江西省赣州市南康区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江西省赣州市南康区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列节水、节能、回收、食品四个标志图形是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A B.
C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）
A. BD＝DC，AB＝ACB. ∠ADB＝∠ADC，∠BAD＝∠CAD
C. ∠B＝∠C，∠BAD＝∠CADD. ∠B＝∠C，BD＝DC
5. 分式中，x和y都扩大到原来的5倍，分式的值（ ）
A. 不变B. 扩大到原来的5倍C. 扩大到原来的10倍D. 缩小到原来的
6. 从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．通过计算两个图形阴影部分的面积，从左至右验证成立的公式为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 当x_____时，分式有意义.
8. 因式分解：x2﹣x=______．
9. 如图，是的中线，是的中线，若，则______．
10. 某病毒的直径大约为，该数据用科学记数法表示为_______．
11. 如图，把延翻折得到，若，则______．
12. 如图，在中，，，平分，点D在射线上，连接．当是等腰三角形时，的度数是__________________．
三、（本大题共5个小题，每小题6分，共30分）
13. 计算题：
（1）计算：．
（2）一个多边形的每个内角都相等，并且其中一个内角比它相邻的外角大，求这个多边形的边数．
14. 如图，是油纸伞及其示意图，已知，，求证：平分．
15. 如图，在中，，点是的中点，是边上的高，请仅用无刻度直尺，按下列要求作图．
（1）在图1中，作边上的高；
（2）在图2中，作等腰梯形．
16. 下面是某位同学解分式方程的过程：
解：方程两边同乘以，得
．①
．②
解得：．③
检验：当时，，④
所以，原分式方程的解为．
（1）填空：第______步开始出现了错误（只填序号）；
（2）请从出现错误的那一步开始补全正确的解题过程．
17. 如图，在直角坐标系中，位置如图所示，请回答下列问题：
（1）画出关于轴的对称图形．
（2）已知为轴上一动点，当的值最小时，的坐标为______．
（3）直接写出的面积：______．
四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
18. 学校原有一块长为米，宽为的长方形场地，现因校园建设需要，将场地的长减少了3米，宽增加了3米．
（1）用含，的代数式表示：建设前场地的面积为______平方米；建设后场地的面积为______平方米；
（2）已知建设后场地的面积增加了48平方米．
①______；
②若，求建设前场地的面积．
19. 如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数．
20. 甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件．
（1）求这种商品的单价；
（2）甲、乙两人第二次再去果购该商品时，单价比上改少了20元．甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相网，则甲两次购买这种商品的平均单价是______元，乙两次购买这种商品的平均单价是_________元．
五、（本大题共2个小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，点A、B、C在一条直线上，与均为等边三角形，连接和．
（1）求证：．
（2）设与交于点P，与交于点Q，连接．
①按题意补全图形；
②判断的形状为_________三角形，并说明理由．
22. 阅读理解：我们常常把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题，
例如：，
∵，∴．
（1）这个代数式最小值是______，这时相应的的值是______．
（2）求代数式的最小值，并写出相应的的值．
（3）若，试比较、的大小，并说明理由．
六、（本大题12分）
23. 【课本再现】如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容．
我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？利用三角形全等，可以得到：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

【定理证明】
（1）请根据教材中的分析，结合图1，写出角平分线的判定定理“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”完整的证明过程．
已知：____________________________________
求证：____________________________________
证明：____________________________________
定理应用】
（2）如图2，，是的中点，平分．求证：是的平分线．
【拓展提升】
（3）如图3，中，点在边上，平分，平分．若，，，，请直接写出的面积．
2024-2025学年度第一学期质量检测试卷
八年级数学
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列节水、节能、回收、食品四个标志图形是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
根据一个图形沿着某条直线对折，图形两部分能够完全重合的图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴逐项判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此可解．
【详解】解：A、，长度为的三条线段不能组成三角形，不合题意；
B、，，长度为的三条线段能组成三角形，符合题意；
C、，长度为的三条线段不能组成三角形，不合题意；
D、，长度为的三条线段不能组成三角形，不合题意；
故选B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算；根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
4. 如图，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）
A. BD＝DC，AB＝ACB. ∠ADB＝∠ADC，∠BAD＝∠CAD
C. ∠B＝∠C，∠BAD＝∠CADD. ∠B＝∠C，BD＝DC
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行分析即可．
【详解】解：A、BD=DC，AB=AC，再加上公共边AD=AD可利用SSS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
B、∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD再加上公共边AD=AD可利用ASA定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
C、∠B=∠C，∠BAD=∠CAD再加上公共边AD=AD可利用AAS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
D、∠B=∠C，BD=DC再加上公共边AD=AD，没有ASS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5. 分式中，x和y都扩大到原来的5倍，分式的值（ ）
A. 不变B. 扩大到原来的5倍C. 扩大到原来的10倍D. 缩小到原来的
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，把握分子与分母的代数式的次数，分子与分母同次，不变，分子次数比分母次数高变大，分子的次数比分母点，变小是解题的关键．
根据分式的基本性质可把，都扩大到原来的2倍代入原式得进行求解．
【详解】解：把，都扩大到原来的5倍代入原式得，
∴分式值缩小到原来的．
故选：D．
6. 从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．通过计算两个图形阴影部分的面积，从左至右验证成立的公式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，即可解题．
【详解】解：由图知，甲图形阴影部分的面积为，
乙图形阴影部分的长为，宽为，则其面积为，
即，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 当x_____时，分式有意义.
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件可得x-5≠0，再解即可．
详解】∵分式有意义
∴当x-5≠0即x≠5.
故答案为≠5.
【点睛】分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
8. 因式分解：x2﹣x=______．
【答案】x（x﹣1）
【解析】
【详解】分析：提取公因式x即可．
详解：x2−x＝x（x−1）．
故答案为x（x−1）．
点解：本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．
9. 如图，是的中线，是的中线，若，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查的是应用三角形的中线求三角形面积，熟练掌握三角形的中线将三角形的面积分为相等的两部分．
根据是的中线可先求到的值，再根据是的中线即可求到的值．
【详解】解：是的中线，，
，
是的中线，
．
故答案为：2．
10. 某病毒的直径大约为，该数据用科学记数法表示为_______．
【答案】
【解析】
【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
【详解】解：用科学记数法表示为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
11. 如图，把延翻折得到，若，则______．
【答案】60
【解析】
【分析】本题考查翻折的性质，三角形的内角和定理，先根据三角形的内角和得到，然后得到、的度数，根据解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
由翻折可得，
∴，
故答案为：60．
12. 如图，在中，，，平分，点D在射线上，连接．当是等腰三角形时，的度数是__________________．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线有关计算，三角形内角和定理．能根据等腰三角形两个底角相等，用其中一个角求出另外两个角是解题关键．注意分类讨论．
先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得的度数，再分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论继续运用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
①当，即D点在处时，
此时
；
②当时，即D点在处时，
此时，
③当时，即D点在处时，
此时，
综上所述的度数是或或．
故答案为：或或．
三、（本大题共5个小题，每小题6分，共30分）
13. 计算题：
（1）计算：．
（2）一个多边形的每个内角都相等，并且其中一个内角比它相邻的外角大，求这个多边形的边数．
【答案】（1）2 （2）9
【解析】
【分析】（1）根据负整指数幂与零指数幂运算法则计算即可；
（2）设每个外角度数为度，根据内角与相邻外角和为180度、内角比它相邻的外角大100°，构造方程求出外角度数，最后利用外角和360°可求边数．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：设每个外角度数度，
根据题意可得．
解得．
所以这个多边形的边数为．
【点睛】本题主要考查负整指数幂与零指数幂，多边形的内角与外角，多边形的外角和360°知识，解题的关键是利用内、外角转化求边数．
14. 如图，是油纸伞及其示意图，已知，，求证：平分．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义．首先利用证明，再根据全等三角形对应角相等可证，根据角平分线的定义可证平分．
【详解】证明：在和中，
，
，
平分．
15. 如图，在中，，点是的中点，是边上的高，请仅用无刻度直尺，按下列要求作图．
（1）在图1中，作边上的高；
（2）在图2中，作等腰梯形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图复杂作图，三角形的高，等腰三角形的性质，解题的关键是三角形三边的高所在直线相交于一点．
（1）连接交于点，连接，延长交于点，线段即为所求；
（2）连接，延长交延长于点，连接交延长线于F，连接，即为所求．
【小问1详解】
解：如图1中，线段即为所求；
∵，点是的中点，
∴，即是边的高，
∵是边上的高，交于点，三角形三边的高所在直线相交于一点，
∴ 是边上的高．
【小问2详解】
解：如图2中，等腰梯形即为所求．
∵，点是的中点，
∴，即是边的高，
∵是边上的高，交于点，三角形三边的高所在直线相交于一点，
∴ 是边上的高．
∵，，
∴，
在与中，
，
∴
∴
∴,
∵
∴
∵，，
∴
∴,
∵
∴四边形是等腰梯形．
16. 下面是某位同学解分式方程的过程：
解：方程两边同乘以，得
．①
．②
解得：．③
检验：当时，，④
所以，原分式方程的解为．
（1）填空：第______步开始出现了错误（只填序号）；
（2）请从出现错误的那一步开始补全正确的解题过程．
【答案】（1）② （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的基本步骤，即依次经过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验等步骤是解决问题的关键．
根据分式方程的解法，依次经过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验等步骤求出x的值即可．
【小问1详解】
解：该同学的做法从第②步去括号未变号，出现了错误，
故答案为：②．
【小问2详解】
解： ，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得：．
检验：当时，，且方程左边=右边
所以，原分式方程的解为．
17. 如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题：
（1）画出关于轴的对称图形．
（2）已知为轴上一动点，当的值最小时，的坐标为______．
（3）直接写出的面积：______．
【答案】（1）见解析 （2）．
（3）3.5
【解析】
【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键：
（1）根据轴对称性质，画出即可；
（2）连接，与轴的交点即为点，写出点的坐标即可．
（3）分割法求出三角形的面积即可；
【小问1详解】
解：如图所示．
【小问2详解】
∵关于轴对称，
∴，
∴当三点共线时，的值最小为的值，如图所示，
∴，
【小问3详解】
由图可知：的面积为：.
四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
18. 学校原有一块长为米，宽为的长方形场地，现因校园建设需要，将场地的长减少了3米，宽增加了3米．
（1）用含，的代数式表示：建设前场地的面积为______平方米；建设后场地的面积为______平方米；
（2）已知建设后场地的面积增加了48平方米．
①______；
②若，求建设前场地的面积．
【答案】（1），
（2）①19；②原长方形场地的面积是2500平方米
【解析】
【分析】本题考查列代数式，整式的乘法，完全平方公式．
（1）根据长方形的面积等于长乘以宽即可列出代数式；
（2）①根据建设后场地的面积增加了48平方米得到，运用多项式乘多项式与合并同类项法则进行化简，即可解答；
②由得到，运用完全平方公式展开后即可求解．
【小问1详解】
解：建设前场地的面积为平方米，
建设后场地的面积为平方米．
故答案为：；；
【小问2详解】
解：①由题意，得，
∴，
∴．
故答案为：19；
②∵，
∴，
即，
∵，
∴，
答：原长方形场地的面积是2500平方米．
19. 如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由，，，．利用边角边定理证明，进而得出结论；
（2）根据可求出，根据，利用三角形内角和定理即可求出度数．
【小问1详解】
解：∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
【小问2详解】
解： ∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20. 甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件．
（1）求这种商品的单价；
（2）甲、乙两人第二次再去果购该商品时，单价比上改少了20元．甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相网，则甲两次购买这种商品的平均单价是______元，乙两次购买这种商品的平均单价是_________元．
【答案】（1）这种商品的单价为60元/件
（2）48；50
【解析】
【分析】本题考查了分式方式方程的应用：
（1）设这种商品的单价为x元/件．根据“甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件”找到相等关系，列出方程，解出方程即可得出答案；
（2）先计算出第二次购买该商品时甲购买的数量和乙购买的总价，再用两次总价和除以两次的数量和即可得出两次的平均单价．
【小问1详解】
设这种商品的单价为x元/件．由题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的根．
答：这种商品的单价为60元/件．
【小问2详解】
第二次购买该商品时的单价为：（元/件），
第二次购买该商品时甲购买的件数为：（件），第二次购买该商品时乙购买的总价为：（元），
∴甲两次购买这种商品的平均单价是：（元/件），乙两次购买这种商品的平均单价是：（元/件）．
故答案为：48；50．
五、（本大题共2个小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，点A、B、C在一条直线上，与均为等边三角形，连接和．
（1）求证：．
（2）设与交于点P，与交于点Q，连接．
①按题意补全图形；
②判断的形状为_________三角形，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②等边，见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质及应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
（1）根据等边三角形的性质，由可证明；
（2）①按题意补全图形；
②证明，得到，进而求解即可．
【小问1详解】
∵、为等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
∴．
【小问2详解】
①如图所示．
②等边三角形．
理由如下：
由（1）知，，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形．
22. 阅读理解：我们常常把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题，
例如：，
∵，∴．
（1）这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______．
（2）求代数式的最小值，并写出相应的的值．
（3）若，试比较、的大小，并说明理由．
【答案】（1）2；
（2）当时，代数式的最小值为6
（3），见解析
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解的应用，完全平方式，解答的关键是对完全平方式的掌握与应用．
（1）由题意可得出答案；
（2）根据例中的方法，求解即可；
（3）求得，即可得出答案．
【小问1详解】
解：
∵
∴
∴代数式的最小值是2，这时相应的的值是．
故答案为：2；．
【小问2详解】
解：
∵
∴
∴当时，的最小值为6．
【小问3详解】
解：．
理由：∵，，
∴
，
∵，
∴，
∴．
六、（本大题12分）
23. 【课本再现】如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容．
我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？利用三角形全等，可以得到：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

【定理证明】
（1）请根据教材中的分析，结合图1，写出角平分线的判定定理“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”完整的证明过程．
已知：____________________________________
求证：____________________________________
证明：____________________________________
【定理应用】
（2）如图2，，是的中点，平分．求证：是的平分线．
【拓展提升】
（3）如图3，中，点在边上，平分，平分．若，，，，请直接写出的面积．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】
【分析】本题考查角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理是银题的关键．
（1）证明，即可得出结论；
（2）过点作于，先由角平分线的性质得到，从而可证得即可由（1）的结论可得出结论
（3）过点E作交延长线于F，作于G作，于H，设，则， 根据，即，求得：，即可由求解．
【详解】解：（1）已知：，，且．
求证：平分．
证明：在和中，
，
∴．
∴，
∴是的平分线．
（2）证明：如图，过点作于，
∵，
∴
∵平分，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∵，
∴是的平分线．
（3）解：过点E作交延长线于F，作于G作，于H，如图，
设，
由（1）得：，
∵，，，
∴，
即：，解得：，
∴，
∴．