专题03 遇到角平分线如何添加辅助线-2025年中考数学二轮专题（江西专用）(原卷版+解析版)

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc20777" PAGEREF _Tc20777 \h 1
\l "_Tc5568" 模型1.运用角平分线定理模型 PAGEREF _Tc5568 \h 1
\l "_Tc26057" 模型2.构造等腰三角形模型 PAGEREF _Tc26057 \h 7
\l "_Tc14253" 模型3.构造轴对称图形模型 PAGEREF _Tc14253 \h 11
\l "_Tc27059" PAGEREF _Tc27059 \h 19
模型1.运用角平分线定理模型
条件：如图，P是∠MON的平分线上一点，已知PA⊥OM,垂足为A.
辅助线作法:过点 P作PB⊥ON 于点 B.
结论:PA=PB.
例1．如图，在中，，是的角平分线，若点到的距离为，，则的长为 ．
例2．如图，平分，，，于点，，则的长为 ．
例3．如图，点D是外一点，连接，，过点C作，垂足为E．，，，的面积为14．
(1)求证：是的平分线．
(2)若，求线段的长．
例4．如图，平分，为上的一点，的两边分别与，相交于点、．

(1)如图1，若，，过点作于点，作于点，请判断与的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若，，判断线段、、的数量关系，并说明理由．
模型2.构造等腰三角形模型
1.条件:如图1,点 P 是∠AOB 平分线 OC 上一点.
辅助线作法:过点 P作PQ∥OB,交OA 于点Q.结论：△POQ 是等腰三角形.
2.条件:如图2,OC 是∠AOB 的平分线,点 D是OA上一点.
辅助线作法：过点 D作DE∥OC，交BO的延长线于点 E.
结论：△DOE是等腰三角形.
3.条件：如图3，P是∠MON平分线上一点，已知AP⊥OP.
辅助线作法：延长AP，交ON于点 B.
结论:△AOB 是等腰三角形,OP 垂直平分AB
例1．如图，是的角平分线，，垂足为D，，，则 °．
例2．如图，是的角平分线，，交于点．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由．
例3．（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由；
（2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ；
（3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ．
模型3.构造轴对称图形模型
1.截长法
条件:如图1,在△ABC中,点D 在BC 上,且AD平分∠BAC.
辅助线作法:在AB上截取AF=AC,连接DF.结论:△ACD≌△AFD.
2.补短法
条件:如图2,在△ABC 中,点 D 在 BC 上,∠ACB=2∠B,且AD 平分∠BAC.
辅助线作法:延长AC 至点 E,使AE=AB,连接DE.
结论:△AED≌△ABD
例1．在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证．
(1)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想.
(2)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明.
例2．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系．
一、单选题
1．如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点在上，角两边与轴轴分别交于点，点，则等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．如图，D为的两个内角的平分线的交点．若，则点D到边的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在中，，，平分交于点D，交的延长线于点E．则下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
4．如图，在中，的平分线与的平分线相交于点，过点作交于点，交于点的周长为的面积是7，则的面积是 ．
5．如图，在中，，边的垂直平分线与的延长线交于点，与外角的平分线交于点，过作，垂足为，若，，则为 ．
6．如图，动点与线段构成，其边长满足，，．在中运用三角形三边关系，可求得的取值范围是 ，若点在的平分线上，且，则的面积的最大值为 ．
三、解答题
7．如图，在中，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E．

(1)求的度数；
(2)求证：是等腰三角形；
(3)若，求的长（用含m，n的式子表示）．
8．如图1：在中，平分，且，
(1)若，求的长；
(2)如图2，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长．
9．学习完15章，小希同学总结了学习心得：“对称是一种解题方法，即分析问题时我们要善于观察并利用问题自身条件的某些对称性．”结合以上内容解决问题：
(1)如图1，在中，，，DE垂直平分AB，交于点，，则 ．
(2)如图2，中，点、分别在、的延长线上，平分，平分．
①求证：平分；
②若，且与的面积分别是和，求．
10．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接．
(1)求证：平分．
(2)求证：平分．
(3)若，，，，求的面积．
11．如图，在中，．
(1)如图1，当，为的角平分线时，求证：；
(2)如图2，当，为的角平分线时，线段，，的数量关系为________；
(3)如图3，当为的外角平分线时，线段，，的数量关系为________；
12．【问题初探】
(1)在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在四边形中，，平分．求证∶．
①如图2，小刚同学从条件的角度出发，利用角平分线的性质，过点 D作于点F，交的延长线于点E，从而构造含线段的两个三角形全等．
②如图3，小昀同学在上截取，连接，构造出以角平分线上的线段为公共边的两个三角形全等，将与之间的数量关系转化为与之间的数量关系．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
(2)李老师发现之前两名同学都构造全等三角形，为了巩固提升同学们作辅助线构造全等三角形的能力，李老师提出下面的问题，请你解答．
如图4，在中，点D在边上，，点E在边上，．求证∶．
【学以致用】
(3)如图5，在中，，，过C作，点E在上，且，连接交于点F，连接．写出线段之间的数量关系，并证明．