2025年中考数学复习(全国通用)专题06三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型解读与提分精练(原卷版+解析)

这是一份2025年中考数学复习(全国通用)专题06三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型解读与提分精练(原卷版+解析)，共78页。试卷主要包含了铅笔头模型等内容，欢迎下载使用。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc10156" PAGEREF _Tc10156 \h 2
\l "_Tc15793" 模型1.猪蹄模型（M型与锯齿型） PAGEREF _Tc15793 \h 2
\l "_Tc2021" 模型2.铅笔头模型 PAGEREF _Tc2021 \h 3
\l "_Tc11890" 模型3.牛角模型 PAGEREF _Tc11890 \h 4
\l "_Tc28028" 模型4.羊角模型 PAGEREF _Tc28028 \h 4
\l "_Tc4542" 模型5.蛇形模型（“5”字模型） PAGEREF _Tc4542 \h 5
\l "_Tc21639" PAGEREF _Tc21639 \h 6
模型1.猪蹄模型（M型与锯齿型）
先说说这个名字的由来，为什么叫猪蹄模型呢？因为它长得像猪蹄，也有叫M模型或锯齿模型的，都是根据外形来取的，只要你喜欢，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才是关键。。
①注意：拐角为左右依次排列；②若出现不是依次排列的，应进行拆分。
图1 图2 图3
条件：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②条件：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.
证明：如图1，过点P作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．
条件：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.
证明：根据图1中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
条件：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.
证明：由图2的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
例1．（2024·山西·二模）如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束与平行射入接收天线，经反射聚集到焦点处，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2024九年级下·辽宁·学业考试）如图，， ，则的度数为 ．
例3．（2023春·河南驻马店·九年级专题练习）已知， ， ，若，则为（ ）
A．23°B．33°C．44°D．46°
例4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，当人脚与地面的夹角时，求出此时上身与水平线的夹角的度数为（ ）
A．B．C．D．
例5．（23-24七年级下·广东云浮·期末）小明学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识后，对角之间的关系进行了拓展探究．如图，直线，直线是直线，的第三条截线，，分别是，的平分线，并且相交于点K．
问题解决：（1），的平分线，所夹的的度数为______；
问题探究：（2）如图2，，的平分线相交于点，请写出与之间的等量关系，并说明理由；
拓展延伸：（3）在图3中作，的平分线相交于点K，作，的平分线相交于点，依此类推，作，的平分线相交于点，求出的度数．

例6．（2024·上海·八年级校考期中）已知，直线AB∥CD。（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC的度数是多少？
（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC的度数是多少？
（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．
模型2.铅笔头模型（子弹模型）
因为它长得像铅笔头或，也有叫子弹模型的，都是根据外形来取的，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才是关键。
①注意拐角朝同一方向 ②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分.
图1 图2 图3
条件：如图1，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；（该结论和条件互换结果任然成立）。
证明：在图2中，过P作AM的平行线PF，∵AB∥CD，∴PF∥CD，
∴∠1+∠APF＝180°，∠3+∠CPF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；
条件：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
证明：在图2中，过P1作AM的平行线P1E，过点P2作AM的平行线P2F，
∵AB∥CD，∴P1E∥BN∥P2F，∴∠1+∠AP1E＝180°，∠P2P1E+∠P1P2F＝180°，∠FP2B+∠4＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
条件：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
证明：在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，
根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．
例1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜的折射后，折射光线和折射光线交主光轴于点P，若，，则 °．
例2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023下·江苏南通·七年级统考期末）如图，直线，点E，F分别是直线上的两点，点P在直线和之间，连接和的平分线交于点Q，下列等式正确的是（ ）

A．B．C． D．
例4．（2023上·广东广州·八年级校考开学考试）如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则 （度）；
（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则 （度）；
（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则 （度）；
（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是 （度）．

例5．（2023下·江苏南京·七年级统考期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，探索问题的解．

(1)如图1，，点E为、之间的一点．求证：．
(2)如图2，，点E、F、G、H为、之间的四点．则______．
(3)如图3，，则______．
模型3.牛角模型
因为它长得像犀牛角，故取名牛角模型。

图1 图2
条件：如图1，已知：AB∥CD，且∠E＝，∠ABE＝，∠CDE＝，结论：.
证明：如图，延长AB交DE于点F，∵AB∥CD，∴∠BFE＝∠CDF＝，
∵∠ABE＝∠BFE+∠E（外角定理），∴∠ABE＝∠CDF+∠E，∴；
条件：如图2，已知：AB∥CD，且∠E＝，∠ABE＝，∠CDE＝，结论：.
证明：如图，延长AB交DE于点F，
∵AB∥CD，∴∠BFD＝∠CDF＝，∴∠BFE＝180°-∠BFD＝180°-，
∵∠ABE＝∠E+∠BFE（外角定理），∴∠ABE＝∠E+180°-∠BFD，∴；
例1．（2024·山西·模拟预测）抖空竹是一种传统杂技节目，是国家级非物质文化遗产之一．如图1是某同学“抖空竹”的一个瞬间，若将其抽象成图2的数学问题：在平面内，已知，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，若，则（ ）
A．B．C．D．
例3．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为______．
例4．（2023春·广东深圳·九年级校校考期中）已知直线，点为直线，所确定的平面内的一点，(1)问题提出：如图1，，．求的度数：
(2)问题迁移：如图2，写出，，之间的数量关系，并说明理由：
(3)问题应用：如图3，，，，求的值．
例5．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，．

(1)如图，求证；(2)如图，点在上，平分，交于点，探究的数量关系，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，如图交延长线于点，求的度数．
模型4.羊角模型
因长像酷似山羊角，故取名羊角模型。
图1 图2
条件：如图1，已知：AB∥DE，且∠C＝，∠B＝，∠D＝，结论：.
证明：∵AB∥DE，∴∠AFC＝∠D＝，
∵∠AFC＝∠B+∠C（外角定理），∴∠D＝∠B+∠C，∴；
条件：如图2，已知：AB∥DE，且∠C＝，∠B＝，∠D＝，结论：.
证明：∵AB∥CD，∴∠BFD+∠D＝180°∴∠BFD＝180°-∠D＝180°-，
∵∠BFD＝∠B+∠C（外角定理），∴180°-∠D＝∠B+∠C，∴；
例1．（2024·重庆江津·模拟预测）如图，已知，如果，，那么的度数为 ．

例2．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ．
例3．（2023·河南·统考三模）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例4．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，的角平分线交的角平分线的反向延长线于点P，直线交于点N，若，则 °
例5．（2023七年级下·江苏·专题练习）已知．
(1)如图1，求证：；
(2)若F为直线、之间的一点，，平分交于点G，交于点C．
①如图2，若，且，求的度数；②如图3，若点K在射线上，且满足，若，，直接写出的度数．
模型5.蛇形模型（“5”字模型）
因模型像一条弯曲的水蛇，故取名蛇形模型。

图1 图2
条件：如图1，已知：AB∥DE，∠C＝，∠B＝，∠D＝，结论：.
证明：在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠BCF＝∠B，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD+∠D＝180°，∴∠BCF+∠FCD+∠D＝∠B+180°，
∴∠BCD+∠D＝∠B+180°，∴.
条件：如图2，已知：AB∥DE，∠C＝，∠B＝，∠D＝，结论：.
证明：在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠B+∠BCF＝180°，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD＝∠D，∴∠B+∠BCF+∠FCD＝∠D+180°，
∴∠BCD+∠D＝∠B+180°，∴.
例1．（2023·四川广元·统考三模）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，则等于（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
例2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则 ．
例3．（23-24七年级下·湖北鄂州·期中）如图，已知点，，不在同一条直线上，．
(1)求证；(2)如图2，，分别为三等分、所在直线，，，试探究与的数量关系；(3)如图3，在（2）的前提下，且有，直线、交于点，，请直接写出_________．
例4．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，，．
(1)如果，求的度数；设，，直接写出、之间的数量关系： ；(2)如图，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数；
(3)在（2）的条件下，若，点为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．已知，求的度数．
1．（2023·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，若，，，则的度数是（）
A．115°B．130°C．140°D．150°
2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线．若，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·广东深圳·模拟预测）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，若，，，，那么的度数为（ ）

A．B．C．D．
6．（24-25九年级上·湖北·课后作业）①如图①，，则；
②如图②，，则；③如图③，，则；
④如图④，直线，点在直线上，则．以上结论正确的是（ ）
A．①②③④B．③④C．①②④D．②③④
7．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，是某款婴儿车的几何示意图，若，，，则的度数是 °．
8．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则 ．
9．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，，为上方一点，、分别为、上的点，、的角平分线交于点，的角平分线与的延长线交于点，若，，则的度数等于 ．
10．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，两直线、平行，则 ．
11．（2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）问题探究：如下面四个图形中， ABCD．
（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．
（2）请你从中任选一个加以说明理由．
解决问题：（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．
12．（2023春·湖北黄冈·七年级校考期中）如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，

(1)求证：：(2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系；(3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出 ．
13．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：，点在上，点、在上，点在、之间，连接、、，，，垂足为点．
(1)如图1，求的度数；(2)如图2，平分，平分，、交于点，求的度数；(3)如图3，在（2）的条件下，平分交于点，若，与所在直线交于点，若射线从射线的位置开始绕着点逆时针以每秒的速度进行旋转，射线交直线于点，旋转时间为秒，当为何值时，第一次与平行？并求此时的度数．
14．（24-25八年级上·四川泸州·开学考试）（1）如图1，已知，，，则求的度数；（2）如图2，在（1）的条件下，平分，平分，则的度数．
（3）如图2，已知，平分，平分，．当点P、M在直线AC同侧时，直接写出与的数量关系： ；
（4）如图3，已知，平分，平分．当点P、M在直线异侧时，直接写出与的数量关系： ．
15．（23-24七年级下·河北邯郸·期中）已知，直线，点为平面上一点，连接与．
(1)如图1，点在直线之间，当，时，求的度数．
(2)如图2，点在直线之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3，点落在下方，与的角平分线相交于点，请直接写出与的数量关系．
16．（23-24七年级下·湖北武汉·期中），点E、F分别在、上；点O在直线、之间，且(1)如图1，①若，求的度数；
②若，请你直接写出________；
(2)如图2，直线分别交、的角平分线于点M、N，求的值
(3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点M、N，且，直接写出m的值
17．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）【问题初探】（1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行线的作用．李老师给出如下问题：，点为下方一点，连接，得到，试探究与的数量关系．（1）小红的做法是：如图2，过点作．
（2）小明的做法是：如图3，设交于点，过点作．
请你选择一名同学的做法，写出证明过程．
【归纳总结】（2）李老师和同学们发现，在解决题目的过程中，都运用了作平行线的方法，平行线起到了构造等角的作用．为了帮助学生更好的体会平行线的作用，李老师提出了下面问题，请你解答．
如图4，直线，点在之间，点在下方，连．延长至和的角平分线相交于点．探究与的数量关系；
【学以致用】（3）如图5，和的角平分线相交于点．作平分交的延长线于点，若，求的度数．
18．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】如图1，，点P，Q位于两侧，连接，，，，直接写出①，，的数量关系为______；②，，的数量关系为______；
【尝试应用】如图2，在（1）的条件下，作，的角平分线交于点M，若与互补，试写出与的数量关系，并证明：（【问题背景】中相关结论可以直接使用）
【拓展创新】如图3，，点M，N位于左侧，作，的角平分线交于点P，；若，直接写出的度数是______．
19．（23-24七年级下·重庆·期中）已知点A，B，C不在同一条直线上，．
(1)如图①，求证：；(2)如图②，分别为，的角平分线所在的直线，，求的度数．(3)如图③，分别为，的角平分线所在的直线，延长交直线于点P，且，，直接写出的值为 ．
20．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）【问题原型】如图①和②，，点M在如图所在位置，请分别写出图①和②中、、之间的关系并选择一个结论进行证明；
【推广应用】（1）如图，，邻补角的平分线与的角平分线相交于点N，试探究、的数量关系并写出证明过程；
（2）如图，，和的三等分角线交于点M，，，，求的度数．
专题06 三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型
近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模型(M型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc10156" PAGEREF _Tc10156 \h 2
\l "_Tc15793" 模型1.猪蹄模型（M型与锯齿型） PAGEREF _Tc15793 \h 2
\l "_Tc2021" 模型2.铅笔头模型 PAGEREF _Tc2021 \h 3
\l "_Tc11890" 模型3.牛角模型 PAGEREF _Tc11890 \h 4
\l "_Tc28028" 模型4.羊角模型 PAGEREF _Tc28028 \h 4
\l "_Tc4542" 模型5.蛇形模型（“5”字模型） PAGEREF _Tc4542 \h 5
\l "_Tc21639" PAGEREF _Tc21639 \h 6
模型1.猪蹄模型（M型与锯齿型）
先说说这个名字的由来，为什么叫猪蹄模型呢？因为它长得像猪蹄，也有叫M模型或锯齿模型的，都是根据外形来取的，只要你喜欢，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才是关键。。
①注意：拐角为左右依次排列；②若出现不是依次排列的，应进行拆分。
图1 图2 图3
条件：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②条件：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.
证明：如图1，过点P作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．
条件：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.
证明：根据图1中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
条件：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.
证明：由图2的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
例1．（2024·山西·二模）如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束与平行射入接收天线，经反射聚集到焦点处，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，作，则，结合得出，推出，最后由，即可得解．
【详解】解：如图，作，则，
，，，
，故选：B．
例2．（2024九年级下·辽宁·学业考试）如图，， ，则的度数为 ．
【答案】/80度
【分析】本题考查了平行线的性质、等边对等角等知识点，作可得；根据即可求解.
【详解】解：作，如图所示：∵，∴
∵∴∴
∵∴故答案为：
例3．（2023春·河南驻马店·九年级专题练习）已知， ， ，若，则为（ ）
A．23°B．33°C．44°D．46°
【答案】C
【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得 ，同样的方法可得，再根据角的倍分可得 ，由此即可得出答案．
【详解】如图，过点E作，则，
∴ ， ，
同理可得：， ，
∴，
，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
例4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，当人脚与地面的夹角时，求出此时上身与水平线的夹角的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】延长交直线于点，利用平行线的性质得出，再由两直线平行，内错角相等即可得出结果．
【详解】解：延长交直线于点，，，

根据题意得，，故选：A．
【点睛】题目考查平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．
例5．（23-24七年级下·广东云浮·期末）小明学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识后，对角之间的关系进行了拓展探究．如图，直线，直线是直线，的第三条截线，，分别是，的平分线，并且相交于点K．
问题解决：
（1），的平分线，所夹的的度数为______；
问题探究：（2）如图2，，的平分线相交于点，请写出与之间的等量关系，并说明理由；
拓展延伸：（3）在图3中作，的平分线相交于点K，作，的平分线相交于点，依此类推，作，的平分线相交于点，求出的度数．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【分析】本题考查利用平行线的性质和平行公理的推论探究角的关系(拐点问题)，角平分线的相关计算等知识，掌握平行线的性质是解题的关键．（1）证明过点K作，则，利用平行线的性质推出，继而推出，从而得到；（2）与（1）同理可得：，继而得解；（3）由（2）得，同理得，，继而总结规律得，从而得解．
【详解】解：（1）如图，过点K作，则，
∴，

∵，分别是，的平分线，并且相交于点K，∴，
∴，
∴，故答案为：．
（2）．理由：如图，过点作．
，，，，．
，的平分线相交于点，，，
．
由（1），知，．
（3）由（2），可知．同理，可得，
，……．
当时，．
例6．（2024·上海·八年级校考期中）已知，直线AB∥CD。（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC的度数是多少？
（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC的度数是多少？
（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．
【答案】（1）70°；（2）∠AGC=（x+y）°；（3）∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．
【分析】（1）过点G作GE∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解．（2）过点G作GF∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解．（3）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，利用平行线的性质即可进行转化找到角的关系．
【详解】解：（1）如图，过点G作GE∥AB，

∵AB∥GE，∴∠A+∠AGE=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠A=140°，∴∠AGE=40°．∵AB∥GE，AB∥CD，∴GE∥CD．
∴∠C+∠CGE=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠C=150°，∴∠CGE=30°．∴∠AGC=∠AGE+∠CGE=40°+30°=70°．
（2）如图，过点G作GF∥AB
∵AB∥GF，∴∠A=AGF（两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥GF，AB∥CD，∴GF∥CD．∴∠C=∠CGF．
∴∠AGC=∠AGF+∠CGF=∠A+∠C ．∵∠A=x°，∠C=y°，∴∠AGC=（x+y）°．
（3）如图所示，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，
∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD．
∴∠BAE=∠AEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGQ，∠QGC=∠GCD（两直线平行，内错角相等）．
∴∠AEF=∠BAE+∠EFN，∠FGC=∠NFG+GCD．
∵∠EFN+∠NFG=∠EFG，∴∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，本题构造辅助线利用平行线的传递性结合平行线性质是解题关键．
模型2.铅笔头模型（子弹模型）
因为它长得像铅笔头或，也有叫子弹模型的，都是根据外形来取的，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才是关键。
①注意拐角朝同一方向 ②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分.
图1 图2 图3
条件：如图1，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；（该结论和条件互换结果任然成立）。
证明：在图2中，过P作AM的平行线PF，∵AB∥CD，∴PF∥CD，
∴∠1+∠APF＝180°，∠3+∠CPF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；
条件：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
证明：在图2中，过P1作AM的平行线P1E，过点P2作AM的平行线P2F，
∵AB∥CD，∴P1E∥BN∥P2F，∴∠1+∠AP1E＝180°，∠P2P1E+∠P1P2F＝180°，∠FP2B+∠4＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
条件：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
证明：在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，
根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．
例1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜的折射后，折射光线和折射光线交主光轴于点P，若，，则 °．
【答案】45
【分析】根据平行线的性质和对顶角的性质即可得到结论．此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
【详解】解：，，，
又，，
，，
，．故答案为：45．
例2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，根据，得出，结合，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：如图：∵
∴则
∵∴故选：D
例3．（2023下·江苏南通·七年级统考期末）如图，直线，点E，F分别是直线上的两点，点P在直线和之间，连接和的平分线交于点Q，下列等式正确的是（ ）

A．B．C． D．
【答案】A
【分析】过点P作，过点Q作，可得，从而得到，，，进而得到，再由角平分线的定义可得，即可求解．
【详解】解：如图，过点P作，过点Q作，

∵，∴，
∴，，
，∴，
∵和的平分线交于点Q，∴，
∴，
∵，
∴．故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
例4．（2023上·广东广州·八年级校考开学考试）如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则 （度）；
（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则 （度）；
（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则 （度）；
（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是 （度）．

【答案】 360 540 720 180n
【分析】过点作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于的倍；
（1）分别过、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的三倍；（2）分别过、、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的四倍；（3）根据前三问个的剪法，剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度．
【详解】过作（如图②）．
∵原四边形是长方形，∴，
又∵，∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∵，∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∵，∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∴，
又∵，∴；

（）分别过、分别作的平行线，如图③所示，
用上面的方法可得；
（）分别过、、分别作的平行线，如图④所示，
用上面的方法可得；
（）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度．
故答案为：；；；．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．
例5．（2023下·江苏南京·七年级统考期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，探索问题的解．

(1)如图1，，点E为、之间的一点．求证：．
(2)如图2，，点E、F、G、H为、之间的四点．则______．
(3)如图3，，则______．
【答案】(1)证明见详解；(2)；(3)；
【分析】（1）过点作，可得，根据平行线的性质可得，，再计算角度和即可证明；（2）分别过点E、F、G、H作的平行线，在两相邻平行线间利用两直线平行同旁内角互补求得两角度和后，再将所有角度相加即可解答；（3）由（2）解答可知在、之间每有一条线段便可求得一个180°角度和，结合图3找出n和线段条数的关系便可解答；
【详解】（1）证明：如下图，过点作，

∵，，∴，
根据两直线平行同旁内角互补可得：，，
∴，∴；
（2）解：如下图，分别过点E、F、G、H作，，，，
结合（1）解答在两相邻平行线间可得：，
，，，
，将所有角度相加可得：；
（3）解：由（2）解答可知在、之间每有一条线段便可求得一个180°角度和，
由图3可知：当、之间有2条线段时，，当、之间有3条线段时，，
当、之间有4条线段时，，当、之间有5条线段时，，…，
当、之间有条线段时，，∴；
【点睛】本题考查了平行线公理的推论，平行线的性质，归纳总结的解题思路，通过作辅助线将角度按组计算是解题关键．
模型3.牛角模型
因为它长得像犀牛角，故取名牛角模型。

图1 图2
条件：如图1，已知：AB∥CD，且∠E＝，∠ABE＝，∠CDE＝，结论：.
证明：如图，延长AB交DE于点F，∵AB∥CD，∴∠BFE＝∠CDF＝，
∵∠ABE＝∠BFE+∠E（外角定理），∴∠ABE＝∠CDF+∠E，∴；
条件：如图2，已知：AB∥CD，且∠E＝，∠ABE＝，∠CDE＝，结论：.
证明：如图，延长AB交DE于点F，
∵AB∥CD，∴∠BFD＝∠CDF＝，∴∠BFE＝180°-∠BFD＝180°-，
∵∠ABE＝∠E+∠BFE（外角定理），∴∠ABE＝∠E+180°-∠BFD，∴；
例1．（2024·山西·模拟预测）抖空竹是一种传统杂技节目，是国家级非物质文化遗产之一．如图1是某同学“抖空竹”的一个瞬间，若将其抽象成图2的数学问题：在平面内，已知，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，延长交于F，根据两直线平行，同位角相等得到，再由三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长交于F，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
例2．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如图所示，过点E作，则，由平行线的性质得到，进一步推出．
【详解】解：如图所示，过点E作，
∵，∴，∴，
∴，
∴，∴，故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
例3．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为______．
【答案】∠P＝360°﹣2a
【分析】根据角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，平行线的性质得出∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，进而根据三角形内角和得出∠5、∠FED，再得到∠P和a的关系，然后即可用 a表示∠P．
【详解】解：延长AB交PD于点G，延长FE交CD于点H，
∵BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵AB∥CD，∴∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，
∵∠PBG＝180°﹣2∠1，∴∠PBG＝180°﹣2∠5，∴∠5＝90°﹣∠PBG，
∵∠FED＝180°﹣∠HED，∠5＝180°﹣∠EHD，∠EHD＋∠HED＋∠3＝180°，
∴180°﹣∠5＋180°﹣∠FED＋∠3＝180°，∴∠FED＝180°﹣∠5＋∠3，
∴∠FED＝180°﹣（90°﹣∠PBG）＋∠6＝90°＋（∠PBG＋∠6）＝90°＋（180°﹣∠P）＝180°﹣∠P，∵∠FED＝a，∴a＝180°﹣∠P∴∠P＝360°﹣2a．故答案为：∠P＝360°﹣2a．
【点睛】此题考查了角平分线的性质和平行线的性质及三角形内角和，有一定的综合性，认真找出角的关系是关键．
例4．（2023春·广东深圳·九年级校校考期中）已知直线，点为直线，所确定的平面内的一点，(1)问题提出：如图1，，．求的度数：
(2)问题迁移：如图2，写出，，之间的数量关系，并说明理由：
(3)问题应用：如图3，，，，求的值．
【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)
【分析】（1）过点作，易得，由平行线的性质可得，，即可求出；（2）过点作，易得，根据平行线的性质可得；
（3）过点作，过点作，易得，，根据平行线的性质可得，，再由已知等量代换，即可求得的值．
【详解】（1）解：如图1所示，过点作，，

，，，，．
，，；
（2）解：，理由如下：
如图2，过点作，，，，，
，；
（3）解：如图3，过点作，过点作，
，，，
，
，
，，，
，，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，正确构造辅助线是解题的关键．
例5．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，．

(1)如图，求证；(2)如图，点在上，平分，交于点，探究的数量关系，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，如图交延长线于点，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)
【分析】（1）证明：延长交于点，则，结合已知即可得出，据此即可得出结论；（2）设，，由角平分线的定义得，，由（1）可知∥，则，，然后由得，再四边形的内角和等于得，即，据此可得出，的数量关系；
（3）设，则，，由∥得，而，然后根据得，据此可求出，则，最后根据周角的定义可求出的度数．
【详解】（1）证明：延长交于点，，

，，∥．
（2）解：，的数量关系是：，理由如下：
设，，平分，，
，，，
由（1）可知：∥，，，
，，，
由四边形的内角和等于得：，
即：，，．
（3）解：设，，
，由（1）可知：∥，
，，
，，
，，解得：，
，，根据周角的定义得：，
．
【点睛】此题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补．
模型4.羊角模型
因长像酷似山羊角，故取名羊角模型。
图1 图2
条件：如图1，已知：AB∥DE，且∠C＝，∠B＝，∠D＝，结论：.
证明：∵AB∥DE，∴∠AFC＝∠D＝，
∵∠AFC＝∠B+∠C（外角定理），∴∠D＝∠B+∠C，∴；
条件：如图2，已知：AB∥DE，且∠C＝，∠B＝，∠D＝，结论：.
证明：∵AB∥CD，∴∠BFD+∠D＝180°∴∠BFD＝180°-∠D＝180°-，
∵∠BFD＝∠B+∠C（外角定理），∴180°-∠D＝∠B+∠C，∴；
例1．（2024·重庆江津·模拟预测）如图，已知，如果，，那么的度数为 ．

【答案】/35度
【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据平行线的性质得到，再根据等边对等角以及外角定理即可求解．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，故答案为：．
例2．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ．
【答案】/65度
【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，根据平行线的性质，得到，等边对等角，得到，再根据角的和差关系求出的度数即可．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，，∴，
∵，∴，∴；故答案为：．
例3．（2023·河南·统考三模）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作，则，根据平行线的性质可得到，，即可求得．
【详解】如图，过点作，
∵，，∴．
∴，．
∵，∴．
∴．故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解是解决问题的关键．
例4．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，的角平分线交的角平分线的反向延长线于点P，直线交于点N，若，则 °
【答案】36
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的外角定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理，
根据角平分线的性质和可得，再根据三角形的外角定理分别求出，，进而可求解
【详解】解：如图所示：交于点E，
由题意可知：平分，平分，
，
，，即，
，，
是的一个外角，
是的一个外角，
,故答案为：36
例5．（2023七年级下·江苏·专题练习）已知．
(1)如图1，求证：；
(2)若F为直线、之间的一点，，平分交于点G，交于点C．
①如图2，若，且，求的度数；②如图3，若点K在射线上，且满足，若，，直接写出的度数．
【答案】(1)见解析(2)①；②或
【分析】（1）过E作，然后根据两直线平行，内错角相等进行解答即可；（2）①过F作，交于H点，过点作，则，,根据平行线的性质可得，根据角平分线的性质结合，从而得出，进而得出答案；②过点F作，设，则，，所以，，然后分当K在上；当K在延长线上两种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：如图，过E作，∴，

又∵，∴，∴，即；
（2）①如图，过F作，交于H点，过点作，则，,
∵，∴，∴，
∵平分，∴，∵，∴，
∵，即，∴，
∵，∴，
即，∴；
②如图，过点F作，设，则，，
∴，∴，，
当K在上，，∴，
∴，∴；
当K在延长线上时，，，
∴，∴，综上所述，或．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质、作出正确辅助线、运用分类讨论的思想解题是关键．
模型5.蛇形模型（“5”字模型）
因模型像一条弯曲的水蛇，故取名蛇形模型。

图1 图2
条件：如图1，已知：AB∥DE，∠C＝，∠B＝，∠D＝，结论：.
证明：在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠BCF＝∠B，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD+∠D＝180°，∴∠BCF+∠FCD+∠D＝∠B+180°，
∴∠BCD+∠D＝∠B+180°，∴.
条件：如图2，已知：AB∥DE，∠C＝，∠B＝，∠D＝，结论：.
证明：在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠B+∠BCF＝180°，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD＝∠D，∴∠B+∠BCF+∠FCD＝∠D+180°，
∴∠BCD+∠D＝∠B+180°，∴.
例1．（2023·四川广元·统考三模）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，则等于（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
【答案】D
【分析】过点C作，根据平行线的性质即可求出的度数．
【详解】解：过点C作，∴，
∵∴；
∵，∴；
由题意，∴，∴．故选：D
【点睛】本题考查平行线的判断和性质，作出辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
例2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则 ．
【答案】/104度
【分析】本题考查了角平分线的意义，平行线的性质，平角的意义，四边形内角和，先根据角平分线的意义设，继而根据平角的意义得出，再由平行线的性质及四边形内角和得出，结合，求解即可．
【详解】∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，
∴设，
∴，过点F作，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，
即，∵，∴，故答案为：．
例3．（23-24七年级下·湖北鄂州·期中）如图，已知点，，不在同一条直线上，．
(1)求证；(2)如图2，，分别为三等分、所在直线，，，试探究与的数量关系；(3)如图3，在（2）的前提下，且有，直线、交于点，，请直接写出_________．
【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)
【分析】（1）过点作，则，可得，，，即可求解；（2）过点作，则，可得，，再由，，可得，，可得，再由（1）中结论，即可求解；（3）根据，可得∠ACP=3∠AQB，再由AC∥BQ，可得∠PAC=∠AQB，∠PBQ=∠ACP，从而得到∠PAC=30°，进而得到∠QBP=∠ACP=90°，再由，，可得∠CAD=45°，∠EBC=135°，即可求解．
【详解】（1）解：过点作，则，
∵，∴，，，
，
（2）解：过点作，则，
∵，，∴，，
∵，，∴，
即，由（1）得：，∴．
（3）解：∵，∠ACB+∠ACP=180°，∴∠ACP=3∠AQB，
∵AC∥BQ，∴∠PAC=∠AQB，∠PBQ=∠ACP，∴∠ACP=3∠CAP，
∵，∴∠PAC+∠ACP=120°，即∠PAC+3∠PAC=120°，解得：∠PAC=30°，
∴∠QBP=∠ACP=90°，∴∠ACB=90°，∵，∴∠PAC=2∠DAH，∴∠DAH=15°，即∠CAD=45°，
∵，∴∠EBQ=45°，∴∠EBC=135°，
∴．故答案为：
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
例4．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，，．
(1)如果，求的度数；设，，直接写出、之间的数量关系： ；(2)如图，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数；
(3)在（2）的条件下，若，点为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．已知，求的度数．
【答案】(1)(2)不发生变化；，理由见详解(3)或
【分析】（1）过点作，则有，然后得到，，然后计算解题；过点作，则有，，再根据直角得到结论；（2）由可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同的推导过程得到结论；（3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题．
【详解】（1）解：过点作，
，，，，
又，，；
过点作，，，
，，
又，，，故答案为：；

（2）解：不发生变化；，理由为：由可得，，
、的角平分线交于点，，，
，
过作，，；
（3）由（2）得，，，
，，
过点作，，，
，，，
当点在点的左侧时，如图，则，

，；
当点在点的右侧时，如图，则，
，．
综上所述，或．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角的计算、角平分线的性质等知识点．
1．（2023·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，若，，，则的度数是（）
A．115°B．130°C．140°D．150°
【答案】C
【分析】利用平行线的传递性作出辅助线，再通过平行线的性质即可解决问题．
【详解】解：过作的平行线，如图所示；
，∴
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的基本性质与平行的传递性，两直线平行，内错角相等、同旁内角互补，根据传递性做出辅助线是解决问题的关键．
2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作工作篮底部，根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【详解】解：如图，过点作工作篮底部，，

工作篮底部与支撑平台平行，工作篮底部支撑平台，，
，，，，故选：．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形外角性质，平行的性质，解题关键是熟练掌握并运用相关知识．根据可得，，根据三角形外角性质结合可得，即可求得的度数．
【详解】解：∵，．
又∵，，．故选：C．
4．（2024·广东深圳·模拟预测）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，延长交于点，先利用平行线的性质可得，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：延长交于点，∵，∴，
∵是的一个外角，∴，故选：．
5．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，若，，，，那么的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，由平行线的性质得出，，再结合计算即可得出答案．
【详解】解：∵，，∴，，
∴，∴，故选：D．
6．（24-25九年级上·湖北·课后作业）①如图①，，则；
②如图②，，则；③如图③，，则；
④如图④，直线，点在直线上，则．以上结论正确的是（ ）
A．①②③④B．③④C．①②④D．②③④
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角定理，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键．
对于“拐点”类问题，一般是过“拐点”作平行线，根据平行线的性质和三角形的外角定理即可求解判断出角度之间的数量关系．
【详解】解：①，如解图①，过点作，，
，，，，故①正确；
②，如解图②，设与交于点，
，，是的一个外角，，
，，故②正确；③，由①可得：，
，，，故③不正确；
④，，，，
，，故④正确；
所以结论正确的是①②④，故选：C．
7．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，是某款婴儿车的几何示意图，若，，，则的度数是 °．
【答案】
【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，先证明，，再利用三角形的外角的性质解答即可．
【详解】∵，，，∴，，
∴．故答案为：
8．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，四边形内角和定理等．过作，则，根据平行线的性质和角平分线的定义，可得，，进而可得，，利用四边形内角和为度，可得，再结合即可求出的度数．
【详解】解：如图，过作，

∵，∴，
∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，
∴可设，，
∴，，
∴四边形中，
，即，①
又∵，∴，②
∴，解得，故答案为：．
9．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，，为上方一点，、分别为、上的点，、的角平分线交于点，的角平分线与的延长线交于点，若，，则的度数等于 ．
【答案】/164度
【分析】此题考查了平行线的性质，角平分线的概念，三角形内角和定理和外角的性质，
首先根据角平分线的概念结合平角得到，进而利用三角形内角和定理求出，然后由平行线的性质得到，然后根据三角形外角的性质得到，进而求解即可．
【详解】如图所示，
∵平分，平分∴，
∴
∵∴
∵∴∴
∵平分∴∴．故答案为：．
10．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，两直线、平行，则 ．
【答案】900°
【详解】分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB
观察图形可知，图中有5组同旁内角，
则故答案900°
【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键。
11．（2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）问题探究：如下面四个图形中， ABCD．
（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．
（2）请你从中任选一个加以说明理由．
解决问题：（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．
【答案】(1) 图1：∠1+∠2＝∠3； 图2：∠1+∠2+∠3＝； 图3：∠1＝∠2+∠3； 图4：∠1+∠3＝∠2；(2)见解析；(3)
【分析】(1) 图1：首先过点P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；
图2：首先过点P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案；图3：由ABCD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案；图4：由ABCD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案．
（2）选图1，过点P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；（3）利用图1结论进行求解
【详解】(1)图1：∠1+∠2＝∠3； 图2：∠1+∠2+∠3＝
图3：∠1＝∠2+∠3；图4：∠1+∠3＝∠2；
(2)选择图1，如图所示：过点P作EP//AB
∵ABCD，EPAB∴ABEPCD∴∠1=∠APE，∠2=∠EPC
又∵∠3＝∠APE+∠EPC∴∠1+∠2＝∠3；
(3)由图1可得：∠BOC＝∠ABO+∠DCO，
又∵∠ABO=57°，∠DCO=44°，∴∠BOC=57°+44°＝101°
【点睛】考查了平行线的性质与三角形外角的性质．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等以及两直线平行，同位角相等定理的应用与辅助线的作法．
12．（2023春·湖北黄冈·七年级校考期中）如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，

(1)求证：：(2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系；(3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出 ．
【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)
【分析】（1）过点C作，则，根据平行线的性质可得出、，据此可得；（2）过点Q作，则，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出，结合（1）的结论可得出；（3）由（2）的结论可得出①，由可得出②，联立①②可求出的度数，再结合（ 1）的结论可得出的度数，将其代入中可求出结论．
【详解】（1）在图①中，过点C作，则．

∵，∴，
∴．
（2）在图2中，过点Q作，则．
∵，∴．
∵平分，平分，∴，
∴．
∵，∴．
（3）∵，∴，
∴．
∵，∴．
又∵，∴，即，
∴，∴，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行线．
13．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：，点在上，点、在上，点在、之间，连接、、，，，垂足为点．
(1)如图1，求的度数；(2)如图2，平分，平分，、交于点，求的度数；(3)如图3，在（2）的条件下，平分交于点，若，与所在直线交于点，若射线从射线的位置开始绕着点逆时针以每秒的速度进行旋转，射线交直线于点，旋转时间为秒，当为何值时，第一次与平行？并求此时的度数．
【答案】(1)(2)(3)，
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角分线的性质．解题的关键是掌握拐点问题中的辅助线作法．
（1）根据平行线的性质和判定解答即可；
（2）过点作，过点作，根据平行线的判定和性质解答即可；
（3）过点作，先利用，设，，结合平行线的性质求出，利用，结合平行线的判定与性质求出，利用，，结合平行线的判定与性质求出，即可求出，即可求解．
【详解】（1）解：，，
，，，
，，；
（2）解：如图，过点作，过点作，
，，，
，，，，
，
平分，，
平分，，
；
（3）解：如图，过点作，
∵，∴设，，
∵平分，∴，
∵，∴，
∵平分，∴，
∵，∴，解得：，
∴，，
由（2）得，∴，∴，
∵，，∴，
∴，，，
∴，，
∵，，∴，∴，
∴，
∵点逆时针以每秒的速度进行旋转，∴，
综上，时，第一次与平行，此时．
14．（24-25八年级上·四川泸州·开学考试）（1）如图1，已知，，，则求的度数；（2）如图2，在（1）的条件下，平分，平分，则的度数．
（3）如图2，已知，平分，平分，．当点P、M在直线AC同侧时，直接写出与的数量关系： ；
（4）如图3，已知，平分，平分．当点P、M在直线异侧时，直接写出与的数量关系： ．
【答案】（1）70度；（2）35度；（3）；（4）
【分析】本题主要考查了平行线的性质探究角的关系， 角平分线的计算，以及三角形外角的定义以及性质等知识，掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）过P作，由平行线的性质可得出，，最后根据即可得出答案．
（2）延长交于点Q，则可得到，由（1）可得出，连接并延长到点R，由三角形外角的定义可得，，相加可得出，等量代换可得出，代入即可求出．（3）由（2）可得：．
（4）过P作于Q，于N，由平行线的性质可得出，，，，由角平分线的定义可得出，，最后根据，等量代换可得出
【详解】解：（1）如图1，过P作，∴，∵，∴，∴，

∵，，∴；
（2）如图2，延长交于点Q，则可得到，
则，
连接并延长到点R，则可得，，
∴，∴，∴；
（3）由（2）可得：，故答案为：；
（4）如图，过P作于Q，于N，则，
∴，，，，
∵平分，平分，∴，，
∴，
即，故答案为：．
15．（23-24七年级下·河北邯郸·期中）已知，直线，点为平面上一点，连接与．
(1)如图1，点在直线之间，当，时，求的度数．
(2)如图2，点在直线之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3，点落在下方，与的角平分线相交于点，请直接写出与的数量关系．
【答案】(1)(2)，见解析(3)
【分析】（1）先过作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可；
（2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到；
（3）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到．
【详解】（1）解：如图1，过作，
，，，，
；
（2）解：，理由如下：
如图2，过作，
，，，，
，过作，
，，，，
，，
与的角平分线相交于点，
，；
（3）．理由如下：如图3，过作，
∵，∴，∴，，
∴，
过作，，，，，
，，
∵与的角平分线相交于点K，∴，，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算．
16．（23-24七年级下·湖北武汉·期中），点E、F分别在、上；点O在直线、之间，且(1)如图1，①若，求的度数；
②若，请你直接写出________；
(2)如图2，直线分别交、的角平分线于点M、N，求的值
(3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点M、N，且，直接写出m的值
【答案】(1)①②(2)(3)
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质及三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质、角平分线的性质及三角形的外角性质并正确作出辅助线是解题关键．
（1）如图1，过点作，利用两直线平行，内错角相等的性质分别求得，，再根据，即可求出①②结论；
（2）如图2，过点作，过点作，利用两直线平行，内错角相等的性质，得到，再根据角平分线的性质，得到，，进而可求出的值；
（3）如图3，设直线交于点，与相交于点，由得到，根据三角形外角与内角关系得到，进而得到，再由三角形外角与内角关系求得，即可得到与的关系，即，再由题意可求得，，然后由，化简可得方程，求解即可．
【详解】（1）解：如图1，过点作，
，，，
①，，
，，；
②，，
，，，
；故答案为：；
（2）解：如图2，过点作，过点作，
，，，，，
，
平分，平分，
，，
又由（1）得，，
．
（3）解：如图3，设直线交于点，与相交于点，
，，，，
，，即，
，在内，，
，
，
，
，
，
即，
，
解得．
17．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）【问题初探】（1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行线的作用．李老师给出如下问题：，点为下方一点，连接，得到，试探究与的数量关系．（1）小红的做法是：如图2，过点作．
（2）小明的做法是：如图3，设交于点，过点作．
请你选择一名同学的做法，写出证明过程．
【归纳总结】（2）李老师和同学们发现，在解决题目的过程中，都运用了作平行线的方法，平行线起到了构造等角的作用．为了帮助学生更好的体会平行线的作用，李老师提出了下面问题，请你解答．
如图4，直线，点在之间，点在下方，连．延长至和的角平分线相交于点．探究与的数量关系；
【学以致用】（3）如图5，和的角平分线相交于点．作平分交的延长线于点，若，求的度数．
【答案】（1）①；②；（2）；（3）
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解答本题的关键．；
（1）①过点作，根据平行线的性质得出；
②设交于点，过点作．根据平行线的性质可得，，进而可得；
（2）根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得由（1）可得，即可求解．
（3）过点H作，利用（1）中结论，利用平行线的性质、角平分线定义、邻补角和为，角与角之间的基本运算、等量代换等得出，进而用等量代换得出．过点H作，由①的结论得．利用平行线性质得，由角平分线定义及邻补角可得．继续使用等量代换可得度数．
【详解】解：（1）①小红的做法是：如图2，过点作．
∵
∴
∴
∵；
②小明的做法是：如图3，设交于点，过点作．
∴，
∵
∴
∴
（2）如图所示，过点作
∵和的角平分线相交于点．
∴
∵
∴
∴
由（1）可得
∴
（3）过点H作，如图，
由（1）可得，
由图可知，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
即．
∵，
∴．
∴．
过点H作．
∵，
∴．
∴，
∵平分，
∴．
∵．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】如图1，，点P，Q位于两侧，连接，，，，直接写出①，，的数量关系为______；②，，的数量关系为______；
【尝试应用】如图2，在（1）的条件下，作，的角平分线交于点M，若与互补，试写出与的数量关系，并证明：（【问题背景】中相关结论可以直接使用）
【拓展创新】如图3，，点M，N位于左侧，作，的角平分线交于点P，；若，直接写出的度数是______．
【答案】问题背景：①；②；尝试应用：；拓展创新：
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角度的和差计算，准确作出平行线利用平行线性质证明即可．
问题背景：过点P作，根据两直线平行内错角相等求解，过点Q作同旁内角互补进行求解即可；
尝试应用：利用（1）中求出的角度间关系进行求解即可；
拓展创新：过点P作，过点M作，过点N作，利用平行线性质，结合角平分线定义进行角度间的换算即可．
【详解】解：（1）问题背景：①如图，过点P作，
，
，
，，
，
故答案为：；
②如图，过点Q作，
，
，
，，
，
，
故答案为：；
尝试应用：由（1）可知：，,
是 ，的角平分线，
，
整理得：，
由（1）可得：，
，
，
，
，
又，
；
拓展创新：如图，过点P作，过点M作，过点N作，
，
，
，
又平分，
，
，
，，
，
，
整理得：，即．
19．（23-24七年级下·重庆·期中）已知点A，B，C不在同一条直线上，．
(1)如图①，求证：；(2)如图②，分别为，的角平分线所在的直线，，求的度数．(3)如图③，分别为，的角平分线所在的直线，延长交直线于点P，且，，直接写出的值为 ．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义：
（1）过点C作，则，根据平行线的性质可得出、，据此可得；
（2）过点Q作，则，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出，结合（1）的结论可得出，据此可得答案；
（3）由（2）的结论可得出①，由可得出②，联立①②可求出的度数，再结合（ 1）的结论可得出的度数，据此可求出结论．
【详解】（1）证明：如图所示，，过点C作，
∵，
∴，

∴，
∴；
（2）解：如图所示，过点Q作，

∵
∵，
∴．
∵平分，平分，
∴，
∴．
∵，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∴．
由（2）可知，
∴，
又∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
20．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）【问题原型】如图①和②，，点M在如图所在位置，请分别写出图①和②中、、之间的关系并选择一个结论进行证明；
【推广应用】（1）如图，，邻补角的平分线与的角平分线相交于点N，试探究、的数量关系并写出证明过程；
（2）如图，，和的三等分角线交于点M，，，，求的度数．
【答案】[问题原型] 图①：，证明过程见详解；图②：，证明过程见详解；（1），证明过程见详解；（2）
【分析】本题考查了角平分线的性质以及平行线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
[问题原型]图①先过点M作，根据两直线平行，同旁内角互补，列式化简即可作答．图②过点M作，根据两直线平行，内错角相等，即可作答．
（1）过点M作，过点N作，与[问题原型]同理，因为邻补角的平分线与的角平分线相交于点N，，再结合，代入化简即可作答．（2）分别过点M作，点G作，点F作，点E作，根据平行线的性质以及角平分线的定义，列式化简，即可作答．
【详解】解：（1）图①，过点M作，

∵，∴，∴，
∴；
图②，过点M作，如图所示：
∵，∴，∴，∴；
（1），证明过程如下：
过点M作，过点N作，如图：
∵，∴，∴，
∴；
∵，∴，∴，
∵邻补角的平分线与的角平分线相交于点N，
∴
∴；则；
（2）如图：分别过点M作，点G作，点F作，点E作，

∵∴
∴∴
∴
∵，，，∴
∴
即∴．