江西省赣州市南康区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江西省赣州市南康区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
3. 将一元二次方程化成一般形式正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，是的直径，是的切线，A，B为切点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？设应邀请个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）
A B. C. D.
6. 已知反比例函数，有下列说法中：①其图象经过点；②其图象分别位于第一、第三象限；③随的增大而增大；④当时，．正确的是（ ）
A. ①③B. ②③C. ①②D. ②④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 正六边形的中心角等于______度．
8. 抛物线的顶点坐标为 ________________．
9. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为______．
10. 若，是一元二次方程的两根，且，则的值为______．
11. 从“”中随机抽取一个字母，抽中字母u的概率为_________．
12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为______．
三、（本大题共5个小题，每小题6分，共30分）
13. （1）解方程：
（2）如图，已知正方形的边长为4，以点B为圆心，长为半径画弧，求图中阴影部分的面积（结果保留）．
14. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明将“．立春”“．清明”“．雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．
（1）随机抽取一张邮票是“．雨水”的概率是 ．
（2）随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的邮票是“．立春”和“．雨水”的概率．
15. 在中，以为直径作，请你根据下列条件仅用无刻度的直尺画出的平分线（不写作法，保留作图痕迹）．
（1）如图1，，与相交于点D；
（2）如图2，点C在上，点D是中点．
16. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点正好落在边上．若，求的度数．
17. 如图，在中，，是互相垂直的两条弦，，，垂足分别为．求证：．
四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，已知四边形为矩形，且B点坐标为，反比例函数的图象与矩形交于D点和E点，且，连接．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的长．
19. 如图，在中，，是的平分线，O是上一点，以为半径的经过点D，交于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求长．
20. 某服装厂生产一批服装，2022年该服装出厂价是300元/件，2023年、2024年连续两年改进技术降低成本，2024年该服装的出厂价调整为243元/件．
（1）若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，求平均下降率；
（2）2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以300元/件销售时，平均每天可销售10件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2件，如果该商场想每天盈利1920元，那么单价应降低多少元？
五、（本大题共2个小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，等腰直角中，，点在上，将绕顶点沿顺时针方向旋转后得到．
（1）求的度数；
（2）若，，求的长．
22. 【综合与实践】
矩形种植园最大面积探究
【解决问题】
根据分析，分别求出两种方案中S的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少？
六、（本大题共12分）
23. 如图，已知内接于，．点从圆上某一点开始沿圆运动一周，设点运动的路线长为，的面积为，随变化的图象如图所示，其中．
（1）当点不与两点重合时，的度数为___________．
（2）求出点和点的纵坐标；
（3）点在运动过程中，存在多少个点的位置，使得 ？并请说明理由．
2024-2025学年度第一学期教学质量检测试卷
九年级数学
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解∶A．原图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．原图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2. 抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了函数的对称轴问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答此题的关键．根据对称轴，将的值代入即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，即，
故选：D．
3. 将一元二次方程化成一般形式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，利用去括号和移项把方程整理成（为常数，且）即可，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
∴将一元二次方程化成一般形式为，
故选：．
4. 如图，是的直径，是的切线，A，B为切点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查切线的性质、圆周角定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，根据切线的性质推导出，则，而，所以，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
5. 学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？设应邀请个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设应邀请个队参赛，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设应邀请个队参赛，
根据题意得，，
即，
故选：．
6. 已知反比例函数，有下列说法中：①其图象经过点；②其图象分别位于第一、第三象限；③随的增大而增大；④当时，．正确的是（ ）
A. ①③B. ②③C. ①②D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵反比例函数，
∴，
∵，
∴其图象经过点，故①正确；
∵，
∴其图象分别位于第一、第三象限，在每一象限内，随的增大而减小，故②正确，③错误；
当时，，
∵在每一象限内，随的增大而减小，
∴当时，
综上，正确说法是①②，
故选：．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 正六边形的中心角等于______度．
【答案】60°
【解析】
【分析】根据正n边形中心角的公式直接求解即可.
【详解】解：正六边形的圆心角等于一个周角，即为，正六边形有6个中心角，所以每个中心角=
故答案为：60°
【点睛】本题考查正六边形，解答本题的关键是掌握正六边形的性质，熟悉正六边形的中心角的概念
8. 抛物线的顶点坐标为 ________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质求解．
【详解】解：抛物线的顶点为，
∴抛物线的顶点坐标是．
故答案为：．
9. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称：横纵坐标都互为相反数；进而此题可根据此方法进行求解m的值．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
解得：．
故答案为：2
10. 若，是一元二次方程的两根，且，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
11. 从“”中随机抽取一个字母，抽中字母u的概率为_________．
【答案】##0.125
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，概率公式：概率所求情况数与总情况数之比；直接利用概率计算公式求解即可．
【详解】解：从“”中随机抽取一个字母，共有8种等可能的结果，其中抽中字母u的结果有1种，
∴抽中字母u的概率为，
故答案为：．
12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为______．
【答案】（7，4）或（6，5）或（1，4）．
【解析】
【分析】由勾股定理求出PA=PB==，由点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，得出PC=PA=PB=，即可得出点C的坐标．
【详解】∵点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2），
∴PA=PB==，
∵点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，
∴PC=PA=PB==，
则点C的坐标为 （7，4）或（6，5）或（1，4）；
故答案为（7，4）或（6，5）或（1，4）．
三、（本大题共5个小题，每小题6分，共30分）
13. （1）解方程：
（2）如图，已知正方形的边长为4，以点B为圆心，长为半径画弧，求图中阴影部分的面积（结果保留）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，扇形面积计算．
（1）利用直接开方法求解即可；
（2）用正方形的面积减去扇形面积即可得出阴影部分的面积．
【详解】解：（1）
解得：；
（2）由题意可得
，
阴影部分的面积为．
14. “二十四节气”是中华上古农耕文明智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明将“．立春”“．清明”“．雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．
（1）随机抽取一张邮票是“．雨水”的概率是 ．
（2）随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的邮票是“．立春”和“．雨水”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（）根据概率公式计算即可求解；
（）画出树状图，根据树状图解答即可求解；
本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键．
【小问1详解】
解：随机抽取一张邮票是“．雨水”的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
由树状图可知，共有种等结果，其中两次抽取的邮票是“．立春”和“．雨水”的结果有种，
∴两次抽取的邮票是“．立春”和“．雨水”的概率为．
15. 在中，以为直径作，请你根据下列条件仅用无刻度的直尺画出的平分线（不写作法，保留作图痕迹）．
（1）如图1，，与相交于点D；
（2）如图2，点C在上，点D是中点．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查直径所对的圆周角是直角，同圆中等弧所对的圆周角相等，等腰三角形三线合一，根据相关定理寻求角之间的关系是解题的关键．
（1）如图，连接，根据直径所对的圆周角是直角，得，根据等腰三角形三线合一，得，所以即为所求；
（2）作射线交于点P，连接，利用垂径定理得到，即可得到，进而得到为的平分线．
【小问1详解】
解：如图，连接，则平分，理由如下：
∵ 是直径，
∴，
又，
∴是等腰三角形，
∴（三线合一），
∴即为所求；
【小问2详解】
解：作射线交于点P，连接即可，理由如下：
∵ 是直径，
∴，
又∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴为的平分线．
16. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点正好落在边上．若，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质得，，即得，，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：由旋转可得，，，
∴，，
∴，
即的度数为．
17. 如图，在中，，是互相垂直的两条弦，，，垂足分别为．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，垂径定理，正方形的判定和性质，由弧弦圆心角的关系得，进而由垂径定理可得，再证明四边形是正方形即可求证，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴．
四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，已知四边形为矩形，且B点坐标为，反比例函数的图象与矩形交于D点和E点，且，连接．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的应用，勾股定理的应用，化为最简二次根式，熟练的求解反比例函数的解析式是解本题的关键；
（1）由矩形的性质先求解，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）先求解D的坐标，求解，，再利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：∵四边形为矩形，
∴，
∵B点坐标为，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵比例函数的图象与矩形交于D点和E点，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
∵比例函数的图象与矩形交于D点，
∴D点的纵坐标为4，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
19. 如图，在中，，是的平分线，O是上一点，以为半径的经过点D，交于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求长．
【答案】（1）见解析；
（2）8
【解析】
【分析】本题考查了等边对等角，角平分线，平行线的判定与性质，切线的判定，勾股定理等知识．熟练掌握等边对等角，角平分线，平行线的判定与性质，切线的判定，勾股定理是解题的关键．
（1）由等边对等角，角平分线的定义可证，则，进而结论得证；
（2）设的半径为r，则，，，由勾股定理得，，即，计算求解，然后作答即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：设的半径为r，则，，，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，
∴的长为8．
20. 某服装厂生产一批服装，2022年该服装的出厂价是300元/件，2023年、2024年连续两年改进技术降低成本，2024年该服装的出厂价调整为243元/件．
（1）若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，求平均下降率；
（2）2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以300元/件销售时，平均每天可销售10件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2件，如果该商场想每天盈利1920元，那么单价应降低多少元？
【答案】（1）平均下降率为
（2）单价应降低27元
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，正确列出方程是解题关键．
（1）设平均下降率为x，然后根据题意可直接列方程求解；
（2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，然后根据题意可列方程，求解即可．
【小问1详解】
设平均下降率为x，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：平均下降率为；
【小问2详解】
设单价应降低m元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
∵要减少库存，
∴．
答：单价应降低27元．
五、（本大题共2个小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，等腰直角中，，点在上，将绕顶点沿顺时针方向旋转后得到．
（1）求的度数；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查图形旋转的性质以及勾股定理，牢记图形旋转的性质以及勾股定理是解题的关键．
（1）根据图形旋转的性质可直接求得答案．
（2）根据图形旋转的性质，可证得为等腰直角三角形，根据勾股定理可求得的长度，进而可求得的长度．
【小问1详解】
解：∵是等腰直角三角形，
∴
根据图形旋转的性质可知．
．
【小问2详解】
解：根据图形旋转的性质可知，，．
∵，
∴．
又，
∴为等腰直角三角形．
∴．
中，
．
∴．
22. 【综合与实践】
矩形种植园最大面积探究
【解决问题】
根据分析，分别求出两种方案中S的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少？
【答案】方案1，；方案2，；矩形种植园面积最大为
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，求出二次函数解析式．
（1）设，则，根据矩形面积公式得出，根据，求出最大值即可；
（2）设，得出，根据矩形面积公式得出，根据，求出结果即可．
【详解】解：方案1：∵，则，
∴，
∵，
∴当时，．
方案2：设，
则，
∴．
∵，当时，．
∵，
∴矩形种植园面积最大为．
六、（本大题共12分）
23. 如图，已知内接于，．点从圆上某一点开始沿圆运动一周，设点运动的路线长为，的面积为，随变化的图象如图所示，其中．
（1）当点不与两点重合时，的度数为___________．
（2）求出点和点的纵坐标；
（3）点在运动的过程中，存在多少个点的位置，使得 ？并请说明理由．
【答案】（1）或
（2）点的纵坐标为，点的纵坐标为
（3）存在个点的位置，使得，理由见解析
【解析】
【分析】（）如图，由题意可知，当直径时，在点位置时，的面积在上方最大；在点位置时，的面积在下方最大，进而结合函数图象可得半圆的弧长为，即得的半径，连接，利用勾股定理的逆定理得，最后根据圆周角定理即可求解；
（）利用等腰直角三角形的性质可得，，进而求出在上方和下方的最大面积即可求解；
（）设边上的高为，求出时的值，再根据，值比较即可求解．
【小问1详解】
解：如图，当直径时，在点位置时，的面积在上方最大；在点位置时，的面积在下方最大，
由图知，点顺时针运动，当点运动的路线长为，的面积在上方
最大；当点运动的路线长为，的面积在下方最大，且，
∴半圆的弧长为，
设的半径为，则，
∴，
连接，则，
∵，
∴，
∴为直角三角形，，
当点在上方时，；
当点在下方时，；
故答案为：或；
【小问2详解】
解：设直径与的垂足为点，
由（）可得为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
，
∴点的纵坐标为，点的纵坐标为；
【小问3详解】
解：存在个点的位置，使得，理由如下：
设边上的高为，由得，，
解得，
当点在上方时，由（）可知此时存在个点的位置，使得；
当点在下方时，由（）可知此时不存在点的位置，使得；
综上，存在个点位置，使得．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定和性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
情境
劳动实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为S．

分析
要探究面积S的最大值，首先应将另一边用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值．
探究
方案一：将墙的一部分用来替代篱笆
按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）．
方案二：将墙全部用来替代篱笆
按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）．
情境
劳动实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为S．

分析
要探究面积S的最大值，首先应将另一边用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值．
探究
方案一：将墙的一部分用来替代篱笆
按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）．
方案二：将墙的全部用来替代篱笆
按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）．