江苏省徐州市2025届高三下学期2月调研测试数学试卷（解析版）

这是一份江苏省徐州市2025届高三下学期2月调研测试数学试卷（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，，若，则实数的取值构成的集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得.
当时，，满足；
当时，因为，
所以或，
解得或.
故选：C.
2. 若复数（其中是虚数单位），则复数的共轭复数的模为
A. 1B.
C D. 2
【答案】B
【解析】，故选B.
3. 已知命题：，为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为命题：，为真命题，所以不等式的解集为.
若，则不等式可化为，解得，不等式解集不；
若，则根据一元二次不等式解集的形式可知：，解得，
综上可知：，
故选：D.
4. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 一组数据的第70百分位数为13
B. 若样本数据的方差为2，那么数据的方差为6
C. 已知随机事件A和B互斥，且，，则
D. 某一组样本数据为，则样本数据落在区间内的频率为
【答案】ACD
【解析】A选项，数据从小到大排列为，由，
故第5个数作为第70百分位数，即13，A正确；
B选项，样本数据的方差为2，
则数据方差为，所以B选项错；
C选项，因为A和B互斥，则，
可得，所以，C正确；
D选项，样本数据落在区间有有4个，
所以样本数据落在区间内的频率为，故选D；
故选：ACD．
5. 设定义域为的单调函数，对任意，都有，若是方程的一个解，则可能存在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，则，且，
当时，，
由函数在上为增函数，且得，，
∴，故，
由得，，
设，则，，
∴根据零点存在性定理可知在内存在零点，即.
故选：B.
6. 若满足条件的△ABC有两个，那么a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据正弦定理可知，代入可求得
因为满足条件的△ABC有两个，所以有两个角
即函数与函数的图象有两个交点，如下图所示
由图可知，，所以
故选：C
7. 在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】圆的圆心为，
设关于直线的对称点为，
所以，解得，
关于直线的对称点为，
由题意得，以为圆心，以为半径的圆与圆有公共点，
所以，解得：.
故选：B．

8. 如图，直角的斜边长为2，，且点分别在轴，轴正半轴上滑动，点在线段的右上方．设，（），记，，分别考查的所有运算结果，则
A. 有最小值，有最大值B. 有最大值，有最小值
C. 有最大值，有最大值D. 有最小值，有最小值
【答案】B
【解析】依题意，所以.设，则，所以，，
所以，当时，取得最大值为.
，所以，所以，当时，有最小值为.故选B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列结论中正确的有（ ）
A. 若为正实数，，则
B. 若a，b，m为正实数，，则
C. 若，则
D. 当时，的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A，∵为正实数，，
∴，故A正确；
对于B，若为正实数，，则，则，故B错误；
对于C，，若，则，故C正确；
对于D，当时，根据基本不等式可得：，的最小值为，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：ACD
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 是偶函数B. 是周期函数
C. 关于直线对称D. 当时，
【答案】BCD
【解析】A项，，
，
得，所以不是偶函数，故选项A错误；
B项，，
所以是以为周期的周期函数，故选项B正确；
C项，
，
所以关于直线对称，故选项C正确；
D项，由关于直线对称，
只需看当时，是否成立.
当时，，，，
，所以，即；
又因为，
所以，
所以，即，
所以，故选项D正确.
故选：BCD.
11. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则四面体的体积为定值
B. 若的外心为，则为定值2
C. 若，则点的轨迹长度为
D. 若且，则存在点，使得的最小值为
【答案】ACD
【解析】A选项，在上分别取，使得，，
因为，所以，
因为，所以，即，
故，即，
所以三点共线，
因为，，所以，
故平面，故点为平面的距离为定值，
又为定值，故四面体的体积为定值，A正确；

B选项，取的中点，因为的外心为，所以⊥，
又题意得，
则，B错误；

C选项，取的中点，因为底面为菱形，，
故⊥，
以为坐标原点，以，分别为轴，建立空间直角坐标系，
故，设，
则，
化简得，
点满足，
即点在正方形内，包括边界，
故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，落在正方形内的部分，
如图所示：

因为，，故，
故为等腰直角三角形，，
故点的轨迹长度为，C正确；
D选项，若且，，
即，即，
又，，设，
设，即，
解得，即，
，
如图所示，

设，且⊥，⊥，
在线段上取一点，设，则，
故，
显然，直接连接，此时取得最小值，最小值即为，
由勾股定理得，
故的最小值为，
D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某次调研测试中，考生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为________．
【答案】
【解析】因考生成绩服从正态分布，
所以，
故任意选取3名考生，
至少有2名考生的成绩高于90的概率为．
故答案为：.
13. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若，记数列的前项和为，则______．
【答案】4725或4746
【解析】由，得，或，
若，则数列是周期数列，其周期为3，
因此；
若，则数列去掉前3项后是周期数列，其周期为3，
因此.
故答案为：4725或4746
14. 如图所示，由半椭圆和两个半圆，组成曲线，其中点、分别是的上、下焦点和、的圆心.若过点、作两条平行线、分别与、和、交于、和、，则的最小值为______.
【答案】
【解析】半圆的圆心为，半径为，
半圆的圆心为，半径为，
对于椭圆的焦距为，则，可得，
所以，椭圆的方程为，如图所示，
设直线与椭圆另一个交点为，
由椭圆的对称性可知，点与点关于原点对称，
即点为线段、的中点，所以，四边形为平行四边形，
所以，，
，
若的斜率不存在，则直线过点，不合乎题意，所以，直线的斜率存在，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
所以，
，
故当时，取最小值，
则的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）求且，求．
解：（1）由正弦定理得，故，
即，∴，
∵，∴．
（2）∵，∴，
∴
，
∴，
∵，∴，即，得，
又∵为锐角三角形，∴，∴．∴，
则，∴，
∴
．
16. 如图所示的几何体中，为三棱柱，平面，，四边形为平行四边形，，.
（1）求证：平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
（1）证明：∵为三棱柱，且平面，，
∴四边形是正方形，.
∵平面，
∴，
又∵，，
∴，，
∵，平面，
∵平面，
∴.
∴平面.
（2）解：∵，
∴，，
∴三棱锥的体积
，
.
17. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音乐获得100分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得-300分.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为，求的最大值点；
（2）以（1）中确定的作为的值，玩3盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量，求每盘游戏出现音乐的概率，及随机变量的期望；
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
解：（1）由题可知,一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为：
,
由得或（舍）
当时,；
当时,,
∴在上单调递增,在上单调递减,
∴当时,有最大值,即的最大值点；
（2）由（1）可知,
则每盘游戏出现音乐的概率为
由题可知
∴；
（3）由题可设每盘游戏的得分为随机变量,则的可能值为-300,50,100,150；
∴；
；
；
；
∴
；
令,则；
所以在单调递增；
∴；
即有；
这说明每盘游戏平均得分是负分,由概率统计的相关知识可知：经过若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而会减少.
18. 已知椭圆 短轴长为2，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆C交于两点，其中分别在轴上方和下方，，直线与直线交于点，直线与直线交于点
（1）若的坐标为求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过点并垂直于轴的直线交C于点，椭圆上不同的两点满足 成等差数列. 求弦的中垂线在轴上的截距的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围.
解：（1）椭圆 短轴长为2，则有，故椭圆，
，则为的中点，又为的中点，可知为的重心，
则，故，
代入椭圆方程得，解得，所以椭圆C的方程为；
（2）由椭圆C的方程得，，，
成等差数列，，
设，AD中点，由弦长公式，
=，
，，
同理，代入可得，
①当AD斜率存在时，由，两式作差可得，
，∴，
∴弦AD的中垂线方程为，
当时，AD的中垂线在轴上的截距为，
AD中点在椭圆C内，∴，得，且．
②当AD斜率不存在时， AD的中垂线为轴，在轴上的截距为．
∴综上所述，即弦AD的中垂线在轴上的截距的取值范围为.
（3），则为的中点，为的中点，
又为的中点，可知点分别为，的重心，
设，，
设点，，则根据重心性质及面积公式得，
，而，
∴，∴，∴，
设，则，令，
任取，有，
时，，，，
，即；
时，，，，
，即；
则在上单调递增，在上单调递减，
，，
可得，即，
设直线，则联立椭圆方程得，
消元化简得，，
∴，，
∴，
∴，则对任意的m恒成立，即，得，
故实数a的取值范围为．
19. 设数列的前n项和为，对一切，，点都在函数图象上.
（1）求，，，归纳数列的通项公式（不必证明）：
（2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为、、、、、、、、、…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成新的数列为，求的值；
（3）设为数列的前n项积，若不等式对一切都成立，求a的取值范围.
解：（1）因为点在函数的图象上，故，所以，
令，得，所以，
令，得，所以，
令，得，所以，由此猜想：，
当时，，且已知，，当时，，
故，化简整理得，
当时，，两式相减可得，结合，
故数列是以4为首项，4为公差的等差数列，即，
数列是以2为首项，4为公差的等差数列，即，故，
经检验符合题意，且当时，，
，故成立.
（2）因为（），所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为
，，，；
，，，；，…
每一次循环记为一组，由于每一个循环含有4个括号，
故是第25组中第4个括号内各数之和，由分组规律知，
由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20，
同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20，
故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80，注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，
所以，又，所以.
（3）因为，故，
所以，
，
故对一切都成立，
就是对一切都成立，
设，
则只需即可，
由于，
所以，故单调递减，于是，
令，即，解得或，
综上所述，使得所给不等式对一切都成立的实数a的取值范围是.