专题07 全等三角形模型之截长补短与倍长中线-2025年中考数学二轮专题（江西专用）(原卷版+解析版)

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12835" PAGEREF _Tc12835 \h 1
\l "_Tc9468" 模型1.截长补短模型 PAGEREF _Tc9468 \h 1
\l "_Tc26870" 模型2.倍长中线模型 PAGEREF _Tc26870 \h 7
\l "_Tc17764" PAGEREF _Tc17764 \h 13
模型1.截长补短模型
条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。
证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。
∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS）
∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C，
∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。
法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。
∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS）
∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD，
∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。
例1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足．
(1)如图①，求证：；
(2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)不成立，见解析
【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）在上截取，连接，利用全等三角形判定，得出，进而用判定得到，得出，再通过线段的等量代换即可证明；
（2）在上截取，连接，用类似（1）的方法可得图②和图③中（1）的结论不成立，写出数量关系即可．
【详解】（1）证明：如图，在上截取，连接，
为等腰直角三角形，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
，
．
（2）解：在图②和图③中，（1）的结论不成立．
图②中，结论：；
图③中，结论：．
对于②，截取，连接，
为等腰直角三角形，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
，
．
对于③，截取，连接，同理可证：．
例2．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题情境】神奇的半角模型
在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法．
如图1，在正方形中，以A为顶点的，与分别交于E、F两点，为了探究之间的数量关系，小明的思路如下：
如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到之间的数量关系．
(1)提出问题：之间的数量关系为________________．
(2)知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，与分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(3)知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，与分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长________________．（用含a、b、c的式子表示．）
【答案】(1)
(2)（1）中的结论还成立，证明见解析
(3)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
（1）延长到点H，使，连接，先证明，再证明，即可解答；
（2）延长到点M，使，连接，先证明，再证明，即可解答；
（3）延长到点P，使，连接，先证明，再证明，可得，从而得到的周长，即可解答．
【详解】（1）解：延长到点H，使，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
（2）解：（1）中的结论还成立，证明如下：
延长到点M，使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，延长到点P，使，连接，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴的周长．
故答案为：
模型2.倍长中线模型
1）倍长中线模型（中线型）
条件：AD为△ABC的中线。 结论：
证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。
∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）
2）倍长类中线模型（中点型）
条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。
证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。
∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）
例1．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）（1）阅读理解
如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，连接，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 ．这种方法叫做倍长中线法．
（2）问题解决：
如图2，，，此时成立吗？请说明你的理由．
（3）问题拓展：
如图3，已知：，，，，为的中线，反向延长交于点，求证：．
【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）证明见解析．
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的判定与性质求解
【分析】（1）延长至，使，连接，由证明，得出，在中，由三角形的三边关系求出的取值范围，即可得出的取值范围；
（2）延长至，使，连接，证明，可得到，，再证明，可得．
（3）延长到，使得．首先证明四边形是平行四边形，再证明，推出，由，推出，推出，即可解决问题；
【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图1所示：
，
是边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
，即，
；
故答案为：；
（2）解：成立．
理由：延长至，使，连接，如图2所示：
在和中，
，
，
，，
，
，
，
．
（3）证明：如图，延长到，使得．
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
例2．（2023八年级上·全国·专题练习）综合与实践
小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．小明的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：
（1）小明证明用到的判定定理是： ；
． ． ． ．
（2）的取值范围是 ．
小明总结：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
（3）如图3，在正方形（各角都为直角）中，为边的中点，、分别为边上的点，若，，，求的长．
【答案】（1）A；（2）；（3）
【知识点】根据正方形的性质证明、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)
【分析】（1）延长到，使，连接，由即可证明问题；
（2）由三角形三边的关系即可求出的取值范围；
（3）延长，交于，即可证明，得到，，由线段垂直平分线的性质定理得到．
【详解】（1）证明：如图2，延长到，使，连接，
是中点，
，
在和中，
，
．
故选：；
（2）解：∵，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：如图3，延长，交于，
四边形是正方形，
，
∴，
，
是中点，
，
∵，
∴，
∴，，
，
垂直平分，
，
∵，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，一元一次不等式的应用，关键是通过作辅助线构造全等三角形．
一、单选题
1．（24-25八年级上·山东德州·期末）在中，，中线，则的长度不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)
【分析】本题考查了全等三角形的性质，中线的性质，三角形三边关系，倍长中线，进而根据三角形三边关系求解是解题的关键．延长至E，使，连接，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围．
【详解】解：如图，延长至E，使，连接，
∵AD是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
的长度不可能是7．
故选：A．
2．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图所示，与均为直角三角形，且，，，E是的中点，则的长为（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】C
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理，三角形全等的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．延长交的延长线于点，先证和全等，得出，，于是求出的长，在中利用勾股定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，即可求出的长．
【详解】解：延长交的延长线于点，
，
∴，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，则，
，
，
，
，，
在中，由勾股定理得，
，
故选：C．
二、填空题
3．（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ．
.
【答案】
【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．延长至，使，连接，根据证明，则，根据可得，由此可得，即可得出，然后利用线段的和差即可求出的长．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【详解】
如图，延长至G，使，连接，
在和中
，
，
．
，，
，
，
，
．
，
，
．
故答案为：
4．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是
【答案】/
【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，证明是本题的关键．延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题．
【详解】解：如图，延长到，使得，连接，．
是边的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题
5．（24-25八年级上·河南信阳·期末）【发现问题】（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，若，求边上的中线的取值范围．小亮在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：如图①，延长到点E，使，连接，得到，他用到的判定定理是__________；（用字母表示），可以求得边上的中线的取值范围是__________．
【解决问题】
（2）小刚发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”的字样，可以考虑构造全等三角形，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图，当平分时，若，求的值（用含m，n的式子表示）；
（3）如图，平分，延长到E，使得，连接，若，求的值．
【答案】（1）；；（2）；（3）16
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．
（1）根据定理解答，再根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系计算，得到答案；
（2）过作于，于，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可；
（3）根据已知和（1）（2）的结论求出和的面积，即可求出答案．
【详解】解：（1）解：，，，
，
小亮证明用到的判定定理是，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：；，；
（2）如图，过作于，于，
为的角平分线，
，
，，
；
（3），
由（1）知：，
，
，
，，平分，
由（2）知：，
，
．
6．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期中）（1）阅读理解：如图①，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把转化在一个三角形中即可判断：之间的等量关系为 ；
（2）如图②，在中，，，是的中线，，，且，求的长；
【答案】（1）；（2）4
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定
【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，中线的定义，等腰三角形的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
（1）先判断出，得出，得出，进而得出，，即可得出结论；
（2）证明，则，，可求，根据线段垂直平分线的性质可得的长；
【详解】解：（1）延长交的延长线于点F，
∵，
∴，，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
（2）如图2，延长，交于点F，
∵，
∴，
∴，
∵是中线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴
7．（23-24七年级下·四川成都·期中）在的高、交于点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图1，求的度数；
(3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形综合问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）
【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论；
（2）证和全等得，从而得为等腰直角三角形，进而可得的度数；
（3）在上截取，连接，先证和全等得，，再证，进而可依据“”判定和全等，从而得，由此可得线段、、的数量关系．
此题主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构造全等三角形．
【详解】（1）证明：的高、交于点，如图1所示：
，，
，，
，
（2）解：在和中，
，
，
，
为等腰直角三角形，
；
（3）解：、、的数量关系是：，证明如下：
在上截取，连接，如图2所示：
是的高，，
，，
在和中，
，
，
，，
由（2）可知：，即，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
．
8．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知，在正方形中，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，连接并取其中点G，连接、．
(1)如图1，若的顶点E在线段上，则和的关系______；
(2)如图2，若的顶点E在线段上时，则（1）中的结论是否还成立?请说明理由；
(3)若的顶点E在内，如图3位置所示，则（1）中的结论是否还成立?请说明理由．
【答案】(1)，
(2)成立，证明见解析；
(3)成立，证明见解析；
【知识点】根据正方形的性质证明、斜边的中线等于斜边的一半、全等三角形综合问题
【分析】本题是四边形综合题目，
（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证出；再证明，得出；
（2）延长至，使，连接，，，先证，得，，再证，得，，然后证为等腰直角三角形，即可解决问题．
（3）先证明，得出，再证明，得出，，得出，证出为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）证明：在中，为的中点，
，
∴，
同理：，，
∴，
四边形是正方形，
，，
∵，，
，
；
（2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下：
延长至，使，连接，，，如图②所示：
在与中，
，
，
，，
在正方形中，，，
，，
，是等腰直角三角形，
，，
在与中，
，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
（3）解：（1）中的结论仍然成立．理由如下：
过作的平行线并延长交于点，连接、，过作于，如图③所示：
，
在与中，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
在与中，
，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
为中点，
，．
【点睛】本题涉及了正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，利用倍长中线构造三角形全等，两次证明三角形全等是解决问题的关键．
9．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【问题背景】
（教材原题）如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：（无需证明）．
【问题探究】
(1)如图2，四边形是正方形，点E在上，，，连接，则的度数为 ；
(2)如图3，四边形是菱形，点E在上，（），，连接．探究与的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、利用菱形的性质证明、根据正方形的性质证明
【分析】（1）连接，过点E作，交于点H，由可证，可得，即可求出；
（2）由可得，可得，，由角的数量关系可求解．
【详解】（1）解：如图2，连接，过点E作，交于点H，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：．证明如下：
证明：如图3，在的延长线上取点G，使得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）【特例感知】
如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．
（1）中线的取值范围是______．
【类比迁移】
（2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析
【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)
【分析】本题考查了三角形综合题和倍长中线问题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识．
（1）延长到，使得，连接，得出，根据三角形三边关系即可求解；
（2）延长交延长线于，得到，得到，，进而求得，可证明结论；
（3）延长到点，使得 ，连接，得出，从而得到，，进而得到从而证明．
【详解】（1）解：如图1，延长到点，使得，连接．
为边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
即，
；
故答案为：；
（2）证明：如图2，延长交的延长线于点，
，
，
，，
为的中点，
，
，
，，
，
，
即，
平分；
（3）证明：如图3，延长到点，使，连接，
在和中， ，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
11．（23-24八年级上·江西南昌·期中）综合与实践
问题提出
如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
方法运用

（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程．
（2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线．
延伸探究
（3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数．
【答案】（1），见解析
（2）①AC ②DF，见解析
（3）
【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和SSS综合（SSS）、角平分线的有关计算
【分析】（1）利用证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论；
（2）根据语言描述作出图形即可；
（3）延长至点G，使，连接，利用证明，得出，，从而可证得．即可利用证明，得出，即可由求解．
【详解】（1）．
理由：∵平分，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）①AC ②DF．
辅助线如图1所示．

（3）如图2，延长至点G，使，连接，．

∵，，
∴．
∵，，，
∴，
∴，．
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
又∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
12．（24-25八年级上·云南保山·期末）（1）【问题背景】如图1：在四边形中，，，．E、F分别是、上的点．且．探究图中线段之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______；
（2）【探索延伸】如图2，若在四边形中，，．分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？并说明理由；
（3）【实际应用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达、处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．

【答案】（1）；（2）仍然成立，理由见详解（3）210海里
【知识点】全等三角形综合问题
【分析】主要考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，实际问题的转化，本题中求证是解题的关键．
（1）延长到点G，使，连结，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；
（2）延长到点G，使，连结，即可证明可得 再证明可得即可解题；
（3）连接，延长相交于点C，然后与（2）同理可证．
【详解】解：（1）
在和中，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∵
（2）仍然成立
理由：如图，延长至点，使，连接
，
，
，
即
，
（3）如图，连接，延长、相交与点，

在四边形中，
，
，符合（2）中的条件．
结论成立
即（海里）
答：此时两舰艇之间的距离为210海里