江苏省徐州市第三中学2024-2025学年高二下学期4月期中调研数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江苏省徐州市第三中学2024-2025学年高二下学期4月期中调研数学试题（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了4545B， 已知随机变量的分布列， 设，若为函数的极大值点，则， 设，若，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 总分：150分
注意：请在答题卡上作答
一､单选题（本大题共8小题，共40分）
1. 四个同学排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾的排法总数是（ ）
A. 12种B. 14种C. 16种D. 18种
2. 若展开式各项系数之和为，则实数为（ ）
A. 0B. C. 1D.
3. 西峡猕猴桃是河南省的特产，是中国国家地理标志产品．据统计，西峡县某种植基地猕猴桃的单果质量（单位：克）近似服从正态分布，则估计该基地猕猴桃的单果质量在区间内的概率为（ ）
附：若，则，，．
A. 0.4545B. 0.1827C. 0.2718D. 0.1359
4. 二项式的展开式中有理项的个数为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
5. 已知，为的导函数，则的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
6. 设A，B为两个事件，若，，则等于（ ）
A. B. C. D.
7. 已知随机变量的分布列：满足，则的值为（ ）
A. 4B. C. 2D.
8. 设，若为函数的极大值点，则（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本大题共3小题，共18分）（部分选对的得部分分）
9. 设，若，则下列结论正确的是（ ）
A
B.
C
D.
10. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A. 如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种
B. 如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种
C. 如果甲，乙都不排两端，则不同排法共有36种
D. 如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种
11. 下列选项正确的是（ ）
A. 若随机变量X服从两点分布，也称分布，且，则
B. 若随机变量X满足，则
C. 若随机变量，则
D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为，若，则此人最有可能7次击中目标
三､填空题（本大题共3小题，共15分）
12. 某流水线上生产的一批零件，其规格指标可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为，现从这批零件中随机抽取个，用用表示个零件的规格指标位于区间的个数，则随机变量的方差是______．
13. 盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球.设在此过程中，取到黄球的个数为，则________
14. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为______.
四､解答题（本大题共5小题，共77分）
15. 随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径.某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了200名消费者，得到如下列联表：
（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联？
（2）记2020~2024年的年份代码x依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模y（单位：亿元）与x的统计数据：
根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为，求相关系数r，并判断该经验回归方程是否有价值.
参考公式：，其中，.
，相关系数..
若，则认为经验回归方程有价值.
16. 已知函数在处取得极小值5.
（1）求实数的值；
（2）当时，求函数的值域.
17. 我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为（单位：）.
（1）现有旧设备生产的零件共8个，其中直径大于10的有4个.现从这8个零件中随机抽取3个.记表示取出的零件中直径大于10的零件的个数，求的分布列及数学期望；
（2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及的方差；
（3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4的概率.
参考数据：若，则，，
18. 设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测合格后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入量产，这两个检测阶段是否合格相互独立.其中实验室检测阶段包括环节I和环节II，两个环节至少通过一个才算实验室检测合格，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发出甲､乙两款车型，现对其进行性能检测.实验室检测阶段中甲车通过I､II环节的概率分别为，乙车通过I､II环节的概率分别为，路面测试环节中甲､乙款车合格的概率分别为.
（1）求甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率；
（2）设甲，乙两款车型可投入量产的种数为，求的分布列与均值.
19. 已知函数，.
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，，求的取值范围.
徐州三中2024——2025学年度第二学期高二年级期中调研
数学学科试卷
时间：120分钟 总分：150分
注意：请在答题卡上作答
一､单选题（本大题共8小题，共40分）
1. 四个同学排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾的排法总数是（ ）
A. 12种B. 14种C. 16种D. 18种
【答案】B
【解析】
【分析】根据排列组合，结合分类加法计算原理即可求解.
【详解】若甲在第二位，则乙可以站在第一位和第三位，此时有,
若甲在第三位，则乙可以站在第一位和第二位，此时有,
若甲在第四位，则乙可以随意站，此时有,
故总的方法有，
故选：B
2. 若的展开式各项系数之和为，则实数为（ ）
A. 0B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】采用赋值法，令，根据展开式各项系数的和即可求得答案.
【详解】由题意令，则的展开式各项系数的和是，
故选：D
3. 西峡猕猴桃是河南省的特产，是中国国家地理标志产品．据统计，西峡县某种植基地猕猴桃的单果质量（单位：克）近似服从正态分布，则估计该基地猕猴桃的单果质量在区间内的概率为（ ）
附：若，则，，．
A. 0.4545B. 0.1827C. 0.2718D. 0.1359
【答案】D
【解析】
【分析】利用正态分布的对称性以及已知概率计算求解.
【详解】由题可知，，
所以.
故选：D
4. 二项式的展开式中有理项的个数为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由二项式展开式的通项公式求出通项，然后由指数为整数得到的取值，得出结果.
【详解】二项式展开式的通项为．
其中当k的值分别为0，2，4时，为有理项，共有3项．
故选：B．
5. 已知，为的导函数，则的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先将函数化简为，再求得，判断为奇函数，排除B，D；再分析选项A，C图像的区别，取特殊值即可判断出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴为奇函数，其图象关于原点对称，故B，D错误；
将代入得：，故C错误．
故选：A．
6. 设A，B为两个事件，若，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件公式直接代入运算即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：D.
7. 已知随机变量的分布列：满足，则的值为（ ）
A. 4B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据定义计算X的期望，根据期望的线性运算关系得到关于的方程，求解即得.
【详解】．
，
∴
故选：A.
8. 设，若为函数的极大值点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
二､多选题（本大题共3小题，共18分）（部分选对的得部分分）
9. 设，若，则下列结论正确是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由二项式定理可得展开式的通项，由求出n的值判断选项AB；令判断选项C；由展开式的通项求得判断选项D.
【详解】由二项式定理，得的展开式通项为，
对于AB，由，得，即，解得，A正确，B错误；
对于C，在中，令，得，C正确；
对于D，，D错误.
故选：AC
10. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A. 如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种
B. 如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种
C. 如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种
D. 如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种
【答案】ACD
【解析】
【分析】由倍缩法即可判断A，由插空法即可判断B，由特殊元素优先法即可判断C，由捆绑法即可判断D.
【详解】对于A，由于甲乙丙按从左到右的顺序固定了，故有种方法，故A正确；
对于B，甲乙不相邻，先把其他人排成一排有种方法，有个空，然后将甲乙插空有种方法，故共有种，故B错误；
对于C，甲，乙都不排两端，则先从中间个位置选择两个将甲，乙安排好，有种方法，其他人安排到剩下的个位置，有种方法，所以共有种方法，故C正确.
对于D，甲，乙必须相邻，将甲，乙捆绑到一起有种方法，看成一个大元素然后与其他人排成一排有种方法，故共有种，故D正确；
故选：ACD
11. 下列选项正确的是（ ）
A. 若随机变量X服从两点分布，也称分布，且，则
B. 若随机变量X满足，则
C. 若随机变量，则
D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为，若，则此人最有可能7次击中目标
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据两点分布的特征，直接求方差，判断A错；根据离散型随机变量期望的概念，直接计算，可判断B正确；根据正态分布的对称性，可判断C正确；根据二项分布的概率公式，构造不等式组，由此解得的范围，从而可得概率最大时的取值，判断D正确.
详解】若随机变量X服从两点分布，且，则，，
则，故A错；
若随机变量X满足，
则，故B正确；
若随机变量，，则，故C正确；
某人在10次射击中，击中目标的次数为，若，
则，
由得，
即，即，解得，
所以，即最大，此人最有可能7次击中目标，故D正确；
故选：BCD
三､填空题（本大题共3小题，共15分）
12. 某流水线上生产的一批零件，其规格指标可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为，现从这批零件中随机抽取个，用用表示个零件的规格指标位于区间的个数，则随机变量的方差是______．
【答案】
【解析】
【分析】由题可得质量指标在区间的概率，后由二项分布的方差可得答案.
【详解】由正态分布的性质得质量指标在区间的概率为，
即1件产品的质量指标位于区间的概率为，所以，
故.
故答案为：
13. 盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球.设在此过程中，取到黄球的个数为，则________
【答案】
【解析】
【分析】先写出随机变量的概率分布，然后代入期望和方差公式即可求解.
【详解】随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以，
.
故答案为：.
14. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】求导后结合二次函数的性质分析即可.
【详解】，
因为函数存在单调递减区间，
所以存在，使得小于零，
所以导函数的判别式，解得或，
所以实数的取值范围为是，
故答案为：.
四､解答题（本大题共5小题，共77分）
15. 随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径.某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了200名消费者，得到如下列联表：
（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联？
（2）记2020~2024年的年份代码x依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模y（单位：亿元）与x的统计数据：
根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为，求相关系数r，并判断该经验回归方程是否有价值.
参考公式：，其中，.
，相关系数..
若，则认为经验回归方程有价值.
【答案】（1）有关联 （2），该经验回归方程有价值.
【解析】
【分析】（1）先补全列联表，再计算卡方，根据独立性检验原则即可判断；
（2）通过给出的经验回归方程公式求相关系数，再判断．
【小问1详解】
2×2列联表如下：
零假设“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”无关联，
因为，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05.
【小问2详解】
由x的取值依次为1，2，3，4，5，得，，
因为经验回归方程为，
所以，
所以，
所以.
因为，所以该经验回归方程有价值.
16. 已知函数在处取得极小值5.
（1）求实数的值；
（2）当时，求函数的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得到，求出，检验后得到答案；
（2）求导，得到函数单调性，进而得到极值和最值情况，得到答案.
【小问1详解】
由题意可知，
因为在处取极小值5，所以，解得，
此时，
所以在上单调递减，在上单调递增
所以在时取极小值，符合题意
所以，又，所以.
综上.
【小问2详解】
由（1）得，所以
列表如下：
故时，的值域为.
17. 我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为（单位：）.
（1）现有旧设备生产的零件共8个，其中直径大于10的有4个.现从这8个零件中随机抽取3个.记表示取出的零件中直径大于10的零件的个数，求的分布列及数学期望；
（2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及的方差；
（3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4的概率.
参考数据：若，则，，
【答案】（1）分布列见解析，；
（2），；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列关求出期望.
（2）根据给定条件，利用二项分布的概率公式，结合互斥事件的概率求出概率，用二项分布的方差公式求出方差.
（3）利用正态分布的对称性和对立事件的概率公式计算即可.
【小问1详解】
由题意，可知可取0，1，2，3，
，，，，
所以分布列为：
从而的数学期望.
【小问2详解】
可取的值为0，1，2，3，4，5，6，显然，
，，
.
所以技术攻坚成功的概率，
所以的方差.
【小问3详解】
由，得，由，得，
则，
于是，则，
记“从生产的零件中随机取出10个，至少有一个零件直径大于9.4nm”为事件，
则.
所以至少有一个零件直径大于9.4nm的概率为.
【点睛】方法点睛：判断随机变量是否服从二项分布：一是要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为，；二是看是否为次独立重复试验，且随机变量是否为某事件在这次独立重复试验中发生的次数.
18. 设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测合格后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入量产，这两个检测阶段是否合格相互独立.其中实验室检测阶段包括环节I和环节II，两个环节至少通过一个才算实验室检测合格，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发出甲､乙两款车型，现对其进行性能检测.实验室检测阶段中甲车通过I､II环节的概率分别为，乙车通过I､II环节的概率分别为，路面测试环节中甲､乙款车合格的概率分别为.
（1）求甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率；
（2）设甲，乙两款车型可投入量产的种数为，求的分布列与均值.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）设事件A表示甲车通过实验室测试，事件B表示乙车通过实验室测试，求出、，求出甲、乙中恰有一款车通过实验室测试的概率；
（2）求出随机变量可能的取值，分别求出概率，求出数学期望.
【小问1详解】
设事件A表示甲车通过实验室测试，事件B表示乙车通过实验室测试，
则，，
则甲、乙中恰有一款车进入路面测试的概率为：
；
【小问2详解】
随机变量可能的取值为：，
由题意，甲、乙车投产的概率分别为，
所以，
，
，
所以数学期望．
19. 已知函数，.
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求出，利用导数的几何意义，根据斜率之积为求解即可；
（2）求出函数的导数，分类讨论，解不等式即可得出单调性区间；
（3）利用导数确定，分离参数后，再利用导数求函数最小值即可得解.
【小问1详解】
因为，所以，
所以，
又在处的切线与直线垂直，所以，
即，所以.
【小问2详解】
，.
①当时，，所以在上单调递增.
②当时，令，得，又，所以.
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问3详解】
由，得在上恒成立.
令，，则，令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，即，
则在上恒成立.
令，，
则
.
因为，所以，则，
令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，
所以，即的取值范围是.
0
1
年龄不超过40岁
年龄超过40岁
合计
是微短剧消费者
30
45
不是微短剧消费者
合计
100
200
年份代码x
1
2
3
4
5
市场规模y
9.4
36.8
101.7
373.9
m
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10828
0
1
年龄不超过40岁
年龄超过40岁
合计
是微短剧消费者
30
45
不是微短剧消费者
合计
100
200
年份代码x
1
2
3
4
5
市场规模y
9.4
36.8
101.7
373.9
m
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
年龄不超过40岁
年龄超过40岁
合计
是微短剧消费者
30
15
45
不是微短剧消费者
70
85
155
合计
100
100
200
0
1
2
3
0
0
1
极大值6
极小值5
10
0
1
2
3
X
0
1
2
P