专题02 遇到中点如何添加辅助线-2025年中考数学二轮专题（江西专用）(原卷版+解析版)

这是一份专题02 遇到中点如何添加辅助线-2025年中考数学二轮专题（江西专用）(原卷版+解析版)，文件包含专题02遇到中点如何添加辅助线模型解读与提分精练原卷版docx、专题02遇到中点如何添加辅助线模型解读与提分精练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc32255" PAGEREF _Tc32255 \h 1
\l "_Tc29239" 模型1.构造中位线模型 PAGEREF _Tc29239 \h 1
\l "_Tc3314" 模型2.构造中线模型 PAGEREF _Tc3314 \h 5
\l "_Tc23561" 模型3.构造倍长中线(或类中线)模型 PAGEREF _Tc23561 \h 10
\l "_Tc16539" PAGEREF _Tc16539 \h 13
模型1.构造中位线模型
情形1：当图形中出现两个中点时，考虑构造中位线.
条件:如图,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点.
辅助线作法：连接DE.
结论： DE=12BC,DE∥BC.
情形2：当图形中出现一个中点时，考虑过中点作已知长度边的平行线构造中位线.
①条件:如图1,在△ABC中,D是边AB 的中点，且已知底边BC的长.
辅助线作法：过点 D 作 BC 的平行线，交AC于点E(或取AC的中点E,连接DE).
结论： DE=12BC.
②条件:如图2,在△ABC中,D 是边AB的中点.辅助线作法:过点A作AF∥CD,交BC的延长线于点 F.
结论：DC= 12AF;△BDC∽△BAF.
例1.如图，矩形中，点、点分别是和的中点，连接，若，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了矩形的性质和中位线定理，根据矩形的性质可知，根据中位线定理即可求解．
【详解】解：连接，
矩形，
，
分别是的中点，
，
，
．
故答案为：．
例2.如图，已知在（）中，，为边上的中点，过点的直线将的周长平分且交于点，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，延长到使得，连接，先由线段中点的定义得到，再由过点的直线将的周长平分且交于点，推出，则可得到，利用勾股定理求出，则由三角形中位线定理可得．
【详解】解：如图所示，延长到使得，连接，
∵为边上的中点，
∴，
∵过点的直线将的周长平分且交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵D、F分别是的中点，
∴为的中位线，
∴，
故答案为：．
例3.如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为
【答案】3
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，连接，过A作，根据点为的中点，点为的中点得到，即可得到当G与K重合时，有最小值，即此时取得最小值，据此求解即可．
【详解】解：连接，过A作，
∵，
∴，
∵在平行四边形中，
∴，
∴，
∴，
∴
∵点为的中点，点为的中点，
∴，
∴最小时，取得最小值，
∴当G与K重合时，有最小值，即此时取得最小值，
∴的最小值为，
故答案为：3．
例4.如图，在中，，，，E，F分别为边，上的点，M，N分别为，的中点． 若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、勾股定理逆定理，连接，取的中点，连接、，由勾股定理逆定理得出，再根据三角形中位线定理得出，，，，求出，最后再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：如图：连接，取的中点，连接、，
，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，，
∴，
∵M，N，分别为，，的中点，
∴为的中位线，为的中位线，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
模型2.构造中线模型
情形1：当遇到直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线.
条件:如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,D为斜边AC的中点.
辅助线作法：连接BD.
结论：BD=CD=AD=12AC
情形2：当遇到等腰三角形底边上的中点时，考虑作底边上中线，利用“三线合一”解题.
条件:如图,在等腰△ABC 中,D 为底边 BC的中点.
辅助线作法：连接AD.
结论:AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.
例1.如图，已知，，，，D，E，F分别是三边，，上动点，且，G为中点，连结，则最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查勾股定理，直角三角形你斜边上的中线等于斜边的一半，由勾股定理求出，连接，得，过点作于点M，运用等积法求出，当点D与点M重合，且点G在上时，最小，为的长，故可得结论．
【详解】解：在中，，，，
∴，
连接，如图，
∵是的中点，
∴
∴，
过点作于点M，
∵,
∴；
根据垂线段最短可得，当点D与点M重合，且点G在上时，最小，为的长，如图，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
例2.如图，在中，于点F，于点E，D为的中点，M为的中点，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理；连接，根据等腰三角形三线合一得到F是中点，从而得到，同理可得，最后根据勾股定理即可求出的长．
【详解】解：连接，
∵，
∴F是中点，
∵，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴．
故答案为：．
例3.如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，，点是中点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，余角的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用各知识点是解答本题的关键.
（1）连结，证明得，然后根据余角的性质即可证明；
（2）由勾股定理求出，从而求出，由直角三角形斜边的中线得，从而，然后再利用勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）解：连结
是边上的高线
是边上的中线
是边上的中点

点是中点



（2）解：

点是中点

是边上的中点

模型3.构造倍长中线(或类中线)模型
情形1：当遇到三角形中存在中线时，考虑延长中线，作与中线相等的线段构造全等三角形.
条件:如图1,在△ABC中,AD 是BC 边的中线.
辅助线作法1:延长AD 至点E,使DE=AD,连接BE.
辅助线作法2:过点B作BE∥AC,交AD 的延长线于点 E.
结论:△ACD≌△EBD,AD=DE,BE=AC等.
情形2：当遇到三角形中存在一条线段过一边的中点时，考虑延长这条线段，作等线段构造全等三角形.
条件:如图2,在△ABC 中,D 是 BC 边的中点,点 E 是AB 上一点,连接DE.
辅助线作法1:延长ED 至点 F,使 DF=DE,连接CF.
辅助线作法2:过点 C作 CF∥AB 交 ED 的延长线于点 F.
结论:△BDE≌△CDF,CF∥AB, BE=CF等
例1.如图1，在中，点D为的中点，连接，若，求的取值范围时学生分析，决定延长到E，使，连接，可得到，进而在中得到的取值范围，于是可求得的取值范围．
(1)请回答：
①如图1，连接，由已知和作图能得到的理由是______．
A． B． C． D．
②求得的取值范围是______．
A． B． C． D．
(2)如图2，分别是的边的中点，求证：，且．
(3)如图3，在等边三角形中，点P为射线位于点C右侧的一个动点，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，点C的对应点为点D，连接，点Q为的中点，连接．若，当时，直接写出的长度．
【答案】(1)（1）①B；②C
(2)见解析
(3)6或
【分析】（1）根据作图结合，以及三角形的三边关系进行作答即可；
（2）先证明，进而证明四边形是平行四边形，即可得出结论；
（3）分为的中位线，以及不是的中位线，两种情况，讨论求解即可．
【详解】（1）解：（1）①∵点D为的中点，
∴，
又，
∴；
故选B；
②∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选C；
（2）证明：延长DE到，使，连接，
是的中点，
．
在和中，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
，
．
（3）的长度为6或．
①当为的中位线时，如图1，．
点Q是的中点，点C为的中点，
．
②如图2，当不是的中位线时，连接，取的中点E，连接，过点P作于点F，过点F作于点N，过点Q作于点M．
为等腰三角形，
，
，
，
．
为的中点，Q为的中点，
是的中位线，
，
，
．
，
，
，
，即，
，即．
综上所述，的长度为6或．
一、单选题
1．如图，在中，，，D为中点，则线段AD的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的中线、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，熟悉三角形的三边关系，利用中线构造全等三角形是解答的关键．
延长AD到点E，使，连接，可证，再根据三角形的三边关系可求得的取值范围，进而可得的取值范围．
【详解】解：延长AD到点E，使，连接，则，
∵D为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
2．如图，在四边形中，、分别是边、的中点，且，，，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，熟练掌握中位线定理并作出正确的辅助线是解决本题的关键．连接，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可．
【详解】解：连接，

∵、分别是边、的中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
3．如图，在中，点在边上，E，F分别是线段，的中点．若，，则（ ）
A．5B．6C．D．4
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形斜边上的中线得出，代入求出答案即可，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键．
【详解】解：连接，
∵，为的中点，
∴，
即，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
故选B．
4．如图所示，在四边形中，，，，，E，F分别是边的中点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了是三角形的中位线定理，正确添加辅助线，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．设的中点为M，连接，证明是的中位线，为的中位线，则，，，，进而得，，再根据，得，，则，然后在中，由勾股定理可求出的长．
【详解】解：设的中点为M，连接，如图所示：
点E，F分别是边的中点，
∴是的中位线，为的中位线，
，，，，
，，
，，
∵，，
，，
又，，
，，
，
在中，由勾股定理得：．
故选：A．
5．如图，中，，，，线段DE的两个端点分别在边上滑动，且，若点分别是的中点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，根据勾股定理得到，根据直角三角形斜边中线的性质求得，，当在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为，根据两点之间线段最短得到在同一直线上时取最小值是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∵，点分别是的中点，
∴，，
当在同一直线上时，取最小值，
∴的最小值为．
故选：．
二、填空题
6．如图，在中，，，D是的中点，E是上一点．若平分的周长，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，如图，延长至，使得，连接，证明是等边三角形得到，再证明，进而推出是的中位线，则．
【详解】解：如图，延长至，使得，连接，
，
,
是等边三角形，
，
是边的中点，是边上一点，平分的周长，
，，
，
，
，即，
是的中位线，
．
故答案为：．
7．如图，在平行四边形中，，于点，是AD的中点，，则 ．
【答案】30°/度
【分析】延长与CD的延长线交于点，连接，由平行四边形的性质得，，，，进而得，，又证明（），得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，进而根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得，，再求得，，于是即可得解．
【详解】解：延长与CD的延长线交于点，连接，
∵，
∴，
∵是AD的中点，
∴，
∵四边形为平行四边形，，
∴，，，
∴，，
在和中
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
又∵为AD中点，，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解题的关键．
8．如图，在中，，，点D是的中点，，若，则DE的为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了三角形和平行四边形．熟练掌握平行四边形的判断和性质，三角形全等的判断和性质，三角形中位线性质，是解决问题的关键．
延长交于点F，延长到点G，使，连接，，，根据中点性质证明四边形是平行四边形，得到，再证明四边形是平行四边形，得到，得到，推出，得到，根据，，得到，．
【详解】延长交于点F，延长到点G，使，连接，，，
∵点D是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴,
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：2．
9．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长AD到使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题．
【详解】解：如图，延长AD到使，连接，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
．
，
，即，
，
故答案为：．
10．如图，在中，，D为边的中点，E，F分别为边，上的点，且，，连接．

（1） ；
（2）若，则线段的长为 ．
【答案】 /45度
【分析】（1）由等腰三角形性质，可以知道，，结合三角形内角和定理，可知道，再结合平角的定义，计算出的度数；
（2）延长至点，使，连接，，先证明，得到，，结合，得到，再证明是直角三角形，最后结合，算出的长度，从而得到的长度．
【详解】（1）
，
，
（2）如图，延长至点，使，连接，
为的中点
，
，
又，
，
，
．
【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，平角的定义，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能作出合适的辅助线是解题的关键．
三、解答题
11．如图，为的中线，E为的中点，的延长线交于点F，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．取的中点，连接，作交于，则，根据三角形中位线定理可知，则四边形是平行四边形，可知，进而证明，可知，即可得到，得到答案．
【详解】证明：取的中点，连接，作交于，
则，
∵是的中线，则，
∴，则四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
又∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
12．【感知】
（1）如图1，在中，分别是边的中点．则和的位置关系为______，数量关系为______．
【应用】
（2）如图2，在四边形中，分别是边的中点，若，，求的度数．
【拓展】
（3）如图3，在四边形中，与相交于点分别为的中点，分别交于点．求证：．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，
（1）根据三角形中位线定理即可得到结论；
（2）连接，根据三角形中位线定理得到，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可；
（3）取的中点H，连接，则分别是的中位线，由中位线的性质定理可得且且，根据等腰三角形的性质即可得结论；
掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．
【详解】（1）∵点分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴；
故答案为：．
（2）如图1，连接．
分别是边的中点，
，
．
，
，
，
，
．
（3）证明：如图2，取的中点，连接．
分别是的中点，
且，
同理可得且．
，
，
，
，
．
13．已知点O是 斜边上的中点， ．
(1)若，如图1，E、F分别在、边上， 且 则 ；
(2)若与不等，如图2 ，E、F分别在、边上， 求证∶ ；
【答案】(1)5
(2)见解析
【分析】（1）连接，证明，得出，求出，再由勾股定理即可得出答案；
（2）延长至，使，连接、，证明，得出，，证出，由勾股定理得出，由线段垂直平分线的性质得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：连接，如图1所示：
，，点是斜边上的中点，
，，，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
；
故答案为：5；
（2）证明：延长至，使，连接、，如图2所示：
在和中，，
，
，，
，
，
，即，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
14．如图①，在四边形 中，，点 E 是的中点， 若是的平分线．
（1）求证：是 的平分线
（2）线段之间的数量关系是 ；
问题探究： 如图②．在四边形中，，与的延长线交于点F， 点E是的中点， 若是的平分线， 试探究之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）；[问题探究]：，证明见解析
【分析】本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，正确添加常用辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
（1）延长交于点F，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的判定可得，再证明可得，最后根据等腰三角形三线合一的性质即可证明结论；
（2）延长交于点F，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的判定可得，再证明可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答；
[问题探究]：延长线，相交于点G，利用全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质即可证明．
【详解】（1）解：如图：延长交于点F，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，即是等腰三角形，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线．
（2）解：如图：延长交于点F，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：．
[问题探究]：结论：，证明如下：
延长线，相交于点G，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
15．如图，中，点D在边上，且，点E、F、G分别是、、的中点．

(1)若，，求四边形的周长；
(2)连接：
①连接，则与有怎样的关系？证明你的结论；
②若交于点H，求证：．
【答案】(1)16
(2)①；理由见解析；②见解析
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据点E、F、G分别是、、的中点，得出，，即可得出答案；
（2）①根据，由中位线性质得出，根据平行线的性质得出，即可证明结论；
②过点D作，交于点N，证明四边形为平行四边形，得出，证明，得出．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：

∵，
∴，
∴，
∵点E、F、G分别是、、的中点，
∴，，
∴四边形的周长为：
；
（2）解：①；理由如下：
根据解析（1）可知：，
∵点F、G分别是、的中点，
∴，
∴，
∴；

②过点D作，交于点N，如图所示：

∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，中位线性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
16．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考：
(1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是___________．
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系；
(2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，在中，是的三等分点．求证：．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键．
（1）延长到点，使，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可；
（2）延长AD到，使得，连接BM，由（1）的结论以及已知条件证明，进而可得，由，即可求得AD与的数量关系；
（3），取中点，连接并延长至点，使得，连接和，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．
【详解】（1）解：如图1所示，延长到点，使，连接．
∵AD是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，即，
∴，
故答案为：．
（2），理由：
如图2，延长AD到，使得，连接BM，
由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
又∵，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（3）证明：如图所示，取中点，连接并延长至点，使得，连接和，
∵为中点，为三等分点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
同理可得：，
∴，
此时，延长交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．