[数学][期中]江西省赣州市南康区2023-2024学年八年级下学期期中试题(解析版)

这是一份[数学][期中]江西省赣州市南康区2023-2024学年八年级下学期期中试题(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴不是最简二次根式，故B正确．
2. 下列各组数是勾股数的是（ ）
A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，
【答案】C
【解析】A中，不是勾股数，故不符合要求；
B中，不是勾股数，故不符合要求；
C中，是勾股数，故符合要求；
D中，不是勾股数，故不符合要求；
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A、，该选项错误，不符合题意，
B、，该选项错误，不符合题意，
C、，该选项错误，不符合题意，
D、，该选项正确，符合题意，
4. 如图，△ABC中，已知AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 2
【答案】D
【解析】∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=AB=4，
又∵DE是中位线，∴DE=BC=2．
5. 两张全等的矩形纸片按如图所示的方式交叉叠放，，．与交于点G，与交于点H，且，，则四边形的周长为（ ）

A. 4B. 8C. 12D. 16
【答案】D
【解析】∵两张全等的矩形纸片按如图所示的方式交叉叠放，，，，
∴，，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
四边形周长为16．
6. 如图，正方形的边长为8，在上，且，是上一动点，则的最小值为( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】C
【解析】如图，连接BN，BD，BM，BM交AC于点E，
ABCD是正方形，则AC、BD互相垂直平分，
∴ND=NB，
当点N与点E不重合时，△NBM中NB+NM＞BM，
当点N与点E重合时，NB+NM=BM，
∴NB+NM≥BM，即DN+MN的最小值为BM，
ABCD是正方形，则BC=CD=8，∠BCD=90°，
∴CM=CD-DM=8-2=6，
∴BM=，
∴DN+MN的最小值为10，
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 要使二次根式有意义，则x应满足的条件是__________．
【答案】##
【解析】根据题意得：，解得：，
8. 已知为最简二次根式，且能够与合并，则a的值是______________．
【答案】1
【解析】由最简二次根式与可以合并，得
．解得，
9. 如图，在中，，点D是的中点，，，则______．
【答案】5
【解析】∵在中，∠，，，
∴由勾股定理得，
∵点D是的中点，∴，
10. 如图，在2×2网格中，线段AB的端点均在网格线的交点上，若每个小正方形的边长均为1，则线段AB的长为_________________．
【答案】
【解析】根据题意，利用勾股定理有，
11. 《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是______尺．
【答案】12
【解析】设水深x尺，则芦苇长尺，
在中，，
即，解得：，
∴，故水深12尺，芦苇长13尺，
12. 如图，在矩形中，，，点，点分别在，上，，若为矩形边上一点，当为直角三角形时，斜边长为_____________
【答案】或或
【解析】∵矩形中，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
显然点P与点B重合时，为直角三角形，
此时斜边长为；
当点E为顶点时，为直角三角形，如图，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∴斜边长为；
当点F为顶点时，为直角三角形，如图，
∴，
过点P作于点，
∴是等腰直角三角形，
∴，此时点P与点D重合，点G与点C重合，
∴，
∴斜边长为；
综上，斜边长为或或，
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13 （1）化简：．
（2）如图，在中，，，，求的值．
解：（1）原式
；
（2），，
，
，
，
在中，．
14. 已知，，求下列各式的值．
（1）和；
（2）．
解：（1）∵，，
∴，；
（2）
15. 如图，在平行四边形中，，，，已知实数，满足式子．求四边形的周长．
解：，
根据二次根式有意义的条件可知，，
解得，
，
平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形平行四边形，
四边形的周长．
16. 若，，是的三边长，且，，满足．
（1）求，，的值；
（2）是直角三角形吗？请说明理由．
解：（1）由题意得：，
，
；
（2）是直角三角形，
，，
，
故是直角三角形．
17. 如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点叫做格点已知两点是格点仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图保留画图痕迹，不写画法

（1）如图，以线段为边长作菱形；
（2）如图，以线段为边作一个面积为的正方形．
解：（1）如图所示，菱形即为所求；
或
（2）如图所示，正方形即为所求．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为米，宽为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为米，宽为米．
（1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
解：（1）长方形的周长（米）
答：长方形的周长是米；
（2）通道的面积
（平方米），
购买地砖需要花费（元）．
答：购买地砖需要花费元．
19. 【材料阅读】
平面内两点，，则由勾股定理可得，这两点间的距离．
例如，如图1，，，则．
【直接应用】
（1）已知，，求、两点间的距离；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与轴正半轴的夹角是．
①求点的坐标；
②试判断的形状．
解：（1）由题意知，，
∴、两点间的距离为；
（2）①解：如图，过作轴于，
∴，
∴，
设，，
∴，
解得，，∴；
②解：由题意知，，，
∵，
∴，∴是直角三角形．
20. 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，，已知．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求椅子最高点到地面的距离．
（1）证明：∵，，，
∴，，
则，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
延长交于，
由（1）可知，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
则，
∵，∴，
即：椅子最高点到地面的距离为．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 特例感知
化简：；
解：；
（1）请在横线上直接写出化简的结果：
①______；②______．
观察发现
（2）第个式子是（为正整数），请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）．
拓展应用
（3）从上述结果中找出规律，并利用这一规律计算：
①；
②．
解：（1）①解：，
故答案为：；
②解：，
故答案为：；
（2）解：，
∴的化简结果为；
（3）解：
；
②解：
．
22. 课本再现
定理证明
（1）为了证明该定理，小贤同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程．
已知：在中，对角线，交点为．
求证：是矩形．
应用定理
（2）如图2，在菱形中，，，，分别为，，，的中点．
求证：四边形是矩形（用“课本再现”中的矩形判定定理证明）．
拓展迁移
（3）如图3，四边形的对角线，相交于点，且，，，，分别为，，，的中点．若，，求四边形的面积．
解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是矩形；
（2）证明：在菱形中，，，，
∵，，，分别为，，，的中点，
∴，
∴，
∴，
同理，，则，
∴四边形是平行四边形，
连接，，
在菱形中，，则，
∴四边形是平行四边形，则，
同理，四边形平行四边形，则，
∴，
∴四边形是矩形；
（3）∵，，，分别为，，，的中点，
∴，， ，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴四边形的面积，
即四边形的面积是．
六、（本大题共12分）
23. 我们定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．
如图1，四边形中，，，则四边形叫做“等补四边形”．
【概念理解】
（1）①在等补四边形中，若，则______；
②在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是______．
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
【性质探究】
（2）如图1，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由．
【知识运用】
（3）如图2，在四边形中，平分，，．
求证：四边形是等补四边形．
【拓展应用】
（4）将斜边相等的两块三角板按如图3放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，、位于的两侧，其中，若，连接，则的长为______．
解：（1）①∵四边形等补四边形，，
∴，
∴，
故答案为：130．
②在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，
∴正方形是等补四边形，
故选：D．
（2）平分，
理由：如图，作于点E，交的延长线于点F，
∵四边形是等补四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴平分．
（3）证明：如图，在上截取，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形等补四边形．
（4）作于点，则，
∵，，
∴，
∴四边形是等补四边形，
由（2）得，平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为，
故答案为：．
思考
我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．