入底座有多少厘米？
（参考数据：，，）
【答案】(1)打孔针的针尖离底座的距离是0.6厘米
(2)打孔针锲入底座有0.32厘米
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的判定与性质求解
【分析】（1）如答图1，连接，先说明四边形是平行四边形可得，再解直角三角形可得即可解答；
（2）如答图1，由题意可得四边形是平行四边形可得．如图3中，设与的交点为，则，．又可得即，进而求得，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】（1）解：如答图1，连接，

由题意可知，，，
∴
∵，
∴四边形是平行四边形．
∴．
又∵与所成的夹角为，
∴．
在中，．．
∴打孔针的针尖离底座的距离是厘米．
（2）解：如答图1，
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴
如图3中，设与的交点为，则，．
∵，
∴
∴，
∴，解得．
∴．
∴打孔针锲入底座有0．32厘米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，正确做出辅助线是解答本题的关键．