中考数学专题练习22 解直角三角形模型之实际应用模型

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模型1、背靠背模型

图1 图2 图3
【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键.
【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB；
如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；
如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。
例1．（2023年四川省中考数学真题）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为，看底部C的俯角为，无人机A到该建筑物的水平距离为10米，求该建筑物的高度．（结果精确到米；参考数据：，）

【答案】该建筑物的高度约为米
【分析】由题意可知，，，，根据三角形内角和定理和等角对等边的性质，得到米，再利用锐角三角函数，求出米，即可得到该建筑物的高度．
【详解】解：由题意可知，，，，，
，米，
在中，米，
米，答：该建筑物BC的高度约为米．

【点睛】本题考查的是解直角三角形——仰俯角问题，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数，熟练掌握直角三角形的特征关键．
例2．（2023湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米．

(1)求教学楼的高度．(2)若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．
【答案】(1)教学楼的高度为米(2)无人机刚好离开视线的时间为12秒
【分析】（1）过点B作于点G，根据题意可得：，米，，通过证明四边形为矩形，得出米，进而得出米，最后根据线段之间的和差关系可得，即可求解；
（2）连接并延长，交于点H，先求出米，进而得出，则，则米，即可求解．
【详解】（1）解：过点B作于点G，
根据题意可得：，米，，
∵，，，∴四边形为矩形，∴米，
∵，，∴，∴，∴米，
∵长为米，∴（米），
答：教学楼的高度为米．
（2）解：连接并延长，交于点H，
∵米，米，∴米，
∵米， ，∴，
∴，米，∴（米），
∵无人机以米/秒的速度飞行，∴离开视线的时间为：（秒），
答：无人机刚好离开视线的时间为12秒．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．
例3．（2023年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）

【答案】斜坡的长约为10米
【分析】过点作于点，在中，利用正弦函数求得，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点作于点，则四边形是矩形，
在中，，
．∴．
∵，∴在中，（米）．
答：斜坡的长约为10米．
【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
例4．（2023年山东省菏泽市中考数学真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为，楼顶C点处的俯角为，已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度（结果保留根号）

【答案】大楼的高度为．
【分析】如图，过作于，过作于，而，则四边形是矩形，可得，，求解，，可得，，可得．
【详解】解：如图，过作于，过作于，而，

则四边形是矩形，∴，，
由题意可得：，，，，
∴，，
∴，∴，
∴，∴大楼的高度为．
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解仰角与俯角的含义是解本题的关键．
模型2、母子模型

图1 图2 图3 图4
【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。
【重要等量关系】
如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB；
如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。

图5 图6 图7 图8 图9
如图5，BE+EC= BC； 如图6，EC- BC= BE；
如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG；
如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG；
如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。
例1．（2023·河北沧州·模拟预测）如图1，嘉淇在量角器的圆心处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点．

(1)在图1中，过点画出水平线，并标记观测的仰角．若铅垂线在量角器上的读数为，求的值；
(2)如图2，已知嘉淇眼睛离地米，站在处观测的仰角为（1）中的，向前走米到达处，此时观测点的仰角为，求树的高度．（注：，，）
【答案】(1)
(2)树的高度为5.25米
【分析】(1)根据互余的性质计算即可．
(2) 过点作，垂足为，则米．设米．解直角三角形求解即可．
【详解】（1）如图1；；

（2）如图，过点作，垂足为，则米．设米．
在中，（米），在中，（米），
（米），解得．
答：树的高度为米．
【点睛】本题考查了仰角的解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键．
例2．（2023·内蒙古·统考中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）．
【答案】河流的宽度约为64米
【分析】过点作于点，分别解、即可．
【详解】解：过点作于点．则四边形是矩形．
∴，∵∴
在中，∴，∴∴
在中，，
∴，∴，∴
∴米
答：河流的宽度约为64米．
【点睛】本题考查了关于俯仰角的解直角三角形的问题．作垂线构造直角三角形是解题关键．
例3．（2023年山东省青岛市中考数学真题）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）

【答案】
【分析】过点作于点，过点作于点，先证和均为等腰直角三角形，四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，则，，，然后在中，利用得，由此解出，再利用勾股定理求出即可得的长．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图，

依题意得：，，，
又和均为等腰直角三角形，，，
，，，
，，，四边形为矩形，
，，，，
为等腰直角三角形，，
设，则，，
，在中，，
即：，，解得：，
检验：是原方程的根．，
在等腰中，由勾股定理得：，
点为的中点，，
答：太阳能电池板宽的长度约为．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形，理解题意，正确的作出辅助线构造直角三角形的，灵活运用锐角三角函数及勾股定理进行计算是解答此题的关键．
例4．（2023年四川省内江市中考数学真题）某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）．

【答案】的长为米
【分析】作于点，首先根据坡度求出，并通过矩形的判定确定出，然后通过解三角形求出，即可相加得出结论．
【详解】解：如图所示，作于点，则由题意，四边形为矩形，

∵在中，，，，
∴，∵四边形为矩形，∴，
由题意，，，，，
∴为等腰直角三角形，，设，则，
在中，，∴，即：，
解得：，经检验，是上述方程的解，且符合题意，
∴，∴，∴的长为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，准确构造出直角三角形并求解是解题关键．
模型3、拥抱模型

图1 图2 图3 图4
【模型解读】分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。
【重要等量关系】如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE；
如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。
例1．（2023•包河区三模）如图，校园内两栋教学楼AB和CD之间有一棵古树EF，从楼顶C处经过树顶E点恰好看到教学楼AB的底部B点且俯角α为30°，从教学楼CD的底部D处经过树顶E点恰好看到教学楼AB的顶部A点，且仰角β为53°，已知树高EF＝6米，求DF的长及教学楼AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：＝1.73、sin53°≈、cs53°≈、tan53°≈）
【解答】解：由题意可得∠CBD＝30°，∠ADB＝53°，在Rt△DEF中，EF＝6米，
tan∠ADB＝tan53°＝≈，tan∠CBD＝tan30°＝，
解得DF＝4.5，BF＝6，∴BD＝BF+DF＝（4.5+6）米，
在Rt△ABD中，tan∠ADB＝tan53°＝≈，解得AB＝6+8≈19.8，
∴DF的长约为4.5米，教学楼AB的高度约为19.8米．
例2．（2022•巴中模拟）如图，小明和小亮周末到巴人广场测量两栋楼AB和CD的高度，小明将木杆EF放在楼AB和CD之间（垂直于水平面），小亮将测角仪放在G处（A、F、G三点在一条直线上），测得楼AB顶部的仰角∠AGB＝30°，再将测角仪放在H处（D、F、H三点在一条直线上），测得楼CD顶部的仰角∠DHC＝60°，同时测得BE＝15m，CE＝14m，EG＝6m．（点A、B、C、D、E、F、G、H均在同一平面内，结果精确到0.1米，≈1.732）（1）求楼AB的高度；（2）求楼CD的高度．
【解答】解：（1）∵BE＝15m，EG＝6m，∴BG＝BE+EG＝21m，
在Rt△ABG中，∠ABG＝90°，∠AGB＝30°，
∴AB＝BG•tan30°＝21×＝7≈12.1（m），∴楼AB的高度约为12.1m；
（2）在Rt△FEG中，∠FEG＝90°，∠FGE＝30°，
∴EF＝EG•tan30°＝6×＝2（m），在Rt△FEH中，∠FEH＝90°，∠FHE＝60°，
∴HE＝＝＝2（m），∴HC＝HE+EC＝2+14＝16（m），
在Rt△DCH中，∠DCH＝90°，∠DHC＝60°，
∴DC＝HC•tan60°＝16≈27.7（m）．∴楼CD的高度约为27.7m．
例3．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架上的点E处，然后沿着直线后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，则这棵树的高度（的长）是 米．

【答案】4.1
【分析】过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出，再根据对应边成比例解答即可．
【详解】过点作水平线交于点，交于点，如图，

∵是水平线，都是铅垂线．∴米，米，米，
∴（米），又根据题意，得，
∴， ，即 ，解得：米，
∴(米)．故答案为：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
例4．（2023年天津市中考数学真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．
如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上．
某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为．(1)求的长；(2)设塔的高度为h（单位：m）．①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）；②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）．

【答案】(1)(2)①；②
【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；
（2）①分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，进而可求解；
②过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可．
【详解】（1）解：在中，，∴．即的长为．
（2）解：①在中，，∴．
在中，由，，，
则.∴．即的长为．
②如图，过点作，垂足为．
根据题意，，∴四边形是矩形．
∴，．可得．
在中，，，∴．即．
∴．答：塔的高度约为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键．
课后专项训练
1．（2023年浙江省衢州市中考数学真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为.当时，则点到桌面的最大高度是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点作于，过点作于，利用解直角三角形可得，，根据点到桌面的最大高度，即可求得答案．
【详解】如图，过点作于，过点作于，

在中，，在中，，
点到桌面的最大高度，故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形解决问题．
2．（2022·浙江金华·中考真题）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知，，则房顶A离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据轴对称图形得性质即可得BD=CD，从而利用锐角三角函数正切值即可求得答案．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
∵它是一个轴对称图形，∴m，，即，
房顶A离地面的高度为，故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握利用正切值及一条直角边求另一条直角边是解题的关键．
3．（2023年山东省日照市中考数学真题）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角，再沿方向前进至C处测得最高点A的仰角，，则灯塔的高度大约是（ ）（结果精确到，参考数据：，）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在中，得出，设，则，，在中，根据正切得出，求解即可得出答案．
【详解】解：在中，，，
设，则，，在中，，
，，
灯塔的高度AD大约是．故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是弄清有关的直角三角形中的有关角的度数．
4．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高( )
A．(600－250)米 B．(600－250)米 C．(350＋350)米 D．500米
【答案】B
【详解】解：如答图，∵BE：AE=5：12，∴可设BE=5k，AE=12k，
∵AB=1300米，∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2，
即，解得k=100．∴AE=1200米，BE=500米．
设EC=x米，∵∠DBF=60°，∴DF=x米．又∵∠DAC=30°，∴AC=CD．
∴1200+x=（500+x），解得x=600﹣250．∴DF=x=600﹣750．
∴CD=DF+CF=600﹣250（米）．∴山高CD为（600﹣250）米．故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用（仰角俯角和坡度坡角问题）；勾股定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；待定系数法的应用．
5．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用坡度的定义得出的长，再利用勾股定理得出的长．
【详解】∵，，∴，解得：，
则．故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形和勾股定理的实际应用．由坡度的定义得出AC的长是解答本题的关键．
6．（2023·云南昆明·校考模拟预测）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门高6.5米，学生身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为，当学生刚好离开体温检测有效识别区域段时，在点C处测得摄像头A的仰角为，则体温检测有效识别区域段的长为（ ）
A．米B．米C．10米D．5米
【答案】B
【分析】由题意得米，分别在和中，利用三角函数求出，即可得解．
【详解】解：由题意得，米，米，
在中，，，
在中，，，
米．故选B．
【点睛】此题考查解直角三角形的应用：仰角俯角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
7．（2023年湖北省黄石市中考数学真题）如图，某飞机于空中处探测到某地面目标在点处，此时飞行高度米，从飞机上看到点的俯角为飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动．当飞机飞行米到达点时，地面目标此时运动到点处，从点看到点的仰角为，则地面目标运动的距离约为 米．（参考数据：）

【答案】
【分析】根据题意可得，，，，，，，如图所述，过点作于点，在中，根据正切的计算方法可求出的值，在中根据角的正切值可求出的值，由此即可求解．
【详解】解：根据题意可得，，，，，，，
∴如图所述，过点作于点，

∵，即，且，，
∴，
∴四边形是矩形，即，，
在，，，
∴，则，
∴，
在中，，，
∴，则，
∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查运用仰俯角的正切值计算边的长度，掌握构成直角三角形，三角函数的计算方法是解题的关键．
8．（2023年湖北省黄冈市中考数学真题）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为 米．（结果保留根号）

【答案】/
【分析】过点E作于点M，过点F作于点N，首先证明出四边形是矩形，得到，然后根据等腰直角三角形的性质得到，进而得到，然后利用角直角三角形的性质和勾股定理求出，即可求解．
【详解】如图所示，过点E作于点M，过点F作于点N，

由题意可得，四边形是矩形，∴，∵，∴，
∵博雅楼顶部E的俯角为，∴，∴，∴，
∵点A是的中点，∴，由题意可得四边形是矩形，∴，
∵尚美楼顶部F的俯角为，∴，∴，∴，
∴在中，，∴，∴解得，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
9．（2023·浙江·校考三模）如图1是两扇推拉门，AB是门槛，AD，BC是可转动门宽，且AB＝2AD＝2BC．现将两扇门推到如图2（图1的平面示意图）的位置，其中，且点A，C，D在一条直线上，测得A，C间的距离为cm，则门宽AD＝_______．如图3，已知∠A＝30°，∠B＝60°，点P在AB上，且AP＝54cm，点M是AD上一动点，将点M绕点P顺时针旋转60°至M′，则CM′的最小距离是 _______cm．
【答案】 90cm
【分析】（1）过点C作CE⊥AB，根据，设CE＝4x，BE＝3x，可以把三角形三边表示出来，再根据勾股定理可求出x，即可求解；（2）根据垂线段最短，可以连接CD，连接，判断当AP＝MP时，，此时最小，通过解直角三角形即可求解．
【详解】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB，
在Rt△BCE中，∵，∴设CE＝4x，BE＝3x，∴BC＝5x，
∵AB＝2AD＝2BC＝10x，∴AE＝10x﹣3x＝7x，在Rt△AEC中，AD2+CD2＝AC2，
∴，解得x＝18，∴AD＝5x＝90（cm），故答案为：90cm；
（2）如图，连接CD，可知∠ACB＝90°，
当AP＝MP时，，此时最小，
∵∠PAM＝∠PMA＝30°，∴，点在AB边上，
连接，此时，∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理，解直角三角形，解题的关键是构造出直角三角形进行求解．
10．（2023年浙江省绍兴市中考数学真题）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．

(1)求的度数．
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：）
【答案】(1)(2)该运动员能挂上篮网，理由见解析
【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；（2）延长交于点，根据题意得出，解，求得，根据与比较即可求解．
【详解】（1）解：∵，∴，
∵，∴．
（2）该运动员能挂上篮网，理由如下．如图，延长交于点，

∵，∴，
又∵，∴，
在中，，
∴，∴该运动员能挂上篮网．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
11．（2023年浙江省温州市中考数学真题）根据背景素材，探索解决问题．
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1．
【答案】规划一：[任务 1]选择点和点；，，，测得图上；[任务 2]；[任务 3]发射塔的实际高度为米；规划二：[任务 1]选择点和点．[任务 2]；[任务 3]发射塔的实际高度为米；
【分析】规划一：[任务 1]选择点和点,根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上
[任务 2]如图1，过点作于点，过点作于点，设．根据，，得出，．由，解得，根据，得出，即可求解；
[任务3 ]测得图上，设发射塔的实际高度为米．由题意，得，解得，
规划二：[任务 1]选择点和点．根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上；
[任务 2]如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，则，设．根据，，得出，．根据，得出，然后根据，得出，进而即可求解．[任务 3]测得图上，设发射塔的实际高度为米．由题意，得，解得，即可求解．
【详解】解：有以下两种规划，任选一种作答即可．
规划一：[任务 1]选择点和点．
，，，测得图上．
[任务 2]如图1，过点作于点，过点作于点，

则，设．
∵，，∴，．
∵，∴解得，∴．
∵，∴，∴．
[任务3 ]测得图上，设发射塔的实际高度为米．
由题意，得，解得，∴发射塔的实际高度为米．
规划二：[任务 1]选择点和点．
，，，测得图上．
[任务 2]如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，则，设．

∵，，∴，．
∵，∴，解得，∴．
∵，∴，∴．
[任务 3]测得图上，设发射塔的实际高度为米．
由题意，得，解得．∴发射塔的实际高度为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．
12．（2023年浙江省丽水市中考数学真题）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道，已知，，求管道的总长．

【答案】18m
【分析】如图：过点作于点，由题意易得，进而求得，再通过解直角三角形可得，然后求出即可解答．
【详解】解：如图：过点作于点， 由题意，得，
∵，∴．∵，∴．
∴．即管道的总长为．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，理解题意求得是解答本题的关键．
13．（2023年浙江省台州市中考数学真题）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线，及在黑板上的投影图像高度抽象成如图所示的，．黑板上投影图像的高度，与的夹角，求的长．（结果精确到1cm．参考数据：，，）

【答案】的长约为
【分析】在中，由，再代入数据进行计算即可．
【详解】解：在中，，，，
∴．∴的长约为．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练的利用锐角的正切求解直角三角形的边长是解本题的关键．
14．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．

(1)如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示．
(2)如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点分别测得气球的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．（参考数据：，）
【答案】(1)(2)
【分析】（1）如图所示，铅垂线与水平线相互垂直，从而利用直角三角形中两锐角互余即可得到答案；
（2）根据题意，，在中，，由等腰直角三角形性质得到；在中，，由，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：

由题意知，在中，，则，即，；
（2）解：如图所示：

，在中，，由等腰直角三角形性质得到，
在中，，由，
即，解得，气球离地面的高度．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及直角三角形性质、等腰直角三角形性质和正切函数测高等，熟练掌握解直角三角形的方法及相关知识点是解决问题的关键．
15．（2023年浙江省金华市中考数学真题）问题：如何设计“倍力桥”的结构？
探究：图是“桥”侧面示意图，为横梁与地面的交点，为圆心，是横梁侧面两边的交点．测得，点到的距离为．试判断四边形的形状，并求的值．
探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形．
①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形，求的值；
②若有根横梁绕成的环（为偶数，且），试用关于的代数式表示内部形成的多边形的周长．

【答案】探究1：四边形是菱形，；探究2：①；②
【分析】探究1：根据图形即可判断出形状；根据等腰三角形性质可求出长度，利用勾股定理即可求出长度，从而求出值．
探究2：①根据十二边形的特性可知，利用特殊角正切值求出长度，最后利用菱形的性质求出的长度，从而求得值．②根据正多边形的特性可知的度数，利用特殊角正切值求出和长度，最后利用菱形的性质求出的长度，从而求得值．
【详解】解：探究1：四边形是菱形，理由如下：
由图1可知，，，为平行四边形．
桥梁的规格是相同的，∴桥梁的宽度相同，即四边形每条边上的高相等，
∵的面积等于边长乘这条边上的高，每条边相等，为菱形．
②如图1，过点作于点．

由题意，得，．∴．
在中，，∴．
∴．故答案为：．
探究2：①如图2，过点作于点．

由题意，得，．
．
又四边形是菱形，∴．∴．
故答案为：．
②如图3，过点作于点．

由题意，形成的多边形为正边形，外角．
在中，．
又，∴．
形成的多边形的周长为．故答案为：．
【点睛】本题是一道生活实际应用题，考查的是菱形的性质和判定、锐角三角函数、勾股定理，解题的关键在于将生活实际和有关数学知识有效结合以及熟练掌握相关性质．
16．（2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考数学真题）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．

(1)身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别．(2)身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到，参考数据）
【答案】(1)(2)能，见解析
【分析】（1）根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出蹲下的高度．
（2）根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，即可求出长度，与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案．
【详解】（1）解：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，

在中，．．
，．．
，，
小杜下蹲的最小距离．
（2）能，理由如下：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，
在中，．，
，
．，
．小若垫起脚尖后头顶的高度为．
小若头顶超出点N的高度．小若垫起脚尖后能被识别．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，涉及到的知识点有锐角三角函数中的正切值、矩形的性质、三角形的全等，解题的关键在于是否能根据生活实际题结合数学相关知识．解题的重点在于熟练掌握相关概念、性质和全等方法．
17．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2．已知，，，，．（结果精确到0.1，参考数据：，，，，，）。(1)连结，求线段的长．(2)求点A，B之间的距离．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）过点C作于点F，根据等腰三角形的性质可得， ，再利用锐角三角函数，即可求解；（2）连结．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l，可得对称轴l经过点C．从而得到四边形DGCE是矩形，进而得到DE=CG，然后过点D作于点G，过点E作EH⊥AB于点H，可得，从而得到，再利用锐角三角函数，即可求解．
(1)解：如图2，过点C作于点F，
∵，∴，平分．∴，
∴，∴．
(2)解：如图3，连结．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l，
∵纸飞机机尾的横截面示意图是一个轴对称图形，
∴对称轴l经过点C．∴，，∴AB∥DE．
过点D作于点G，过点E作EH⊥AB于点H，
∵DG⊥AB，HE⊥AB，∴∠EDG =∠DGH=∠EHG=90°，∴四边形DGCE是矩形，
∴DE=HG，∴DG∥l， EH∥l，∴，
∵，BE⊥CE， ∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
18．（2022·浙江绍兴·中考真题）圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为4米．(1)求∠BAD的度数．(2)求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈，tan84°≈）
【答案】(1)47°(2)3.3米
【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和解答即可；（2）分别求出和的正切值，用表示出和，得到一个只含有的关系式，再解答即可．
(1)解：，，，答：的度数是．
(2)解：在Rt△ABC中，，∴．同理，在Rt△ADC中，有．
∵，∴．∴，∴（米）．
答：表AC的长是3.3米．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和三角函数，解题的关键是熟练掌握建模思想来解决．
19．（2022·浙江金华·中考真题）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，为吸热塔，在地平线上的点B，处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知，在点A观测点F的仰角为．
（1）点F的高度为______m．（2）设，则与的数量关系是_______．
【答案】 9
【分析】（1）过点A作AG⊥EF，垂足为G，证明四边形ABEG是矩形，解直角三角形AFG，确定FG，EG的长度即可．（2）根据光的反射原理画出光路图，清楚光线是平行线，运用解直角三角形思想，平行线的性质求解即可．
【详解】（1）过点A作AG⊥EF，垂足为G．∵∠ABE=∠BEG=∠EGA=90°，
∴四边形ABEG是矩形，∴EG=AB=1m，AG=EB=8m，
∵∠AFG=45°，∴FG=AG=EB=8m，∴EF=FG+EG=9(m)．故答案为：9；
（2）．理由如下：∵∠E=∠EG=∠EG=90°，
∴四边形EG是矩形，∴EG==1m，G=E=，
∴tan∠FG=，∴∠FG=60°，∠FG=30°，
根据光的反射原理，不妨设∠FAN=2m，∠FM=2n，
∵ 光线是平行的，∴AN∥M，∴∠GAN=∠GM，∴45°+2m=30°+2n，解得n-m=7.5°，
根据光路图，得，∴，
故，故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，特殊角的三角函数值，光的反射原理，熟练掌握解直角三角形，灵活运用光的反射原理是解题的关键．
20．（2023·浙江金华·校考一模）金华新金婺大桥是华东第一的独塔斜拉桥，如图1是新金婺大桥的效果图．2022年4月13日开始主塔吊装作业．如图2，我们把吊装过程抽象成如下数学问题：线段为主塔，在离塔顶10米处有一个固定点米．在东西各拉一根钢索和，已知等于214米．吊装时，通过钢索牵拉，主塔由平躺桥面的位置，绕点O旋转到与桥面垂直的位置．中午休息时，此时一名工作人员在离M米的B处，在位于B点正上方的钢索上A点处挂彩旗．正好是他的身高米．（1）主塔的高度为 _____米，（精确到整数米）（2）吊装过程中，钢索也始终处于拉直状态，因受场地限制和安全需要，与水平桥面的最大张角在到之间即，的取值范围是 _____．（注：，）．
【答案】 82 ##
【分析】（1）过点Q作交于G点，得到，则，再由，可得，求出，再求米，即求的长；（2）在中，，在中，米，米，，再由，由题可知，则．
【详解】解：过点Q作交于G点，
∵米，米，∴，∴，
∵，∴，
∵米，∴，解得米，∴米，
∵米，∴米，故答案为：82；
（2）解：在中，，在中，米，米，
∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的三角函数值定义，准确计算是解题的关键．
测算发射塔的高度
背
景
素
材
某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度（如图1）．他们通过自制的测倾仪（如图2）在，，三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．


经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．
问题解决
任务1
分析规划
选择两个观测位置：点_________和点_________
获取数据
写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．
任务2
推理计算
计算发射塔的图上高度．
任务3
换算高度
楼房实际宽度为米，请通过测量换算发射塔的实际高度．
图1是搭成的“倍力桥”，纵梁夹住横梁，使得横梁不能移动，结构稳固．
图是长为，宽为的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为的半圆．圆心分别为，纵梁是底面半径为的圆柱体．用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计．