专题01 数与式（江西专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编(原卷版+解析版)

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题型01有理数
题型02有理数的运算
题型03实数
题型04代数式
题型05因式分解
题型06分式
题型07二次根式
题型01
有理数
1．（2025·江西吉安·一模）的绝对值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【知识点】求一个数的绝对值
【分析】本题考查了绝对值，根据负数的绝对值是其相反数求解即可．
【详解】解：的绝对值是2，
故选：A．
2．（2025·江西九江·一模）下列四个数中，最小的数是（ ）
A．3B．C．0D．
【答案】D
【知识点】有理数大小比较
【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．
【详解】解：∵，
∴，
∴最小的数是．
故选D．
3．（2025·江西抚州·一模）下列四个数中，绝对值大于本身的数是（ ）
A．B．C．2D．0
【答案】B
【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较
【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．根据“正数的绝对值等于它本身，零的绝对值等于零，负数的绝对值是它的相反数”可知负数的绝对值是正数，一定大于它本身，只需找出选项中的负数即可．
【详解】解：A、，等于本身，故A不符合题意；
B、，大于本身，故B符合题意；
C、，等于本身，故C不符合题意；
D、，等于本身，故D不符合题意．
故选：B ．
4．（2025·江西宜春·一模）中国古代著名数学家刘徽在注释《九章算术》时给出了负数的解释：“两算得失相反，要令正负以名之”．下列各数是负数的是（ ）
A．B．3C．0D．
【答案】D
【知识点】正负数的定义、求一个数的算术平方根、实数的分类
【分析】本题考查负数的定义，根据负数小于0求解即可．
【详解】解：根据负数的定义：是负数，
故选：D．
5．（2025·江西吉安·一模）如果与互为倒数，则的相反数等于（ ）．
A．B．C．0D．
【答案】B
【知识点】相反数的定义、倒数
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数和相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数和乘积为1的两个数互为倒数解答即可．
【详解】解：∵与互为倒数，
∴，
∴的相反数是．
故选：B．
6．（2025·江西·二模）下列运算或化简的结果中，是负数的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】两个有理数的乘法运算、负整数指数幂、化简多重符号、有理数的减法运算
【分析】本题考查了有理数的减法，乘法，负责整数指数幂的意义等知识，根据去括号法则，有理数的减法法则，乘法法则，负责整数指数幂的意义逐项判断即可．
【详解】解：A．，是正数，不符合题意；
B．，是负数，符合题意；
C．，是正数，不符合题意；
D．，是正数，不符合题意，
故选：B．
7．（2025·江西·模拟预测）下图是一把长度为个单位的普通尺子，连同首尾共有个等分刻度．现用它度量长度为个单位的物体，可行性方案的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】直线、线段、射线的数量问题、数轴上两点之间的距离
【分析】本题考查了线段，根据题意可知别以为端点、个单位长度的线段有条，据此解答即可求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，分别以为端点、个单位长度的线段有条，
∴可行性方案有个，
故选：．
8．（2025·江西·模拟预测）如图，数轴上的两点A，B表示的数互为相反数．若点A表示的数是，则点B表示的数为（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】A
【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的定义
【分析】本题考查了相反数概念，以及有理数与数轴，根据相反数概念，以及有理数与数轴求解，即可解题．
【详解】解：数轴上的两点A，B表示的数互为相反数，点A表示的数是，
点B表示的数为，
故选：A．
9．（2025·江西·二模）计算： ．
【答案】1
【知识点】求一个数的绝对值
【分析】本题考查了有理数的绝对值，根据一个负数的绝对值等于它的相反数即可回答.
【详解】解：
故答案为：1 ．
10．（2025·江西吉安·一模）如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是 ．
【答案】
【知识点】正负数的实际应用
【分析】本题主要考查了正数和负数，解题的关键是读懂题目，找出数筹和数字的对应关系．
根据题干描述的算筹计数法计数即可．
【详解】
解：根据算筹计数法，“”所表示的数是，
故答案为：．
题型02
有理数的运算
1．（2025·江西·模拟预测）的平方是（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】D
【知识点】有理数的乘方运算
【分析】本题考查了平方的计算，熟练掌握方法是解答本题的关键．根据平方计算即可．
【详解】解：，
故选：D．
2．（2025·江西·一模）比小2024的数是（ ）
A．B．2023C．2025D．
【答案】D
【知识点】有理数的减法运算
【分析】本题主要考查的是有理数的减法，先依据题意列出算式，然后利用有理数的减法法则计算即可．
【详解】解：．
故选：D．
3．（2025·江西·模拟预测）下列各组数中，互为倒数的是（ ）
A．3和B．3和C．5和D．和10
【答案】A
【知识点】倒数
【分析】本题考查了倒数，明确乘积是1的两个数互为倒数是解题的关键．根据乘积是1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
【详解】解：∵，
∴与互为倒数，
故选：A．
4．（2025·江西·模拟预测）下列运算结果中，与式子的运算结果不相等的是（ ）
A．30个5相乘B．200个5相加C．个相加D．个相加
【答案】B
【知识点】有理数幂的概念理解、同底数幂相乘
【分析】本题考查了有理数的乘方，同底数幂的乘法．根据就是n个a相乘的积，结合同底数幂的乘法法则计算即可作答．
【详解】解：∵，
∴式子的运算结果可以是30个5相乘，或个相加，或个相加，
不可能是200个5相加．
故选：B．
5．（2025·江西·二模）截止到2025年2月20日20时，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超126.88亿，超《侏罗纪世界》《头脑特工队2》票房成绩，成为首部进入全球票房前八的亚州电影，也是登顶动画票房榜的亚洲电影．其中数据“126.88亿”用科学记数法表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数据“126.88亿”用科学记数法表示为．
故选：C．
6．（2025·江西·模拟预测）《江西日报》2025年1月16日头版发布的数据显示，江西省2024年通过创业担保贷款，直接扶持个人创业14.45万人次．14.45万可用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查用科学记数法．科学记数法的一般形式为，其中，n为原数的整数位数减去1，据此求解即可．
【详解】解：14.45万可用科学记数法表示为，
故选：D．
7．（2025·江西南昌·一模）计算： .
【答案】0
【知识点】有理数乘法运算律
【分析】本题考查有理数的乘法运算，核心在于理解零乘以任何数的结果都是零.本题的关键点在于识别乘数中存在0，直接利用乘法中乘零的特性快速得出结果，无需计算具体数值的乘积.
【详解】解：.
故答案为：0.
8．（2025·江西吉安·一模）江西省统计局发布数据，2024年末，江西全省常住人口万人，将45020100用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】此题考查科学记数法的表示方法，解题的关键要正确确定公式里面的值以及的值．
利用科学记数法的表示形式进行表示即可．
【详解】解：，
故答案为：．
9．（2025·江西·模拟预测）2024年，江西省夏粮和早稻播种面积实现双增，其中夏粮播种面积相比2023年增长了，为亩．数可用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故答案为：．
10．（2025·江西·模拟预测）1月18日，江西省统计局公布江西省2024年经济运行情况．统计显示，2024年江西省GDP超3.4万亿元．“3.4万亿”用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：3.4万亿，
故答案为：．
题型03
实数
1．（2025·江西·模拟预测）下列各数中，有理数是（ ）
A．πB．C．D．0.010010001…
【答案】C
【知识点】实数的分类
【分析】本题考查了实数，利用有理数定义判断即可．
【详解】解：A. π不是有理数，故选项A不符合题意；
B. 不是有理数，故选项B不符合题意；
C. 是有理数，故选项C符合题意；
D. 0.010010001…是无限不循环小数，故选项D不符合题意
故选：C．
2．（2025·江西·模拟预测）实数，，0，中，最小的数是（ ）
A．B．C．D．0
【答案】C
【知识点】实数的大小比较
【分析】本题主要考查实数的大小比较，解题的关键是能够比较有理数与根号形式的无理数的大小，结合正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．根据实数的大小比较的方法判断即可．
【详解】解：∵，
∴最小的数是，
故选：C．
3．（2025·江西·模拟预测）下面各式中，结果比3大且是整数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】求一个数的算术平方根、无理数的大小估算、求一个数的立方根、二次根式的加减运算
【分析】本题考查了无理数的估算以及算术平方根，立方根，二次根式的混合运算，根据以上知识逐项计算，结合题意选出比3大且是整数的选项，即可求解．
【详解】解：A. ，但不是整数，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，但不是整数，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
4．（2025·江西宜春·一模）中国古代著名数学家刘徽在注释《九章算术》时给出了负数的解释：“两算得失相反，要令正负以名之”．下列各数是负数的是（ ）
A．B．3C．0D．
【答案】D
【知识点】正负数的定义、求一个数的算术平方根、实数的分类
【分析】本题考查负数的定义，根据负数小于0求解即可．
【详解】解：根据负数的定义：是负数，
故选：D．
5．（2025·江西新余·二模）写一个小于3的无理数： ．
【答案】
【知识点】求一个数的算术平方根、无理数的大小估算
【分析】本题主要考查了无理数的估算．根据无理数估算的方法求解即可.
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
6．（2025·江西·模拟预测）如图，一个面积为2的正方形放在数轴上，其左端放在原点上，现让这个正方形翻转（数轴足够长），那么翻转3次后，这个正方形右端所对应的数字的小数部分为 ．
【答案】
【知识点】无理数的大小估算
【分析】本题主要考查旋转的性质，无理数的估算，根据题意可得结论．
【详解】解：∵正方形的面积为2，所以边长为，
第一次翻转后，正方形的右端为；
第二次翻转后，正方形的右端点移动到；
第三次翻转后，正方形的右端点移动到；
∵的整数部分为5，
∴右端点的小数部分为
故答案为：
7．（2025·江西·模拟预测）（1）计算：；
（2）解不等式：．
【答案】（1）；（2）
【知识点】实数的混合运算、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的方法是解题的关键．
（1）先乘方、化简二次根式，再计算减法即可；
（2）先去分母，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：
．
．
解得：．
8．（2025·江西赣州·模拟预测）（1）计算：
（2）如图，，，，，，，四点共线，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算
【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，全等三角形的判定，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
（1）先算负整数指数幂、开方、特殊角的三角函数，再算加减；
（2）根据证明即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）证明：，
∴，
即，
在和中，
，
∴．
9．（2025·江西宜春·一模）（1）计算：
（2）如图，在中，连接，，．求证：四边形是菱形．
【答案】（1）（2）见解析
【知识点】实数的混合运算、证明四边形是菱形、等边三角形的判定和性质、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了实数的混合运算，等边三角形三角形的判定和性质，菱形的判定定理，熟练掌握运算法则和菱形的判定是解题的关键．
（1）先化简二次根式、计算特殊角的三角函数值，再计算加减即可；
（2）由题得到是等边三角形，得到，即可得到结论．
【详解】（1）解：
（2）证明：在中，，，
是等边三角形，
，
四边形是菱形．
题型04
代数式
1．（2025·江西·模拟预测）计算：（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】积的乘方运算
【分析】本题主要考查了积的乘方运算法则，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
通过积的乘方运算法则即可求解．
【详解】解：，
故选：C．
2．（2025·江西·模拟预测）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】同底数幂相乘
【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．熟记法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选：B．
3．（2025·江西·模拟预测）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】计算单项式除以单项式
【分析】本题考查单项式除单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用单项式除单项式运算法则计算得出答案．
【详解】解：，
故选：B．
4．（2025·江西新余·二模）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】积的乘方运算、运用完全平方公式进行运算、合并同类项、同底数幂相乘
【分析】本题主要考查了完全平方公式，同底数幂相乘，合并同类项，积的乘方运算．根据完全平方公式，同底数幂相乘，合并同类项，积的乘方运算法则逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（2025·江西吉安·一模）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】合并同类项、运用完全平方公式进行运算、同底数幂相乘、幂的乘方运算
【分析】本题考查同底数幂相乘，合并同类项，幂的乘方，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
根据同底数幂相乘的运算法则计算并判断A；根据合并同类项的运算法则计算并判断B，根据幂的乘方的运算法则计算并判断C；根据完全平方公式计算并判断D．
【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，正确，故此选项符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
6．（2025·江西抚州·一模）《庄子·天下）中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根2米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，…，第10天截取木棍后剩余部分的长度为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】D
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查了数字类的规律，正确理解题意，列出算式是解题的关键．
根据每次截取剩余的长度都是前一次截取剩余长度的一半进行求解即可．
【详解】解：第1天截取后剩下的长度为（米），
第2天截取后剩下的长度为（米），
第3天裁取后剩下的长度为（米），…，
第n天截取后利下的长度为（米），
第10天截取后剩余部分的长度为（米），
故选：D．
7．（2025·江西赣州·模拟预测）在物理学的光学实验中，使用特殊的光源装置会在光屏上形成由光点组成的图案．现有一系列图案，均是由完全相同的光点按照一定规律组成．如图，第①个图案中一共有5个光点，可用于模拟某种简单的光衍射现象；第②个图案中一共有8个光点，对应另一种光学干涉效果；第③个图案中一共有11个光点，代表着又一种光的传播现象．按照这样的规律排列下去，求第⑩个图案中光点的个数是（ ）
A．30B．31C．32D．33
【答案】C
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索
【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形可得第个图形有个圆点，据此即可求解，找到图形的变化规律是解题的关键．
【详解】解：第①个图形中一共有个小圆点，
第②个图形中一共有个小圆点，
第③个图形中一共有个小圆点，
第④个图形中一共有个小圆点，
，
∴第个图形一共有个小圆点，
∴当时，第⑩个图形中小圆点的个数是，
故选：．
8．（2025·江西新余·二模）如图，在一个矩形（其边长不变）公园中划出两个矩形草地（阴影部分），若的长固定不变，两个阴影部分的面积之和为，周长之和为，则下列说法正确的是（ ）
A．和均不变B．只有不变C．只有不变D．和均会变
【答案】C
【知识点】列代数式、整式加减的应用
【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，解题的关键是理解题意，设矩形公园的长为b、宽为a，，得出两阴影部分的周长和为：，设图中两个阴影部分的面积为，，长分别为m、n，将向下平移个单位长度后，两阴影面积和：，说明只有当时，为定值．
【详解】解：根据题意可知：矩形公园的长和宽为定值，如图，设矩形公园的长为b、宽为a，，
利用线段的平移可知，两阴影部分的周长和为：，
∵的长固定不变，
∴为定值，
设图中两个阴影部分的面积为，，长分别为m、n，则：
，
将向下平移个单位长度后，两阴影面积和：
，
∴只有当时，为定值，
综上分析可知：只有不变，
故选：C．
9．（2025·江西抚州·一模）计算的结果是 ．
【答案】
【知识点】同底数幂相乘
【分析】该题考查了同底数幂乘法，根据同底数幂乘法法则计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
10．（2025·江西景德镇·一模）观察，根据这些式子的变化规律，可得第24个单项式是 ．
【答案】
【知识点】单项式规律题
【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在规律．
根据所给的式子，不难发现系数部分为，指数部分为开始的正整数，据此即可求解．
【详解】解：∵一列单项式：，
∴第n个单项式为：(为正整数)，
∴第24个单项式为：，
故答案为：．
11．（2025·江西·二模）将全体正整数排成一个三角形数阵，如图所示，按照数的排列规律，第10行第5个数是
【答案】50
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了数字类的规律问题，根据三角形数阵得到其排列规律，再根据其排列规律求解，即可解题．
【详解】解：根据三角形数阵可知，
第1排，数字有1个，左边第1个为1；
第2排，数字有2个，左边第1个为；
第3排，数字有3个，左边第1个为；
依次类推，
第排，数字有个，左边第1个为；
第10排，数字有10个，左边第1个为；
第10行第5个数是，
故答案为：．
12．（2025·江西·模拟预测）已知一元二次方程的两个实数根为，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．
根据一元二次方程根与系数的关系得到，，利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：一元二次方程的两个实数根为，，
，，
，
故答案为：．
13．（2025·江西·模拟预测）图1是轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示．小王按照图2所示的方式玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2025个图1中的图形拼出来的图形的总长度是 （结果用含，的式子表示）．
【答案】
【知识点】图形类规律探索
【分析】本题考查了整式与图形的规律型问题．先分别求出用1、2、3、4个这样的图形拼出来的图形的总长度，再归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．
【详解】解：由题意，用1个这样的图形拼出来的图形的总长度为，
用2个这样的图形拼出来的图形的总长度为，
用3个这样的图形拼出来的图形的总长度为，
用4个这样的图形拼出来的图形的总长度为，
归纳类推得：用个这样的图形拼出来的图形的总长度为（其中，为正整数），
则用2025个这样的图形拼出来的图形的总长度为，
故答案为：．
14．（2025·江西九江·模拟预测）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．以黄铜矿为主要原料的火法炼铜的化学反应方程式为，其中x，y为常数，则的值为 ．
【答案】
【知识点】构造二元一次方程组求解、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据元素和的数量不变，列出关于的二元一次方程组，然后求解，最后代入即可．
【详解】解：由题意得，，
解得：，
∴，
故答案为：．
15．（2025·江西·模拟预测）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献，在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如“”表示的数是6728，“ ”表示的数是6708，若已知一个用这种方式表示的四位数中含有“”、“”和两个空位，则这个四位数是 ．
【答案】9100或
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据题意确定千位是横式的9是解题的关键．由题知个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，进而得到千位是横式的9，纵式的1在百位或者个位，即可解题．
【详解】解：由题知，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，
因为“、“”是纵式的1和横式的9，
所以千位是横式的9，纵式的1在百位或者个位，
即这个四位数为9100或9001，
故答案为：9100或．
16．（2025·江西·模拟预测）问题解决策略之归纳法：
（1）如果一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，那么这个两位数可以表示为_______（用含a，b的式子表示）；
（2）如果一个数m能够被3整除得k，那么_______（用含k的式子表示）．
课本知识再现：
（3）一个三位数能否被3整除，只要看这个数的各位数字之和能否被3整除，请说明其中的道理．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【知识点】列代数式、整式加减的应用
【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，解题的关键是根据题意找出所求问题需要的条件．
（1）把十位数字乘以10与个位数字相加即可表示出这个两位数；
（2）根据被除数、除数、商之间的关系可得答案；
（3）设任一个三位数为，则这个数的各数位上的数字和为．如果它能被3整除，可设，代入整理可得答案．
【详解】解：（1）由题意，得．
故答案为：；
（2）由题意，得，
答案为：；
（3）设任一个三位数为，则这个数的各数位上的数字和为．
如果它能被3整除，可设，
则
，
即这个数能被3整除．
17．（2025·江西南昌·模拟预测）【发现】如图，嘉嘉在研究如下数阵时，用正方形框任意框住四个数，发现了有趣的数学规律：
方框一：．
方框二：．
【验证】根据【发现】的规律，写出方框三中相应的算式：
【探究】设被框住的四个数中最小的数为n，用含n的式子证明你所发现的规律．
【答案】[验证] ；[探究] ．
【知识点】多项式乘法中的规律性问题、数字类规律探索
【分析】本题考查整式的混合运算和列代数式；
[验证]根据日历中的数字规律即可求解；
[探究]根据题意得到规律，整式乘法公式，把．化简，即可证明．
【详解】解：[验证]根据题意，；
[探究]设被框住的四个数中最小的数为n，则其余三个数分别为，，，
规律为：．
依题意，．
题型05
因式分解
1．（2025·江西·模拟预测）因式分解： ．
【答案】
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因数分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
2．（2025·江西吉安·一模）因式分解： ．
【答案】
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题考查用提公因式法分解因式，熟练掌握因式分解方法是解题的关键．
直接提公因式a，解答即可．
【详解】解：
故答案为：．
3．（2025·江西赣州·模拟预测）因式分解： ．
【答案】
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解，运用平方差公式进行因式分解，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：．
4．（2025·江西·二模）因式分解： ．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法和平方差公式是解题的关键．先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
5．（2025·江西宜春·一模）因式分解： ．
【答案】
【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解的应用，先提取公因式，然后通过平方差公式进行二次分解即可，熟练掌握提公因式法及公式法因式分解是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
题型06
分式
1．（2025·江西·模拟预测）计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】含乘方的分式乘除混合运算
【分析】本题考查了积的乘方和分式乘法，解题的关键是正确运用法则进行化简和计算．直接利用积的乘方运算法则化简，再利用分式乘法运算法则即可得到答案．
【详解】解：，
故选：C．
2．（2025·江西新余·一模）若式子有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．任意实数
【答案】A
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，解不等式，根据分母不为零，被开方数大于等于零，列不等式，解答即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，
解得：，
故选：A．
3．（2025·江西·模拟预测）计算： .
【答案】
【知识点】零指数幂
【分析】此题考查了零指数幂，根据零指数幂的法则计算即可.
【详解】解：
故答案为：
4．（2025·江西宜春·一模）若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件、求一元一次不等式的解集
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式的分母不能为零．
利用分式的分母不能为零即可解答此题．
【详解】解：根据代数式在实数范围内有意义得，
解得，，
故答案为：．
5．（2025·江西宜春·一模）若有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
6．（2025·江西新余·二模）（1）计算：；
（2）化简：
【答案】（1）；（2）
【知识点】分式加减乘除混合运算、二次根式的加减运算
【分析】此题考查了乘方，二次根式以及分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
（1）根据乘方以及二次根式的运算，求解即可；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
7．（2025·江西吉安·一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，5
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．
先用分式加法法则计算括号内的，再运用分式除法法则计算，然后约分即可化简，最后把代入化简式计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
8．（2025·江西·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【知识点】分式化简求值、分母有理化
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先通分计算括号里面的，再把分式除法转化成乘法，然后约分，最后代入数值求解即可．
【详解】解：
．
∵，
∴．
9．（2025·江西新余·一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查了分式的混合运算和求值，先算括号内的减法，把除法变成乘法，化简后再把a的值代入计算，即可求出答案．
【详解】解：
，
当时，原式．
10．（2025·江西抚州·一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算，平方差公式，完全平方公式是解题的关键，先利用分式的运算法则化简，再将代入求值即可得到答案．
【详解】解：原式
．
，
原式．
11．（2025·江西宜春·一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，14
【知识点】分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把第二个分式的分子分解因式，再把小括号内的式子通分，再计算分式乘法化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
．
当时，原式．
12．（2025·江西·模拟预测）先化简，再求值：，其中
【答案】，
【知识点】分式化简求值、分母有理化
【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理数，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
13．（2025·江西·模拟预测）先化简，再从，0，2三个数中选一个合适的数作为m的值代入求值．
【答案】，
【知识点】分式化简求值
【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简,再选择一个使分式有意义的m的值代入求值即可．本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
∵当或0时，原式无意义，
∴．
故原式．
14．（2025·江西·模拟预测）先化简，再从中选择一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】，当时，原式．
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的a的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
．
且，
只能取0，
当时，原式．
15．（2025·江西宜春·一模）先化简，再求值：，然后从中选一个合适的整数代入求值．
【答案】；当时，原式=1
【知识点】分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先对分式进行化简，然后再根据分式有意义的条件选择合适的值代入化简后的分式结果求解即可．
【详解】解：
，
当，，1时，分式无意义，
故，则原式
16．（2025·江西·一模）先化简：，再从，0，2，3中选取一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】，当时，原式=，当时，原式
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
，，
，，
∴当时，原式．
当时，原式．
17．（2025·江西景德镇·一模）已知代数式．
(1)化简．
(2)若的取值范围如图所示，且为正整数，求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题考查分式的化简求值，用数轴表示不等式的解集：
（1）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简即可；
（2）根据数轴，得到，得到，根据分式有意义的条件，得到，代入（1）的结果进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）由数轴可知：，
∵为正整数，
∴，
∵，
∴，
∴当时，．
18．（2025·江西上饶·一模）以下是小贤化简分式的过程．
(1)在化简过程中的横线上依次填入的序号为________．
①；②；③；④．
(2)请在1，2，中选择一个合适的数作为x的值，代入化简的结果并求值．
【答案】(1)
(2)，当时，原式
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值
【分析】（）利用分式的运算法则进行计算即可求解；
（）由分式有意义的条件可得且，再把代入化简后的结果中计算即可求解；
本题考查了分式的化简求解，掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
，
，
，
故答案为：；
（2）解：由分式有意义的条件得，且，
∴且，
把代入得，原式．
19．（2025·江西赣州·一模）计算：下面是某同学的解答过程：
解：原式…第一步
…第二步
(1)第一步的依据是_____，运用的方法是____________；
分式的基本性质；分式的加减法则；分式的通分；分式的约分法则．
(2)计算：．
【答案】(1)；；
(2)1．
【知识点】分式加减混合运算
【分析】本题主要考查分式加减运算，先通分，然后计算加减法即可，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）根据分式的基本性质，通分即可得出结果；
（2）先把分子分母因式分解，约分，再计算加减即可．
【详解】（1）解：解：第一步的依据是分式的基本性质，运用的方法是分式的通分，
故答案为：；；
（2）解：
．
20．（2025·江西景德镇·一模）在学完分式运算以后，老师布置了一道这样的化简求值题：
化简：，请你从1，2，3这三个数中合适的数代入求值．
以下是夏天同学的化简过程，请你完成下面的填空．
；
(1)填空：①______；②______；③______；
(2)请将化简后的结果求值．
【答案】(1)，，
(2)
【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的运算法则是解题的关键．
（1）先计算括号，同时将除法转化为乘法，即可求解；
（2）根据分式有意义的条件确定的值，最后代入到化简后的结果中计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
，
故答案为：，，；
（2）∵，，
∴且，
∴只能取1，
则当时，原式．
题型07
二次根式
1．（2025·江西·模拟预测）下面各式中，结果比3大且是整数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数的大小估算、二次根式的加减运算
【分析】本题考查了无理数的估算以及算术平方根，立方根，二次根式的混合运算，根据以上知识逐项计算，结合题意选出比3大且是整数的选项，即可求解．
【详解】解：A. ，但不是整数，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，但不是整数，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
2．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件、已知双曲线分布的象限，求参数范围
【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．根据反比例函数的图像得到，即可求出答案．
【详解】解：已知反比例函数的图象经过第二、四象限，
，
解得，
故答案为：．
3．（2025·江西吉安·一模）已知，那么的值等于
【答案】
【知识点】已知条件式，化简求值
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式；将两边同时平方，可求的值，将式子化为即可求解；掌握的典型解法是解题的关键．
【详解】解：由得
，
整理得：，
．
故答案为：．
4．（2025·江西九江·一模）（1）计算：．
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【知识点】二次根式的加减运算、求不等式组的解集、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的加减，特殊角的三角函数值，求不等式组的解集．
（1）先代入特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可；
（2）先分别求出两个不等式的解集，再根据同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）原式．
（2）
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为．
5．（2025·江西·模拟预测）（1）计算：
（2）如图，，求证：四边形为矩形．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【知识点】二次根式的加减运算、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，平行四边形的判定与性质及矩形的判定，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的加减运算法则，平行四边形的判定与性质及矩形的判定．
（1）先化为最简二次根式，再相加即可；
（2）由平行四边形的判定与性质及矩形的判定证明即可．
【详解】（1）解：原式，
；
（2）证明：，
．
∴．
又，
∴四边形为平行四边形．
，
∴四边形为矩形．
数字
形式
1
2
3
4
5
6
7
8
9
纵式
横式
解：原式
．