专题06 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线-2025年中考数学二轮专题（江西专用）(原卷版+解析版)

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc9420" PAGEREF _Tc9420 \h 1
\l "_Tc28582" 模型1.双内角角平分线模型 PAGEREF _Tc28582 \h 1
\l "_Tc2551" 模型2.一内角一外角双角平分线模型 PAGEREF _Tc2551 \h 6
\l "_Tc25747" 模型3.双外角角平分线模型 PAGEREF _Tc25747 \h 10
\l "_Tc18821" 模型4.高线与角平分线分线模型 PAGEREF _Tc18821 \h 18
\l "_Tc10249" PAGEREF _Tc10249 \h 21
模型1.双内角角平分线模型
1）两内角平分线的夹角模型

图1 图2 图3
条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。
证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。
2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1
条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。
证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。
3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2
条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。
证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。
∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。
例1．如图，在中，点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则 ．
例2．模型认识：我们学过三角形的内角和等于，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动．
如图①，在中，、分别是和的角平分线．
解决问题：(1)若，，则______；（直接写出答案）
(2)若，求出的度数；
拓展延伸：(3)如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系．
例3．【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系；
【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______；
【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______；
【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______；
【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______．
模型2.一内角一外角双角平分线模型

图1 图2
1）一个内角一个外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：．
证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。
∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。
2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）
条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是．
证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。
∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn=
例1．问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．
(1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ；
如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A度数的比是 ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．
例2．（23-24七年级下·吉林四平·期末）【教材呈现】
对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）；
解：∵平分（已知），
∴，
同理可得________．
∵（ ），
∴（等式的性质）________．
【问题推广】
°
（1）如图1，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，求的度数；
（2）如图2，在中，的角平分线与外角的角平分线交于点，过点作于点，若，则________．
模型3.双外角角平分线模型

图1 图2 图3
1）两外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：．
证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）
=180°-（180°+∠A）=90°+∠A。
2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。
证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，
∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。,
例1．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，分别是的平分线，分别是的角平分线．

(1)若，则________， ________；
(2)当变化时，的值是否变化？请说明理由．
例2．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）如图①，在中，与的平分线相交于点．
(1)若，则的度数是 ；
(2)如图②，作的外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系．
(3)如图③，延长线段交于点，试探索，之间的数量关系．
例3．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）他阅读下面的材料，并解决问题
(1)在中，，图1，是两内角平分线的夹角：图2，是内角和外角角平分线的夹角；图3，是两外角平分线的夹角，请直接写出的度数．
如图1， 如图2， ； 如图3， ；如图4，和的三等分线相交于点，则 ．
(2)如图5所示，在中，的三等分线、和的平分线相交于点和点，，度，求的度数．
模型4.高线与角平分线分线模型
1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：．
2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．

图1 图2
1）证明：∵平分，∴，
∵，∴，
∴；
2）证明：如图，过作于，由（2）可知：，
，，，，，，
，．
例1．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在中，，，是的角平分线．

（1）如图1，若是的高，则的度数为 ．
（2）如图2，若是的角平分线，G是延长线上一点，过点G作于点H，则的度数为 ．
例2．已知：在中，，平分交于点．

(1)如图①，于点，若，求的度数；
(2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）；
(3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数；
(4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由．
一、单选题
1．（24-25八年级上·广东江门·期末）如图，中，与的角平分线、相交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25八年级上·湖北十堰·期中）如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，是角平分线，是高，，求（ ）（用和来表示）
A．B．C．D．
4．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，与交于点，角，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（23-24八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，是的角平分线，E为边上一点，过点E作交的延长线于点F．若，则的大小为 度．
6．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，、是任意中、的角平分线，可知，把图中的变成图中的四边形，，仍然是，的平分线，猜想与、的数量关系是 ．
7．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，点为边延长线上一点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，…，与的角平分线交于点，若，则的值为 ．
8．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，点、分别为平面直角坐标系中轴正半轴和轴正半轴上的任意两点，连结，作的外角平分线，作的角平分线，两线相交于点；再作平分，平分，两直线相交于点；作平分，平分，两直线相交于点…作平分，平分，两直线相交于点．
（1） ．
（2），那么 ．
三、解答题
9．（22-23七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）如图，已知是的角平分线（），于点，交的延长线于点．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，求证：．
10．（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）四边形中，，．
(1)如图1，若，试求出的度数；
(2)如图2，若的角平分线交于点E，且，试求出的度数；
(3)如图3，若和的角平分线交于点E，试求出的度数．
11．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，CD是的角平分线，点在AC上，BE交CD于点，．
(1)若，如图1，求的度数；
(2)若，如图2，，求的度数．
12．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）在中，和分别是和的角平分线，和交于点O．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)连接并延长交于点F，已知，．
（i）如图2，求的度数（用含，的式子表示）；
（ii）如图3，过点O作于点G，试判断和度数的大小关系，并加以说明．
13．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）已知在中，是边BC上的高，是的角平分线．
(1)如图1，若，，则的度数为__________．
(2)如图2，平分交于点，交的外角的平分线于点P，请猜想与的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，若，且，请直接写出的度数．
14．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）如图1，在中，，是的角平分线，是边上的高线，、相交于点，若，求的度数．
（2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点．若，求的度数（用表示）；
（3）如图3，在中，，的平分线与交于点，与的外角的平分线交于点．过点作，交与点，请自行补全图形，并证明．
15．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）特例感知
（1）如图1，是的平分线，是外角的角平分线．
①若，则________；
②判断与的数量关系，并说明理由．
类比迁移
（2）如图2，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，，的平分线与的平分线交于点（为正整数）．设，则________．
拓展应用
（3）如图3，在中，是的外角，的三等分线与的三等分线交于点．若，，请直接写出的度数．（用含、的式子表示）
16．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读材料，回答下列问题：
【材料提出】
“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】
探索一：如图1，在八字型中，探索、、、之间的数量关系为 ___________；
探索二：如图2，若，，求的度数为 ___________；
探索三：如图3，、分别平分、，反向延长线交于点，则、、之间的数量关系为 ___________．
【模型应用】
应用一：如图4，延长、，交于点，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则___________（用含有和的代数式表示），___________．（用含有和的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点，___________．（用含有和的代数式表示）
【拓展延伸】
拓展一：如图6，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ___________．（用、表示
拓展二：如图7，平分，平分的邻补角，猜想与、的关系，直接写出结论 ___________．
如图，在中，，，平分，平分，求的度数．