专题04 平行线中的拐点-2025年中考数学二轮专题（江西专用）(原卷版+解析版)

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc23865" PAGEREF _Tc23865 \h 1
\l "_Tc28348" 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 PAGEREF _Tc28348 \h 1
\l "_Tc13650" 模型2.铅笔头模型 PAGEREF _Tc13650 \h 5
\l "_Tc17317" 模型3.“鸡翅”模型 PAGEREF _Tc17317 \h 10
\l "_Tc14363" 模型4.“骨折”模型 PAGEREF _Tc14363 \h 14
\l "_Tc27482" PAGEREF _Tc27482 \h 18
模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.
（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．
（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
例1．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，，，，，求 ．
例2：（23-24七年级上·吉林长春·期末）（1）问题发现：如图①，直线，连接，可以发现．
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作，
（已知），（辅助线的作法），
（________________________________________）．
．（_______________________________）．
，
（同理）．
___________．
即．
（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：．
（3）解决问题：如图③，是与之间的点，直接写出，，，，之间的数量关系______________________．
模型2.铅笔头模型
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
在图1中，过P作AM的平行线PQ，
∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；
在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D，
∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，
∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，
根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．
例1：（2024七年级下·全国·专题练习）如图1，四边形为一张长方形纸片．

(1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则__________°．
(2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则__________°．
(3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则___________°．
(4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°．
例2．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）（1）如图1，，求的度数．
解：过点E作．
（已作），
（ ）．
又（已知），
______________（平行关系的传递性），
（两直线平行，同旁内角互补），
（等式性质），
即_______；
（2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______；
（3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______；
（4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）．
模型3.“鸡翅”模型

图1 图2
如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3
如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180°
在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°
图1 图2
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3.
在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°.
注意;“鸡翅”模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。
例1：（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知，，，则的度数为 °．
例2.（23-24七年级下·全国·期末）直线，P 为直线上方一点，连接．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）；
(3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值．
模型4.“骨折”模型
如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.

图1 图2
如图1，已知：AB∥DE，结论：.
如图2，已知：AB∥DE，结论：.
在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB.

∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°
在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°
例1：（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题：
在图2中，，，，，求的度数．
例2．（24-25八年级上·湖北黄冈·开学考试）如图，．
(1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知．
①如图2，若，求的度数；
②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系．
一、单选题
1．已知如图，，则（ ）
A．B．C．D．
2．如图，直线，E，M分别为直线、上的点，N为两平行线间的点，连接、，过点N作平分交直线于点G，过点N作，交直线于点F，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
4．如图，直线，， ，则 ．
5．如图，若直线，，，则的度数为 ．
6．如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ．
三、解答题
7．如图，，点在直线，之间，连接，．

(1)写出，，之间的数量关系，并说明理由；
(2)若，，求的度数；
8．如图，直线，是一条折线段，平分．
(1)如图①，若，探究和的数量关系；
(2)平分，直线交于点F
①如图②，探究和的数量关系，并说明理由；
②当点E在直线之间时，若，直接写出的度数．
9．（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由．
（2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．

10．已知直线，P为平面内一点，连接．
(1)如图1，已知，求的度数；
(2)如图2，判断之间的数量关系为 ．
(3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数．
11．如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，

(1)求证：：
(2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系；
(3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出 ．
12．已知．
(1)如图，求的大小，并说明理由．
(2)如图，与的角平分线相交于点．
若，，则_______．
试探究与的数量关系，并说明你的理由．
(3)如图，与的角平分线相交于点，过点作交于点，若，求的度数．
13．（1）如图1，，，，直接写出的度数．
（2）如图2，，点为直线间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由．
（3）如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数．
14．问题情境：如图1，已知∥，．求的度数．

经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ，．
(1)当点P在A、B两点之间运动时， 、、之间有何数量关系？请说明理由．
(2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系．
(3)问题拓展：如图4，∥，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ．
15．问题情境：如图1，，，，求的度数．
思路点拨：
小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数；
小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数；
小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数．
问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为 °；
问题迁移：
（1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系．