江西省赣州市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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说明：
1．本试题卷共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间为120分钟。
2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效。
一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
1. 若二次根式有意义，则的值可能是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数，求出的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：二次根式有意义，
，
，
故选：D．
2. 下列二次根式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的四则运算，二次根式的性质，分母有理化，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式乘、除、加、减的运算法则逐一计算，即可得到答案．
【详解】解：A、，原计算正确，符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、和不能合并，原计算错误，不符合题意；
D、和不能合并，原计算错误，不符合题意；
故选：A
3. 依据所标数据，如图一定为平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理判断即可；
【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误；
一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C正确；
一组对边平行另一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，故D错误；
故选：C．
4. 下列条件中，不能判断（为三边，为三个内角）为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，掌握两较短边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形是解题关键．利用三角形内角和定理判断A、B 选项；利用勾股定理的逆定理，判断C、D选项．
【详解】解：A、，，
，即为直角三角形，不符合题意；
B、，，
，，，即不为直角三角形，符合题意；
C、，
，即为直角三角形，不符合题意；
D、，
设，，，
，即为直角三角形，不符合题意；
故选：B
5. 如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，三角形内角和定理，找出角度之间的数量关系是解题关键．由折叠的性质可知，，根据平行四边形的性质，得到，进而得出，再结合三角形内角和定理，即可求出的度数．
【详解】解：由折叠的性质可知，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
6. 如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为2．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的边长是（ ）

A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的性质，根据题意找出边长之间的数量关系是解题关键．根据正方形①的面积，得到，再根据勾股定理，分别求出，，即可求解．
【详解】解：如图标记各点，
正方形①的面积为16，
，
、是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，
即正方形③的边长是2，
故选：A

二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
7. ______
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
由即可作出求解．
【详解】解：，
故答案为：3．
8. 若的整数部分为，小数部分为，则的值______
【答案】6
【解析】
分析】本题主要考查估算无理数的大小，解题的关键是掌握估算无理数的大小的方法．
先求出和的值，代入即可．
【详解】解：，
，
，，
∴，
故答案为：6．
9. 如图，矩形的两边长分别为1和2，且，那么数轴上点A所表示的数是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理得到OB＝，再根据点A的位置可得答案．
【详解】解：由勾股定理可得OB＝，
∴OA＝OB＝，
∴点A表示的数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出OB长是解题关键．
10. 已知，则______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键．将变形为，再代入计算即可．
【详解】解：，
，
故答案为：．
11. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_________ dm．
【答案】25
【解析】
【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．
【详解】解：展开图为：
则AC=20dm,BC=3×3+2×3=15（dm）,
在Rt△ABC中， （dm）.
所以蚂蚁所走的最短路线长度为25 dm.
故答案为：25．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．
12. 如图，平行四边形中，cm，cm，点在边上以每秒1cm的速度从点、A向点运动，点在边上，以每秒4cm的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止）在运动以后，当 ______ 时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．
【答案】4.8s或8s或9.6s
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定可得当DP=BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：设经过秒，以点、、、为顶点组成平行四边形，
以点、、、为顶点组成平行四边形，
，
分为以下情况：点的运动路线是，方程为，
此时方程，此时不符合题意；
点的运动路线是，方程为，
解得：s；
点的运动路线是，方程为，
解得：s；
点的运动路线是，方程为，
解得：s；
综上所述，4.8s或8s或9.6s时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形，
故答案为：4.8s或8s或9.6s．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定．解题的关键是求出符合条件的所有情况，注意分类讨论思想的应用．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. 计算
（1）
（2）．
【答案】（1）2 （2）5
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）再根据乘法分配律去括号，计算加减法即可；
（2）先计算平方差公式和二次根式的乘法，再计算加减法即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
14. 如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的一条直线分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质得出 AO=CO，ADBC，进而得出∠EAC=∠FCO， 再利用 ASA 求出△AOE≌△COF，即可得出答案．
【详解】∵▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，
∴AO=CO，ADBC，
∴∠EAC=∠FCO，
在△AOE 和△COF 中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
15. 已知等腰直角三角形，点分别为中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）
（1）在图1中，作出三角形的中位线；
（2）在图2中，画出点关于的对称点．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中线及中位线定理，全等三角形的性质，根据相关知识点正确作图即可．
（1）连接、交于点，连接并延长，与的交点即为中点，连接即可；
（2）令与的交点为点，连接并延长至点，连接并延长至点，则与的交点即为点．
【小问1详解】
解：如图，即为所求作；
【小问2详解】
解：如图，点即为所求作；
令与的交点为点，连接并延长至点，连接并延长至点，与的交点为．
是等腰直角三角形，
，，
点分别为中点，
、是的中位线，，，
，，，
，，
，
，
，
又，
，
，
即点和点关于对称．
16. 如图，在中，．求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，含30度的直角三角形，掌握勾股定理是解题关键．过点作于点，由三角形内角和定理，易证是等腰直角三角形，进而求得，再根据30度所对的直角边是斜边的一半，得到，进而得到，即可求出的长．
【详解】解：如图，过点作于点，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
,
，,
，
，
17. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在右墙上，测得梯子顶端距离地面2米，即米，梯子底端距右墙底端米，即米，梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面米，即米，则小巷的宽度为多少米？
【答案】米
【解析】
【分析】分别在，中求出，，即可．
【详解】解：在中，，米，米，
米，
在中，，米，米，
米，
米，
答：小巷的宽度为米．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”．完成以下问题：如图，在中，．
（1）直接写出的值，______．
（2）求的面积；
（3）设边上的高为边上的高为，求的值．
【答案】（1）9 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
（1）直接代入求解；
（2）代入“海伦公式”求解；
（3）根据三角形的面积列方程求出、，再求和．
【小问1详解】
解：，
故答案为：9．
【小问2详解】
，
的面积为；
【小问3详解】
，
，，
．
19. 如图，在中，，于点D，延长到点E，使，过点E作交的延长线于点F，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，直接写出的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）证，得，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得，再由等腰三角形的性质得，则，进而由勾股定理得，然后利用勾股定理求出的长即可．
【小问1详解】
证明：，
，
在与中，
，
，
,
又，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：由（1）可知四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
20. 某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米，．

（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）风筝的垂直高度为米；
（2）他应该往回收线米．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．
（1）利用勾股定理，求得米，从而求出的长即可；
（2）由题意得米，再由勾股定理，得出米，即可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意可知，米，米，
在中，米，
米，
米，
即风筝的垂直高度为米；
【小问2详解】
解：如图，若风筝沿方向下降9米到达点，
则米，
米，
米，
即他应该往回收线米．

五、解答题（本大题共2小题，小题9分，共18分）
21. 【课本再现】我们把连接三角形两边中点线段叫做三角形的中位线．
下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法：
【回顾证法】
（1）请你选择其中一种证法，继续完成证明过程．
【实践应用】
（2）如图4，B、C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了间的距离：先在池塘外选一点，连接，然后测出的中点、，并测出的长度为12米，则两点间的距离______米．
【深入探究】
（3）如图5，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论．
【答案】（1）方法一：见解析；方法二：见解析；（2）24；（3）与互相平分，见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理的证明和应用，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作辅助线是解题关键．
（1）方法一：先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是平行四边形，即可证明结论；
方法二：证明，进而可证四边形、是平行四边形，即可证明结论；
（2）根据三角形中位线定理即可求解；
（3）连接、，根据三角形中位线定理，证明四边形、是平行四边形，进而证明四边形是平行四边形，即可证明结论．
详解】（1）证明：方法一：延长到点，使，连接．
点分别是边的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
即，且；
方法二：取中点，连接并延长到点，使，连接．
点分别是边的中点，
，，
又，
，
，，，
，
点是中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
点分别是边的中点，
，
四边形是平行四边形，
，，
即，且；
（2）、是的中点，米，
米，
即两点间的距离24米，
故答案为：24；
（3）与互相平分，证明如下：
如图，连接、，
是的中位线，
，，，，
是边上的中线，
，
，
四边形、是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
与互相平分；
22. 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题：
化简：．
解：隐含条件，解得：，
．
原式．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简：．
【类比迁移】
（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简：．
（3）已知为的三边长．化简：．
【答案】（1）1；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，利用数轴判断式子的正负，绝对值的性质，熟练掌握相关法则是解题关键．
（1）仿照例题，利用隐含条件得到，再根据二次根式的性质化简即可；
（2）由数轴可知，，，进而得到，，再根据二次根式的性质和绝对值的意义化简即可；
（3）由三角形的三边关系可知，，，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：（1），
隐含条件，解得：，
，
原式；
（2）由数轴可知，，，
，
；
（3）解：由三角形的三边关系可知，，，
，，
．
六、解答题（本大题共12分）
23. 在中，，点所在平面内一点，过点分别作交于点，交于点，交于点．
（1）猜想论证
如图1，当点在边上时，此时点重合，试猜想与的数量关系，并说明理由．
（2）类比探究
如图2，当点在内时，过点作交于点，交于点，
①求证：；
②利用（1）中结论写出与的数量关系：______．
（3）问题解决
如图3，当点在外时，若，请利用（1）中结论求平行四边形的周长．
【答案】（1），理由见解析；（2）①证明见解析；②；（3）14
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
（1）四边形是平行四边形，得到，根据等腰三角形的判定和性质，得出，即可证明结论；
（2）①证明四边形是平行四边形，即可得出结论；
②由等边对等角的性质，得到，再结合平行线的性质，得出，进而推出，证明四边形是平行四边形，得到，再结合①结论，即可得到答案；
（3）过点作交延长线于点，交延长线于点，由（1）结论可得，，证明四边形是平行四边形，得到，进而得到，即可求出平行四边形的周长．
【详解】（1）解：，理由如下：
，，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，
，
即；
（2）证明①，，
四边形是平行四边形，
②，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
由①可得，，
，
故答案为：；
（3）解：如图，过点作交延长线于点，交延长线于点，
由（1）结论可得，，
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形的周长为．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图1，在中，点分别是边的中点．求证：，且．
方法一：
证明：如图2，延长到点，使，连接．
方法二：
证明：如图3，取中点，连接并延长到点，使，连接．