江苏省徐州市第二中学2024-2025学年高一下学期3月学情调研数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份江苏省徐州市第二中学2024-2025学年高一下学期3月学情调研数学试卷（原卷版+解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 化简（ ）
A. B. C. D.
3. 若，，则的值为（ ）
A B. C. D.
4. 已知，，，则（ ）
A. A、B、D三点共线 B. A、B、C三点共线
C. B、C、D三点共线D. A、C、D三点共线
5. 已知，，，的夹角为，则（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
6. 如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（ ）
A. B. C. D.
7. 已知、，且，，则（ ）
A B. C. 或D. 或
8. 在平行四边形中，，分别在边，上，，，与相交于点，记，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列选项中，值为的有（ ）
A B.
C. D.
10. 关于平面向量、、，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B.
C. 若非零向量、满足，则与的夹角是
D. 若向量，，则向量在向量上的投影向量为
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为的重心
B. 向量不能作为平面内所有向量的一个基底
C. 向量在向量上投影向量可表示为
D. 若，，则等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知角满足，则______．
13. 已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为______.
14. 已知，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设，为两个不共线的向量，若，.
（1）若与共线，求实数的值；
（2）若，为互相垂直的单位向量，且，求实数的值.
16. 已知为锐角，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
17. 设，，，为平面内的四点，已知，，.
（1）若四边形为平行四边形，求点的坐标；
（2）若，，三点共线，，求点的坐标.
18. 已知函数的最大值为3．
（1）若的定义域为，求的单调递增区间；
（2）若，，求的值．
19. 如图，扇形钢板POQ的半径为1，圆心角为60°.现要从中截取一块四边形钢板ABCO.其中顶点B在扇形POQ的弧PQ上，A，C分别在半径OP，OQ上，且AB⊥OP，BC⊥OQ.
（1）设∠AOB=θ，试用θ表示截取的四边形钢板ABCO的面积S（θ），并指出θ的取值范围；
（2）求当θ为何值时，截取的四边形钢板ABCO的面积最大.
2024－2025学年度第二学期高一年级学情调研
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据诱导公式把题目中的角转化为锐角，最后逆用两角和的正弦公式进行求解即可.
【详解】
故选：A
2. 化简（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量线性运算法则及运算律计算可得.
【详解】.
故选：D
3. 若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由二倍角公式结合角的范围即可求解.
【详解】，，
，，，
故选：A
4. 已知，，，则（ ）
A. A、B、D三点共线 B. A、B、C三点共线
C. B、C、D三点共线D. A、C、D三点共线
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量加法法则，得到，从而可得结论.
【详解】，，，
，，与共线，
因为两向量有一个公共点B，、B、D三点共线，故A正确．
由，，可得，
所以不存在使得，故A、B、C三点不共线，故B不正确；
由，，可得，
所以不存在使，故B、C、D三点不共线，故C不正确；
因为，，
所以，
又，可得，
所以不存在使，故A、C、D三点不共线，故D不正确；
故选：A.
5. 已知，，，的夹角为，则（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】首先由数量积公式求得，又，代入求解即可.
【详解】因为，，，的夹角为，
所以，
解得，
，
故选：C.
6. 如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量线性运算计算可得结果.
【详解】依题意，.
故选：B
7. 已知、，且，，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据同角的三角函数关系中平方和关系求出相应角的正弦值，然后运用余弦两角和公式进行求解即可.
【详解】、，且，，
，
，
，
，，
、，
，
，
故选： B
8. 在平行四边形中，，分别在边，上，，，与相交于点，记，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】法1：设，根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理可得，进而可得结果；法2：建系，设，结合向量的坐标运算分析求解；法3：做辅助线，根据几何知识分析可知，进而可得结果.
【详解】法1：因为，
设，则，
因为，，三点共线，则，解得，
即，所以；
法2：坐标法（特殊化平行四边形建系）
不妨设平行四边形为矩形，建立如图所示平面直角坐标系，
设，，则，
所以直线，直线，
联立方程，解得，
可得，，，
设，
则，解得，
所以；
法3：如图，延长，，交于点，
因为为中点，所以，
又，则，可得，
可知，所以；
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列选项中，值为的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由三角恒等变换以及诱导公式逐一验算即可求解.
【详解】A选项：；
B选项：
；
C选项：
；
D选项：因为，可得；
故选：ABD.
10. 关于平面向量、、，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B.
C. 若非零向量、满足，则与的夹角是
D. 若向量，，则向量在向量上的投影向量为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据相等向量的定义、余弦函数的最值性质，结合平面向量加减法的几何意义、投影向量的定义逐一判断即可.
【详解】对于A，若，则，但、的方向不一定相同，故A错误；
对于B，由平面向量数量积的定义可知，，故B正确；
对于C，若非零向量、满足，
则根据平面向量减法的几何意义可以确定以、、为边长的三角形为等边三角形，根据平面向量加法的几何意义，结合等边三角形三线合一，
所以和的夹角为，故C正确；
对于D，若向量，，则，，则向量在向量上的投影向量为，故D正确，
故选：BCD
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为的重心
B. 向量不能作为平面内所有向量的一个基底
C. 向量在向量上的投影向量可表示为
D. 若，，则为等边三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据三角形重心的向量表示判断A；根据基底的概念判断B；根据投影向量的定义判断C，根据数量积的定义判断D.
【详解】对于A，由题意，取的中点为，并连接，作图如下：

由，即，则共线，
即所在直线经过中点，与边的中线共线，
同理可得，分别与，边的中线共线，
是三角形中三条中线的交点，为的重心，故A正确；
对于B，由，所以，
即与共线，所以与不能作为平面内一组基底，故B正确；
对于C：向量在向量上的投影向量可表示为，故C错误；
对于D：作角的内角平分线与边交于点，
因为为方向的单位向量，为方向的单位向量，
∴（），∴（），
∴，∴，∴，为等腰三角形，
又∵，且，∴，
∴为等边三角形，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知角满足，则______．
【答案】
【解析】
【分析】两边平方，结合二倍角公式和同角三角函数关系得到答案.
【详解】.
故答案为：
13. 已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为______.
【答案】－8
【解析】
【分析】
先根据数量积的分配律将所求式子展开，再由平面向量数量积的运算法则即可得解.
【详解】解：.
故答案为： -8.
【点睛】本题考查数量积的计算，此类问题一般利用数量积的运算律和定义来处理，本题属于基础题.
14. 已知，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】应用两角和正弦公式计算再结合同角三角函数关系弦化切计算即可.
【详解】
.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设，为两个不共线的向量，若，.
（1）若与共线，求实数的值；
（2）若，为互相垂直的单位向量，且，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由与共线，设，由，可得且，即可求得结果；
（2）由已知可得，化简计算即可求得结果.
【小问1详解】
根据题意，，为两个不共线的向量，且，；
若与共线，则存在实数k，使得
则有，
则有且，解可得；
【小问2详解】
，为互相垂直的单位向量，
若，则有，
变形可得：，故.
16. 已知为锐角，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据同角的三角函数关系直接求解即可；
（2）根据二倍角的正切公式计算即可求解；
（3）由（1）可得，结合和两角差的正切公式计算即可求解.
小问1详解】
由都是锐角，得，
所以，又，
所以；
【小问2详解】
由，得；
【小问3详解】
由（1）知，，
又，
所以.
17. 设，，，为平面内的四点，已知，，.
（1）若四边形为平行四边形，求点的坐标；
（2）若，，三点共线，，求点的坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，利用，可求点的坐标；
（2）利用三点共线，可得，可得，利用数量积可求点的坐标.
【小问1详解】
因为，，，所以，
因为四边形为平行四边形，所以，
设，所以，
所以，所以
【小问2详解】
因为，，三点共线，，
所以设，
又，所以，所以，
又
所以.
18. 已知函数的最大值为3．
（1）若的定义域为，求的单调递增区间；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）单调递增区间为和
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式将化简并利用最值可得，再由三角函数单调性解不等式即可求得单调递增区间；
（2）代入解析式可求得，再根据同角三角函数之间的基本关系以及二倍角等公式即可求得结果.
【小问1详解】
将化简可得，
因为，所以．
此时，
当时，
令．得；
令，得，
所以的单调递增区间为和．
【小问2详解】
由（1）知．
由，得，
所以．又因为．所以，
所以．
所以，
，
所以
.
19. 如图，扇形钢板POQ的半径为1，圆心角为60°.现要从中截取一块四边形钢板ABCO.其中顶点B在扇形POQ的弧PQ上，A，C分别在半径OP，OQ上，且AB⊥OP，BC⊥OQ.
（1）设∠AOB=θ，试用θ表示截取的四边形钢板ABCO的面积S（θ），并指出θ的取值范围；
（2）求当θ为何值时，截取的四边形钢板ABCO的面积最大.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据三角函数和半径得到，，，的长度，然后利用面积公式求面积，并用和差公式、二倍角公式和辅助角公式化简即可；
（2）利用正弦型函数的性质求最值即可.
【小问1详解】
利用正弦函数可得，，，，所以
，.
【小问2详解】
因为，所以，
当，即时，四边形钢板的面积最大.